LMNAS 35 - SMP

1. Diketahui $\frac{3415}{2024}$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a + \frac{1}{b + \frac{c}{d}}$ untuk suatu bilangan asli $a, b, c,$ dan $d$ di mana $c$ dan $d$ relatif prima. Nilai dari $a + b + c + d$ adalah...
   a. 2024
   b. 2025
   c. 2026
   d. 2027
   e. 2028
2. Digit terakhir dari $2024^{3516}$ adalah...
   a. 0
   b. 2
   c. 4
   d. 6
   e. 8
3. Rasyid memiliki 2 dadu enam sisi seimbang yang hanya memiliki sisi berwarna hitam atau putih. Dadu pertama memiliki 5 sisi berwarna hitam. Saat Rasyid melemparkan kedua dadunya secara bersamaan, peluang sisi yang muncul keduanya berwarna sama adalah $\frac{1}{2}$. Jumlah sisi berwarna putih pada dadu kedua adalah...
   a. 2
   b. 3
   c. 4
   d. 5
   e. 6
4. Diberikan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $16\sqrt{3}$ cm. Panjang dari segmen $AG$ adalah...
   
   a. 32
   b. $16\sqrt{6}$
   c. $16\sqrt{12}$
   d. 48
   e. $16\sqrt{3}$
5. Terdapat 9 kandang sebaris yang berisi burung-burung Kamna. Diketahui barisan banyaknya burung pada tiap kandang membentuk barisan aritmetika, dan pada kandang paling tengah terdapat 35 burung. Jumlah total semua burung Kamna adalah...
   a. 265
   b. 280
   c. 295
   d. 315
   e. Tidak dapat ditentukan
6. Sebuah barisan dibuat dengan aturan:
   - Angka 1 termasuk ke dalam barisan.
   - Jika suatu bilangan termasuk ke dalam barisan, maka 5 kali bilangan tersebut juga termasuk ke dalam barisan.
   - Jika suatu bilangan termasuk ke dalam barisan, maka bilangan tersebut di tambah 100 juga masuk ke dalam barisan.
   - Tidak ada bilangan lain selain yang diperoleh dengan aturan diatas.
   Apabila diurutkan dari terkecil ke terbesar, bilangan ke-2501 dalam barisan tersebut adalah...
   a. 82501
   b. 82505
   c. 82525
   d. 83301
   e. 83305
7. Diberikan himpunan $A = \{1, 2, 3, \dots, 10\}$. Banyak cara memilih empat angka pada himpunan $A$ dengan syarat tidak ada dua angka yang berurutan dan jumlah keempatnya genap adalah...
   Catatan: $a$ dan $b$ anggota $A$ dikatan berurutan jika memenuhi $|a-b|=1$.
   a. 5
   b. 8
   c. 10
   d. 15
   e. 19
8. Diberikan jajargenjang $ABCD$ dengan $AB=5, AC=8,$ dan $BD=10$. Diketahui panjang segmen $BC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a\sqrt{b}$ dengan $a$ dan $b$ bilangan asli dan $b$ bebas kuadrat. Nilai dari $a+b$ adalah...
   a. 58
   b. 11
   c. 57
   d. 115
   e. 114
9. Diberikan kurva $E : y^2 = x^3 + 17$. Untuk dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ dengan $x_1 \neq x_2$ pada kurva $E$ dapat dikenakan operasi $(x_1, y_1) \star (x_2, y_2)$ dengan konstruksi berikut:
   (a) Bentuk garis $l$ yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$;
   (b) Garis $l$ (selalu) berpotongan dengan kurva $E$ pada satu titik yang berbeda dari dua titik pada (a), yaitu titik $(x'_3, y'_3)$;
   (c) Cerminkan titik $(x'_3, y'_3)$ terhadap sumbu $x$ (garis $y = 0$) untuk memperoleh $(x_3, y_3) := (x_1, y_1) \star (x_2, y_2)$. Titik $(x_3, y_3)$ tetap berada pada kurva $E$.
   Hasil dari $(-2, 3) \star (-1, 4)$ adalah …
   a. (4, -9)
   b. (4, 9)
   c. (2, -3)
   d. (2, 3)
   e. (-4, 9)
10. Suatu bilangan dua digit dikatakan brain rot apabila kuadrat bilangan tersebut dikurangi dengan kuadrat bilangan yang diperoleh dengan membalikkan digit-digitnya adalah 2376. Jumlahan semua bilangan brain rot adalah . . .
