LMNAS 36 - SMA

1. Diberikan fungsi $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dan $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang memenuhi:$$4f(x + 3) + g(x) = 6,\text{ dan}$$ $$5f(x) - 7g(x) = 11,$$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$. Diketahui nilai $f(0) = 5$, nilai dari $f(3)$ adalah ….
   A. $0$
   B. $1$
   C. $6$
   D. $11$
   E. $28$
2. Untuk setiap bilangan asli $n$, misalkan $d(n)$ dan $d_1(n)$ berturut-turut menyatakan banyaknya pembagi positif $n$ dan banyaknya pembagi positif $n$ yang bersisa 1 ketika dibagi 3. Nilai dari $d(2431^{17}) - d_1(2431^{17})$ adalah ….
   A. $0$
   B. $1458$
   C. $1944$
   D. $2916$
   E. $5832$
3. Misalkan $W$ adalah himpunan semua permutasi huruf dari "LMNAS". Didefinisikan fungsi $S: W \to {-1, 1}$ dengan $S(w) = 1$ jika "L" menempati posisi genap dalam $w$, dan $S(w) = -1$ jika "L" menempati posisi ganjil dalam $w$. Nilai dari $$\sum_{w \in W} S(w)$$ adalah ….
   (Catatan: Posisi "L" pada "LMNAS" ada di posisi ganjil dan posisi "L" pada "MLNAS" berada di posisi genap.)
   A. $0$
   B. $-12$
   C. $-24$
   D. $12$
   E. $24$
4. Diberikan lingkaran $L_1$ dengan pusat di titik $A(2, 2)$ dan memiliki jari-jari 2. Diketahui lingkaran $L_2$ adalah lingkaran yang diperoleh dengan menggeser lingkaran $L_1$ sejauh 3 satuan ke kanan dilanjutkan sejauh 2 satuan ke atas. Misalkan titik $B$ adalah titik pusat lingkaran $L_2$ dan titik $C$ adalah titik $(a, 0)$ dengan $a$ adalah absis dari titik $B$. Luas segitiga $ABC$ adalah ….
   A. 3
   B. 4
   C. 5
   D. 6
   E. 7
5. Banyaknya solusi bilangan real $x$ yang memenuhi$$\max {2x^2 - x - 1, x^2 + x + 2} = 15x - 33$$adalah ….
   Catatan: Diberikan $a, b \in \mathbb{R}$. Didefinisikan:$$\max {a, b} = \begin{cases} a, & a \ge b \ b, & b \ge a \end{cases}$$
   A. 0
   B. 1
   C. 2
   D. 3
   E. 4
6. Misalkan $a, b, c$ bilangan bulat nonnegatif yang kurang dari 10 dengan $a \neq 0$, dan memenuhi:$$400a^2 + 40ab + 40ac + 2bc + b^2 + c^2 = 2025$$ Jumlah semua nilai $\overline{abac}$ yang memenuhi adalah ….
   A. 12027
   B. 13135
   C. 13635
   D. 14230
   E. 15630
7. Banyaknya kuadrupel bilangan bulat $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ sedemikian sehingga:$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 17$$dengan syarat $0 \le x_1 \le 4$, $x_2 > 2$, $x_3 \ge 1$, dan $0 \le x_4 \le 3$ adalah ….
   A. 140
   B. 175
   C. 210
   D. 340
   E. 560
8. Diberikan lingkaran $L$ berjari-jari 36 dengan titik pusat $O$ dan titik $A$ berada di luar lingkaran $L$. Misalkan titik $B$ berada pada lingkaran $L$ sedemikian sehingga $AB$ menyinggung lingkaran $L$, serta titik $C$ dan titik $D$ merupakan perpotongan garis $AO$ dengan lingkaran $L$ di mana titik $C$ berada pada segmen $AO$. Diketahui besar sudut $CAB$ adalah $30^\circ$. Luas segitiga $DOB$ adalah ….
