LMNAS 35 - SMA

Diberikan polinom $P(x)=x^{2}-4x+6$ Didefinisikam polinom $Q$ dengan $$Q(x)=P(P(x))-x.$$ Jumlahan semua akar real dari $Q$ adalah ...

a. 4

b. 5

c. 6

d. 7

e. 8

Bilangan $n$ adalah bilangan asli yang memenuhi persamaan $$\text{FPB}(n,2024)\times \text{KPK}(n,2024)=99176$$. Nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah...

a. 7

b. 14

c. 49

d. 84

e. 119

Banyak permutasi dari kata "LMNAS3516" adalah ...

a. 3628800

b. 362880

c. 36288

d. 403200

e. 40320

Diberikan segidelapan beraturan berikut.

Jika perbandingan luas segitiga $BCD$ dengan luas segiempat $ABEF$ dapat dinyatakan dengan $\frac{a-b\sqrt{2}}{c}$ di mana $a, b$ dan $c$ adalah bilangan bulat nonnegatif dengan $\text{FPB}(a,b)$ dan $c$ relatif prima, maka nilai dari $3a+5b+7c$ adalah

a. 16

b. 22

c. 29

d. 36

e. 39

Diberikan barisan geometri dengan suku-suku positif dan deret tak hingga dari barisan geometri tersebut adalah $S$, di mana $S\in\mathbb{R}$ Diketahui juga bahwa suku kedua dari barisan geometri tersebut bernilai 1. Nilai terkecil dari $S$ adalah ...

a. 4

b. 3

c. 2

d. 5

e. 6

Banyaknya triplet bilangan asli $(a, b c)$ yang memenuhi persamaan $abc-2=a+b+c$ adalah ...

a. 11

b. 10

c. 9

d. 15

e. 16

Umar memiliki sebuah string sebagai berikut

"LOMBAMΑΤΕΜΑΤΙΚΑNASIONALUNIVERSITASGADJAHMADA20242024"

Umar akan menghapus beberapa huruf dari string tersebut sehingga string akhir yang akan terbentuk adalah "MATH24". Banyak cara yang berbeda untuk membuang huruf-huruf yang ada sehingga terbentuk string "MATH24" adalah...

a. 124

b. 144

c. 260

d. 1616

e. 2024

Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=35$ dan titik $D$ berada di lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan $D$ berada di busur $AC$. Jika perpanjangan $BA$ dan perpanjangan $CD$ berpotongan di titik $E$ dengan $EA=16$ dan $ED=24.$ maka panjang segmen $ED$ adalah...

a. 31

b. 32

c. 33

d. 34

e. 35

Diketahui $a$ dan $b$ bilangan asli ganjil yang memenuhi $$(1+3+5+\cdot\cdot\cdot+35)+(1+3+5+\cdot\cdot\cdot+a)=(1+3+5+\cdot\cdot\cdot+b)$$ Nilai $a+b$ yang mungkin adalah...

a. 80

b. 82

c. 96

d. 162

e. 322

Diberikan bilangan bulat $n$ sedemikian sehingga $$n+2|n^{4}+2024$$. Maka banyaknya bilangan $n$ yang memenuhi adalah...

a. 8

b. 16

c. 32

d. 48

e. 64

Diberikan 2024 bola dengan 46 jenis warna yang berbeda, dengan 44 bola untuk setiap warna. Jika $n$ adalah bilangan asli terkecil sedemikian sehingga saat 2024 bola tersebut diletakkan secara melingkar, dengan cara apa pun, akan selalu ada $n$ bola bersebelahan yang memiliki setidaknya 35 warna yang berbeda, maka nilai dari $n$ adalah ...

a. 35

b. 1497

c. 1454

d. 1496

e. 2024

Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Misalkan titik $P$ merupakan titik tengah ruas garis $AC$. Nilai dari sin $∠FPH$ adalah ...