    Catatan : $\overline{0a}$ sama dengan bilangan satu digit $\overline{a}$.
    a. 128
    b. 120
    c. 122
    d. 126
    e. 124
11. Banyaknya bilangan palindrom dari 0 sampai 2000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 9 adalah...
    a. 24
    b. 25
    c. 26
    d. 27
    e. 28
12. Sebuah segitiga lancip memiliki panjang sisi 35, 16, dan $X$ (bilangan bulat). Jumlah dari nilai $X$ minimum dan $X$ maksimum yang mungkin adalah...
    a. 51
    b. 67
    c. 70
    d. 86
    e. 102
13. Fungsi linear $f$ dan $g$ memenuhi $$g(2y + f(3x)) = 11x + 16y + 7$$ untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$. Diketahui $f(24) = 12$, maka nilai dari $|g(g(g(0)))|$ adalah...
    a. 71
    b. 73
    c. 75
    d. 80
    e. 81
14. Diberikan $a, b, c$ bilangan asli yang memenuhi $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 1$. Nilai maksimum dari $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ ditulis sebagai $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ relatif prima. Nilai $p+q$ adalah...
    a. 73
    b. 57
    c. 83
    d. 47
    e. 48
15. Banyaknya cara memilih string terurut "LM35" dari: $$\text{"LOMBALOMBALOMBA...(16 kali string "LOMBA")353535...(16 kali string "35")"$$ adalah...
    Catatan: String terurut adalah string baru yang karakternya adalah sebagian dari karakter string awal dengan tetap memperhatikan urutan karakternya. Sebagai contoh, string $"M_1AT_1EM_2AT_2IKA”$ mempunyai string terurut $”MTK”$ sebanyak 3, yaitu $”M_1T_1K”, ”M_1T_2K”, ”M_2T_2K”$. Selanjutnya $”M_2T_1K”$ bukan string terurut dari string awal karena terjadi perubahan urutan.
    a. 18496
    b. 35164
    c. 44444
    d. 65536
    e. 73984
16. Misalkan $\Gamma$ adalah lingkaran luar dari suatu segitiga lancip $\Delta ABC$. Garis $l_A, l_B, l_C$ adalah garis tinggi dari $\Delta ABC$ yang melewati titik $A, B, C$ berturut-turut. Diketahui bahwa $l_A, l_B, l_C$ memotong $\Gamma$ lagi di $D_1, E_1, F_1$ berturut-turut. Lebih lanjut, $l_A, l_B, l_C$ memotong $BC, CA, AB$ di $D, E, F$ berturut-turut. Diketahui juga luas segitiga $\Delta DEF$ adalah 2024. Luas segitiga $\Delta D_1 E_1 F_1$ adalah …
    a. 2024
    b. 8096
    c. 10120
    d. 6072
    e. 4048
17. Banyaknya triplet asli $(x, y, z)$ yang memenuhi $$x^3+y+z = y^3+z+x = z^3+x+y < 2024$$ adalah...
    a. 2024
    b. 35
    c. 13
    d. 12
    e. 16
18. Diberikan $a = 1^1 \times 2^2 \times 3^3 \times \dots \times 16^{16}$. Sisa pembagian $a$ oleh 34 adalah...
    a. 14
    b. 16
    c. 18
    d. 28
    e. 30
19. Himpunan $L \subseteq \{1, 2, \dots, 2024\}$ sedemikian sehingga tidak ada $a, b \in L$ yang memenuhi $a = 2b$. Maksimal anggota $L$ adalah...
    a. 1349
    b. 1012
    c. 1518
    d. 1265
    e. 1391
20. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle BCA < 90^\circ$, dan $AC = 60$. Titik $P$ terletak berseberangan dengan $A$ terhadap garis $BC$ sehingga $BP = CP$ dan $\angle BPC = 90^\circ$. Dengan cara yang sama, titik $Q$ terletak berseberangan dengan $B$ terhadap garis $AC$ sehingga $AQ = CQ$ dan $\angle AQC = 90^\circ$. Titik $R$ terletak pada bidang sehingga $CPRQ$ merupakan jajar genjang dan $AR = 35$. Nilai dari $BR$ adalah …
    a. 30
    b. 60
    c. 35
    d. 25
    e. $30\sqrt{2}$
21. Bilangan real $p$ memiliki sifat rizz apabila persamaan $x^2 - 2x \lfloor x \rfloor + x - p = 0$ memiliki dua akar real nonnegatif yang berbeda. Diketahui $p$ memenuhi sifat rizz jika dan hanya jika $p$ berada pada interval $a \le p < b$. Nilai dari $a + 5b$ adalah …
    Catatan: $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.
    a. 2
    b. 5
    c. 15
    d. 1
    e. 10
22. Diberikan pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan berikut, $$x^3 - 7xy + y = 3$$Nilai maksimum $x+y$ adalah...