   A. $162\sqrt{3}$
   B. $243\sqrt{3}$
   C. $324\sqrt{3}$
   D. $486\sqrt{3}$
   E. $500\sqrt{3}$
9. Misalkan $v, w, x, y$ bilangan real yang memenuhi:$$v^2 + w^2 \le 4, \text{ dan}$$ $$x^2 + y^2 \le 9.$$ Nilai maksimal dari $vx + wy$ adalah ….
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 5
   E. 6
10. Sisa dari$$1^{1117} + 2^{1117} + 3^{1117} + \dots + 100^{1117}$$ketika dibagi oleh 37 adalah ….
    A. 18
    B. 0
    C. 36
    D. 1
    E. 26
11. Banyaknya bilangan ganjil enam digit $\overline{abcdef}$ yang memenuhi $b + c + d + e = 12$ adalah ….
    A. $465$
    B. $18.675$
    C. $20.485$
    D. $37.650$
    E. $41.950$
12. Diberikan layang-layang $ABCD$ dengan tiga titik sudut yang diketahui adalah titik $A(-2, 5)$, $B(-3, 4)$, dan $C(-2, 2)$. Layang-layang tersebut dicerminkan terhadap garis $x = 1$ menghasilkan layang-layang $A'B'C'D'$. Misalkan titik $P$ merupakan titik potong antara garis $CD$ dengan garis $A'D'$ dan titik $Q$ adalah titik potong garis $CD$ dengan garis $x = 1$. Diketahui bahwa keliling segitiga $PQD'$ adalah $k$ dan luas layang-layang $ABCD$ adalah $l$. Nilai dari $\frac{l}{k}$ adalah ….
    A. $\frac{8(\sqrt{2} + \sqrt{5})}{3}$
    B. $\frac{3}{8(\sqrt{2} + \sqrt{5})}$
    C. $\frac{3}{2(\sqrt{2} + \sqrt{5})}$
    D. $\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}$
    E. $\frac{24}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$
13. Diberikan polinomial $P(x)$ dengan derajat $2024$ dan diketahui $$P(k) = \frac{2027(k^2 - 2025k)}{k + 1}$$ untuk setiap $k = 1, 2, \dots, 2025$. Nilai dari $P(2026)$ adalah ….
    A. 0
    B. 2025
    C. 2026
    D 2027
    E. 4052
14. Banyaknya pasangan bilangan bulat $(k, N)$ yang memenuhi persamaan:$$\left( \frac{k - 1}{k + 1} \right)^2 = \frac{1}{N}$$adalah ….
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4
    E. 5
15. Misalkan himpunan $\mathcal{W}$ adalah himpunan yang memuat semua susunan lima huruf yang dibentuk dari huruf-huruf ${L, M, N, A, S}$ dengan perulangan diperbolehkan. Didefinisikan berat dari kata $w \in \mathcal{W}$ sebagai $\frac{1}{k!}$, di mana $k$ adalah banyaknya huruf berbeda dalam kata $w$. Jumlah berat dari semua kata di $\mathcal{W}$ adalah ….
    A. 52
    B. 455
    C. 456
    D. 910
    E. 912
16. Diberikan lingkaran $\omega_1$ yang melalui titik-titik $(2, 3)$, $(6, 5)$, dan $(4, 9)$. Misalkan lingkaran $\omega_2$ merupakan lingkaran yang diperoleh dengan menggeser lingkaran $\omega_1$ sejauh 1 satuan ke atas dilanjutkan 5 satuan ke kanan. Titik $(a, b)$ merupakan titik potong antara garis singgung lingkaran $\omega_2$ di titik $(9, 4)$ dengan garis yang melalui perpotongan kedua lingkaran. Nilai dari $a + b$ adalah ….
    A. $\frac{37}{4}$
    B. $\frac{49}{16}$
    C. $\frac{99}{16}$
    D. $\frac{149}{16}$
    E. $\frac{301}{32}$
17. Misalkan $a, b, c$ adalah bilangan real yang memenuhi:$$a^2(c^2 - 2b - 1) + b^2(a^2 - 2c - 1) + c^2(b^2 - 2a - 1) = 0$$Nilai minimum dari$$3(a^2 + b^2 + c^2) + 4(a + b + c) - 6abc + 2025$$adalah ….