a. $\frac{1}{3}\sqrt{8}$

b. $\frac{1}{3}\sqrt{5}$

c. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$

d. $\frac{1}{3}$

e. $\frac{2}{3}$

Diberikan bilangan real positif $x, y$, dan $z$ dengan $xyz=\frac{1}{12}.$ Nilai minimum dari $$x^{2}+4y^{2}+9z^{2}+4x^{2}y^{2}+36y^{2}z^{2}+9z^{2}x^{2}$$ dapat dinyatakan sebagai $$3(\sqrt[3]{\frac{1}{a}}+\sqrt[3]{\frac{1}{4a}})$$ dengan $a\in\mathbb{N}$ Nilai dari $a^{a}$ adalah ...

a. 1

b. 27

c. 256

d. 3125

e. 4

Sisa bagi dari pembagian $16^{1001}\times(100!)^{35}$ oleh $3535$ adalah...

a. 505

b. 595

c. 910

d. 2695

e. 3115

Jika $n$ menyatakan banyaknya cara untuk mendistribusikan 22 bola berbeda ke dalam 4 kotak identik sedemikian sehingga tidak ada kotak yang kosong, maka digit terakhir dari $n$ adalah ...

a. 0

b. 1

c. 5

d. 6

e. 9

Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=20,$ $BC=22$, dan $CA=24$ Dimisalkan $\Gamma$ adalah lingkaran luar segitiga $ABC$ serta $l_{A}$, $l_{B},$ dan $l_{C}$ adalah garis-garis singgung lingkaran $\Gamma$ berturut-turut di titik $A, B,$ dan $C$. Dimisalkan juga $X, Y,$ dan $Z$ adalah titik-titik potong berturut-turut antara $l_{B}$ dengan $l_{C}$, $l_{A}$ dengan $l_{C}$, dan $l_{A}$ dengan $l_{B}$ Jika $$\frac{1}{AY}+\frac{1}{AZ}+\frac{1}{BX}+\frac{1}{BZ}+\frac{1}{CX}+\frac{1}{CY}=\frac{p}{q}$$ untuk suatu $p,q\in\mathbb{N}$ dengan $\text{FPB}(p,q)=1$, maka nilai dari $p+q$ adalah ...

a. 81

b. 161

c. 337

d. 601

e. 1129

Diberikan barisan $(x_{n})$ dengan $x_{1}=\frac{16}{35}$ dan $x_{n+1}=\frac{-x_{n}^{2}}{1+x_{n}+x_{n}^{2}}$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}.$ Jika $\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\frac{p}{q}$ untuk suatu $p, q\in\mathbb{N}$ dengan $\text{FPB}(p,q)=1$, maka nilai dari $p+q$ adalah ...

a. 51

b. 67

c. 86

d. 1634

e. 1785

Diketahui bilangan asli $n$ yang memenuhi dua digit terakhir dari $n^{101}$ dalam basis 7 adalah 02. Bilangan asli $n$ terkecil yang memenuhi adalah ...

Contoh: $3^{5}$ dalam basis 7 adalah 465, sehingga dua digit terakhirnya dalam basis 7 adalah 65.

a. 4

b. 11

c. 18

d. 25

e. 32

Ferrari melakukan pelemparan koin seimbang sebanyak tak berhingga kali dan mencatatnya dalam kertas sihir untuk menghitung nilai $X$. Misalkan $Y_{n}\in\{0,1\}$ merepresentasikan hasil pelemparan ke-n dengan $$Y_{n}=\begin{cases}0, \text{jika hasil pelemparan adalah angka;}\\ 1, \text{jika hasil pelemparan adalah gambar}\end{cases}$$ Dari kertas sihir tersebut, nilai $X$ adalah $$X=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Y_{n}}{2^{n}}=\frac{Y_{1}}{2}+\frac{Y_{2}}{2^{2}}+\frac{Y_{3}}{2^{3}}+....$$ Peluang nilai $X$ berada di interval $[\frac{69}{2^{10}},\frac{420}{2^{10}}]$ adalah ...

a. $\frac{702}{729}$

b. $\frac{351}{729}$

c. $\frac{673}{1024}$

d. $\frac{351}{512}$

e. $\frac{351}{1024}$

Diberikan dua buah segilima siklis $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ dan $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$, dimana $A_{i}$ adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga $B_{i-1}B_{i}B_{i+1}$ (dengan $B_{0}=B_{5}$ dan $B_{6}=B_{1})$. Maka maksimal banyaknya garis yang dapat diambil dari garis-garis $A_{1}B_{1}$ $A_{2}B_{2}$ $A_{3}B_{3}$. $A_{4}B_{4}$, dan $A_{5}B_{5}$ sedemikian sehingga garis-garis yang dipilih berpotongan di satu titik adalah...