    a. 3237
    b. 3238
    c. 3415
    d. 3516
    e. 3517
23. Di SMU Suzuran, terdapat 15 kelas yang masing-masing dipimpin oleh seorang ketua dan seorang wakil ketua. Untuk menghadapi aliansi sekolah-sekolah di kota Toarushi, dibentuk fraksi elit dengan memilih seorang pemimpin kelas secara acak dari setiap kelas satu persatu. Diketahui bahwa peluang tidak ada 2 kelas berurutan yang ketua kelasnya terpilih adalah $\frac{p}{q}$ untuk suatu bilangan asli $p$ dan $q$ yang relatif prima. Digit terakhir dari $p + q$ adalah...
    a. 1
    b. 2
    c. 3
    d. 5
    e. 8
24. Diberikan segitiga $\Delta ABC$ dengan panjang $AB = 14, BC = 16$, dan $CA = 18$. Misalkan $PQRS$ adalah persegi panjang yang mana keempat titik sudutnya terletak di sisi-sisi $\Delta ABC$. Titik $Q$ dan $R$ terletak di sisi $BC$. Titik $P$ dan $S$ berturut-turut adalah titik tengah dari sisi $AB$ dan $AC$. Diketahui titik $X$ merupakan perpotongan $PR$ dan $QS$. Panjang $AX$ adalah …
    a. $\sqrt{83}$
    b. $\frac{1}{2}\sqrt{82}$
    c. $\sqrt{422}$
    d. $\frac{1}{2}\sqrt{421}$
    e. $2\sqrt{109}$
25. Diketahui$$\sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} \frac{(-1)^k}{2k + 1} = \frac{p}{q}$$untuk suatu bilangan asli $p$ dan $q$ yang relatif prima. Tiga digit terakhir dari $p + q$ adalah …
    a. 225
    b. 280
    c. 279
    d. 256
    e. 289

ISIAN SINGKAT

1. Adnan mempunyai banyak koin dan sebuah papan catur pada petak berukuran 8 × 8. Pertama, Adnan mengisi setengah papan dengan 1 koin di setiap petak, kemudian mengisi setengah dari tempat yang masih kosong dengan 2 koin di setiap petak, lalu setengah lagi dari tempat yang masih kosong dengan 3 koin di setiap petak dan seterusnya hingga papan catur tersisa 1 petak kosong. Jumlah koin yang ada di papan adalah . . .
2. Diketahui $K$ adalah bilangan bulat terbesar sehingga $35^K$ habis membagi $(2024!)^{2024!}$. Banyak digit 0 berurutan di akhir $K$ adalah . . .
3. Maslando mempunyai sebuah bilangan 2 digit, dimana digit pertama adalah A dan digit kedua adalah B. Maslando memberi tahu bilangan A kepada Buma dan bilangan B kepada Kamna. Karena penasaran, Buma dan Kamna saling menggali info. Berikut percakapan mereka:
   Buma: “Aku yakin bilangan yang Maslando punya bukan bilangan kubik, apakah kau merasa begitu?”
   Kamna: “Dari awal pun aku juga tahu bahwa bilangan tersebut bukan bilangan kubik. Selain itu aku juga tahu bahwa bilangan tersebut tidak bisa dibagi 2”
   Buma: “Walaupun bukan bilangan kubik, mungkin saja bilangan itu adalah bilangan kuadrat!”
   Kamna: “Itu tidak mungkin terjadi!”
   Buma: “Sekarang aku tahu bilangan yang dimiliki Maslando. Bilangan tersebut akan bersisa 2 jika dibagi 3”
   Kamna: “Ah… sekarang aku juga tahu.”
   Dari percakapan diatas, jika Buma dan Kamna tidak berbohong dan berpikir secara logis, maka bilangan yang dimiliki Maslando adalah. . .
4. Diberikan $a, b, c$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan$$3a^2 + 2b^2 + c^2 + 4ab + 2ac + 2bc = 2(6a + 5b + 3c - 7).$$Nilai dari $a^3 + 2a^2b + a^2c + ab^2 + abc + a + b + c$ adalah…
5. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 6, BC = 4\sqrt{2},$ dan $CA = 2\sqrt{5}$. Garis $l$ menyinggung lingkaran luar segitiga $ABC$ pada titik $B$. Titik $D$ berada pada garis $l$ dengan sifat $AD \perp BD$ dan $E$ berada pada perpanjangan garis $CB$ dengan sifat $DE \perp CB$. Titik $F$ berada pada perpanjangan garis $DE$ dengan $\frac{DE}{EF} = \frac{1}{2}$. Titik $G$ yang merupakan perpotongan garis $CF$ dengan $BD$.Panjang garis $CG$ adalah $\frac{p}{q}\sqrt{r}$ dengan $p$ dan $q$ merupakan bilangan asli yang relatif prima dan $r$ merupakan bilangan asli bebas kuadrat. Nilai dari $p + q + r$ adalah …