    A. 2026
    B. 2025
    C. 2024
    D. 2023
    E. 2022
18. Diberikan bilangan asli $k$. Diketahui bahwa terdapat $k$ pasangan bilangan prima $(p, q)$ yang memenuhi:$$p^2 + 2p + 6q - 2pq + q^2 = (p - q)^3(p - q + 2)$$Misalkan $(m_1, n_1), \dots, (m_k, n_k)$ merupakan semua pasangan bilangan prima $(p, q)$ yang memenuhi persamaan di atas. Sisa dari$$\sum_{i=1}^{k} (m_i)^{n_i}$$ketika dibagi 21 adalah ….
    A. 0
    B. 1
    C. 15
    D. 18
    E. 20
19. Suatu kuadrupel himpunan $(A, B, C, D)$ disebut Axon apabila memenuhi syarat berikut:
    - $A \subseteq C$$B \subseteq D$$A \cap B = \emptyset$
    - $A \cup B \cup C \cup D = {1, 2, \dots, 2026}$
    Misalkan $m$ menyatakan banyaknya Axon. Dua digit terakhir dari $m$ adalah ….
    A. 25
    B. 44
    C. 49
    D. 56
    E. 69
20. Diberikan garis $AC$ dan titik $B$ yang berada pada segmen $AC$ dengan $AB = 8$ dan $BC = 4$. Misalkan $\omega_1$ adalah lingkaran dengan diameter $AB$, $\omega_2$ adalah lingkaran dengan diameter $BC$, dan $\omega_3$ adalah lingkaran yang menyinggung garis $AC$ pada titik $B$. Diketahui bahwa $\omega_3$ berpotongan dengan $\omega_1$ dan $\omega_2$, selain pada titik $B$, berturut-turut pada titik $E$ dan titik $F$. Kemudian garis $EF$ memotong $\omega_1$ dan $\omega_2$ berturut-turut pada titik $G$ dan titik $H$. Misalkan garis $AG$ dan garis $CH$ berpotongan di titik $I$ serta titik $J$ pada garis $AI$ sehingga $CJ \perp AC$. Diketahui bahwa $\frac{BI}{CJ} = \frac{p}{q}$ dengan $\text{FPB}(p,q) = 1$. Nilai dari $p + q$ adalah ….
    A. 3
    B. 5
    C. 7
    D. 8
    E. 9
21. Diberikan barisan polinomial $P_n(x)$ yang memenuhi:$$P_1(x) = 1, \quad P_2(x) = x, \quad P_{n+1} = xP_n(x) + P_{n-1}$$Derajat dari $\text{FPB}(P_{2025}, P_{1350})$ adalah ….
    A. 1
    B. 674
    C. 675
    D. 1349
    E. 1350
22. Misalkan $m$ dan $n$ bilangan asli yang memenuhi $n < 2025$ dan$$n^2 - 16 = 7(m - 1)(m + 2)$$Nilai terbesar dari $n + m$ yang mungkin adalah ….
    A. 5
    B. 175
    C. 1394
    D. 2025
    E. 2789
23. Saki bermain suatu permainan dengan aturan sebagai berikut. Permainan dimulai dengan Saki memiliki 1 poin. Saki akan melempar suatu dadu biasa. Jika angka yang muncul adalah 1, 3, 5, atau 6, maka poin yang dimiliki Saki akan dikali 2, kemudian Saki akan melempar dadu kembali. Akan tetapi, jika angka yang muncul 2 atau 4, maka poin yang dimiliki Saki akan kembali menjadi 1 dan Saki dinyatakan kalah. Permainan akan diulang kembali sampai Saki menang yaitu ketika poin Saki mencapai 4. Namun, permainan akan berakhir jika Saki kalah 3 kali berturut-turut. Misalkan peluang Saki menang sebelum permainan berakhir adalah $\frac{m}{n}$ dengan $\text{FPB}(m, n) = 1$. Nilai dari $m + n$ adalah ….