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

Diberikan $$S=\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{g=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(u+g+m+1)2024^{u+g+m+1}}.$$ Nilai $S$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Nilai dari $p+q$ adalah ...

a. 8199105

b. 4092530

c. 8197201

d. 8189105

e. 8187201

Banyaknya pasangan bilangan bulat $(n, m)$ sedemikian sehingga $1\le n<m\le100$, $n|m^2-1$, dan $m|n^{4}-1$ adalah ...

a. 99

b. 101

c. 198

d. 203

e. 205

Buma dan Kamna memainkan suatu permainan sebagai berikut: Terdapat 10 jenis kelereng yang memiliki warna berbeda-beda. Dengan masing-masing jenis kelereng memiliki jumlah yang sangat banyak.

• Pada babak pertama, Buma memilih 1 jenis kelereng dan Kamna memilih 9 jenis kelereng.

• Pada babak kedua, Buma memilih 2 jenis kelereng dan Kamna memilih 8 jenis kelereng.

• Permainan diteruskan sampai babak kesembilan, dengan Buma memilih 9 jenis kelereng dan Kamna memilih 1 jenis kelereng.

Jika mereka dapat memilih jenis kelereng yang sama, jumlah banyak cara berbeda mereka memilih jenis kelereng di setiap babak adalah...

a. 97238

b. 97240

c. 161616

d. 184754

e. 184756

Diberikan segiempat $ABCD$ dengan $\angle ABC=90^{\circ}$ dan panjang $AB=24$ $BC=7,CD=15,$ dan $DA=20$ Sebuah titik $P$ dipilih dari diagonal $BD$ sehingga $\angle APB=2\angle CPD$. Lalu titik $X$ dan $Y$ dipilih dari segmen $AP$ sehingga $\angle AXB=2\angle ADB$, $\angle AYD=2\angle ABD$. Panjang $XY$ adalah...

a. 6

b. 7

c. 8

d. 10

e. 12

Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ diketahui bahwa $$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k+1)!}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}k^{2}})$$ Misalkan $S=\{(m,n)\in\mathbb{N}^{2}:FPB(m,n)=1\}$ Jika $$\sum_{(m,n)\in S}\frac{1}{m^{2}n^{2}}=\frac{a}{b}\pi^{c}$$ untuk suatu $a, b\in\mathbb{N}$ dan $c\in\mathbb{Z}$ dengan $\text{FPB}(a,b)=1$ maka nilai dari $a+b+c$ adalah...

a. 7

b. 11

c. 65

d. 125

e. 287

Diberikan $a, b, c$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $$3a^{2}+2b^{2}+c^{2}+4ab+2ac+2bc=2(6a+5b+3c-7)$$. Nilai dari $a^{3}+2a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+abc+a+b+c$ adalah...

Banyak bilangan asli $n$ dengan $35\le n\le3516$ di mana sisa bagi $n^{4}-9$ oleh 15 merupakan 7 adalah ...

Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=17$ Titik $D$ berada di $AC$ dengan sifat $AB=CD$. Titik E dan F berturut-turut merupakan titik tengah dari $AD$ dan $BC$. Garis $AB$ memotong $EF$ di titik $P$ dan $AP=7.$ Jika panjang $CE=x.$ maka nilai dari $x+6$ adalah ...

Nilai dari $$csc^{2}(36^{\circ})+csc^{2}(72^{\circ})+csc^{2}(108^{\circ})+csc^{2}(144^{\circ})$$ adalah ...

Diberikan sebuah tabel berukuran $24\times24$ dimana setiap selnya akan diisi oleh salah satu bilangan di antara -1 atau 1. Jikan menyatakan banyaknya cara untuk mengisi tabel tersebut sedemikian sehingga jumlah semua bilangan pada setiap baris, kolom, dan diagonalnya adalah kelipatan 4, maka 2 digit terakhir dari $n$ adalah...