    A. 106
    B. 107
    C. 108
    D. 109
    E. 110
24. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 5$, $AC = 10$, dan $BC = 11$. Misalkan titik $I$ adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga $ABC$, titik $E$ adalah titik singgung lingkaran dalam segitiga $ABC$ dengan sisi $BC$, serta titik $D$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$ dan $AB$ sedemikian sehingga titik $D$, $I$, dan $F$ segaris. Diketahui bahwa$$\frac{1}{BD} + \frac{1}{BF} = \frac{a}{b}$$untuk suatu bilangan asli $a$ dan $b$ dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$. Nilai dari $a + b$ adalah ….
    A. 92
    B. 81
    C. 66
    D. 55
    E. 37
25. Nilai dari$$\cot^4 \left( \frac{\pi}{11} \right) + \cot^4 \left( \frac{2\pi}{11} \right) + \cot^4 \left( \frac{3\pi}{11} \right) + \cot^4 \left( \frac{4\pi}{11} \right) + \cot^4 \left( \frac{5\pi}{11} \right)$$adalah ….
    A. 111
    B. 121
    C. 131
    D. 141
    E. 151

ISIAN SINGKAT

1. Banyaknya tripel bilangan bulat $(x, y, z)$ yang memenuhi persamaan:$$2^x + 3^y = 4^z$$adalah ….
2. Bilangan asli terkecil $k$ sedemikian sehingga terdapat $k$ bilangan bulat nonnegatif $x_1, x_2, \dots, x_k$ yang memenuhi:$$x_1^3 - x_2^3 + x_3^3 - \dots + (-1)^{k+1}x_k^3 = 73224$$adalah ….
3. Diberikan bilangan asli $a$ dan $b$ dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$ yang memenuhi:$$\frac{a}{b} = \sum_{\alpha=1}^{200} \frac{1 + 2\cos^2 \alpha - \sqrt{1 - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}}{\alpha(\alpha + 1)}$$Nilai dari $a + b$ adalah ….
4. Diberikan segitiga lancip $\triangle ABC$ yang terletak pada lingkaran $\omega$, dengan panjang sisi $AB > AC$. Titik $M$ adalah titik tengah dari busur minor $\overline{BC}$ pada lingkaran $\omega$, titik $K$ adalah titik antipodal dari titik $A$ pada lingkaran $\omega$ dan titik $O$ adalah titik pusat lingkaran $\omega$. Dibuat sebuah garis yang melalui titik $O$ dan sejajar dengan garis $AM$. Garis tersebut memotong segmen $AB$ di titik $D$ dan memotong perpanjangan $CA$ di titik $E$. Misalkan garis $BM$ memotong garis $CK$ di titik $P$ dan garis $CM$ memotong garis $BK$ di titik $Q$. Diketahui bahwa besar $\angle OEB = 17^\circ$ dan $\angle OQC = 36^\circ$. Nilai dari $\angle OPB - \angle ODC$ adalah …. $^\circ$.
   
   (Catatan tambahan: Busur minor $\overline{BC}$ adalah busur terpendek yang menghubungkan titik $B$ dan $C$ pada lingkaran $\omega$, yaitu busur yang tidak melalui titik $A$. Titik antipodal dari $A$ pada lingkaran $\omega$ adalah titik $K$ di $\omega$ sedemikian sehingga $O, A$, dan $K$ segaris dan $AK$ merupakan diameter lingkaran.)
5. Diberikan 2025 kartu yang berjejer secara horizontal dari kiri ke kanan dengan kartu ke-$i$ memiliki angka $i$ tertulis di bagian depan dan angka $0$ di bagian belakangnya. Untuk setiap $k \in {1, 2, \dots, 2025}$, kartu ke-$k$ dapat dibalikkan sehingga menunjukkan angka di belakangnya. Misalkan banyaknya cara membalikkan kartu-kartu tersebut sedemikian sehingga jumlah semua angka yang terlihat habis dibagi 5 dapat dinyatakan dalam bentuk:$$\frac{2^a + 2^b}{c}$$untuk bilangan asli $a, b$, dan $c$ dengan $\text{FPB}(c, 2) = 1$. Nilai dari $a + b + c$ adalah ….