Forums
KOMPETISI MATEMATIK...
KTOM
KTOM 2025 - Mei
 
Notifications
Clear all

KTOM 2025 - Mei

 
KTOM
Last Post by Admin dot 4 minggu ago
1 Posts
1 Users
0 Reactions
7 Views
RSS
Admin dot
 Admin dot
(@edukasidot)
Posts: 83
Member Admin
Topic starter
 
BAGIAN A.
  1. Sebuah jajargenjang memiliki panjang sisi 20 dan 25 serta luas yang merupakan sebuah bilangan asli yang habis dibagi 7. Jika $M$ dan $m$ keduanya menyatakan luas terbesar dan terkecil yang mungkin dari jajargenjang tersebut, tentukan nilai dari $M - m$.
  2. Pada penjabaran $(ax + b)^{2025}$, diketahui koefisien dari $x^{1000}$ bernilai sama dengan koefisien dari $x^{1001}$. Bila $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif, tentukan nilai minimal dari $a + b$.
  3. Diberikan kumpulan 9 titik pada koordinat kartesius sebagai berikut:$$(2, 0), (1, 0), (0, 0), (-1, 0), (-2, 0), (0, -2), (0, -1), (0, 1), (0, 2).$$Tentukan banyaknya garis berbeda yang melewati setidaknya dua titik di kumpulan tersebut.
  4. Tentukan bilangan komposit $n$ terkecil sehingga $2025!$ tidak habis dibagi $n$.
  5. Diberikan segienam $ABCDEF$ di mana $\angle A = \angle B = \angle C = \angle E = \angle F = 90^{\circ}$ dan $\angle D = 270^{\circ}$, dengan panjang sisi $AB = 6, AF = 4, EF = 2, DE = 2$. Jika peluang terambilnya secara acak titik di dalam segienam $ABCDEF$ sehingga berjarak setidaknya $2\sqrt{2}$ dari titik $D$ dapat dinyatakan dalam bentuk$$\frac{a - b\pi}{c},$$di mana $a, b, c$ adalah bilangan asli dengan $\text{FPB}(a, b, c) = 1$, tentukan nilai dari $a^2 + b^2 + c^2$.
  6. Tentukan banyaknya bilangan asli $a \le 10^6$ sehingga $a^5 - a$ merupakan kelipatan dari enam prima pertama.
  7. Carilah jumlah semua bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $n \mid x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x$ untuk semua bilangan bulat $x$.
  8. Tiga sahabat Freddy, Fredi, dan Peledi akan memainkan sebuah permainan, di mana tiap pemain akan memilih bilangan real di antara 0 dan 1. Pemenang adalah pemain dengan bilangannya berada di antara bilangan dua pemain lainnya. Freddy bilang bahwa dia akan memilih sembarang bilangan di antara 0 dan 1. Sementara Fredi akan memilih sembarang bilangan di antara $\frac{1}{5}$ dan $\frac{1}{2}$. Jika peluang terbesar Peledi menang adalah $\frac{a}{b}$, di mana $a, b$ relatif prima, tentukan nilai dari $3a + b$.
  9. Misalkan $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_j, y_j)$ adalah semua solusi bulat dari persamaan$$(xy - 47)^2 = x^2 + y^2.$$Tentukan nilai dari $x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_jy_j$.
  10. Misalkan $A$ adalah perkalian seluruh bilangan real taknol $x$ yang memenuhi persamaan$$\sqrt[5]{x^3 + 20x} = \sqrt[3]{x^5 - 20x}.$$Tentukan nilai dari $\lfloor A^2 \rfloor$.
  11. Delapan orang sedang berbaris untuk bermain pesan berantai. Orang di paling kiri akan membisikkan suatu kata ke orang di sebelah kanannya. Orang kedua dari kiri akan mendengarkan kata yang disampaikan dan akan membisikkan kata yang ia dengar ke orang di sebelah kanannya. Hal ini diteruskan sampai ke orang yang ada di paling kanan. Orang terakhir akan menyampaikan kata yang ia terima dan akan dibandingkan dengan kata yang dibisikkan pertama kali. Diketahui setiap orang punya pendengaran yang cukup baik sehingga kata yang didengar setiap orang hanya berselisih maksimal satu huruf dari kata yang dibisikkan oleh orang sebelumnya. Selisih satu huruf ini berarti ada satu huruf yang ditambahkan atau dihapus dari kata yang dibisikkan, tetapi huruf yang sudah ada tidak diganti dengan huruf yang lain. Sebagai contoh, kata KTOM bisa didengar sebagai KTOMA, KTM, atau KTOM, tetapi tidak dengan KTOF. Jika kata yang diucapkan oleh orang di paling kiri adalah FURINA dan kata yang diucapkan oleh orang di paling kanan adalah MINE, tentukan banyak kemungkinan perubahan kata selama kata dibisikkan.
  12. Diberikan segitiga $\triangle ABC$ dengan $AB = 7$ dan $AC = 21$. Titik $D$ dikonstruksi sehingga $ABDC$ merupakan jajar genjang. Misalkan garis $BD$ dan $CD$ berturut-turut memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ di titik $E$ dan $F$. Tentukan luas terbesar yang mungkin dari segiempat $AEDF$.
  13. Diberikan himpunan $S$ dengan 36 anggota, yang merupakan kumpulan seluruh titik di koordinat kartesius yang memiliki koordinat $(x, y)$ di mana $x$ dan $y$ merupakan bilangan asli yang tidak lebih dari 6. Sebuah segitiga $X$ disebut menarik jika ketiga titik sudut dari $X$ merupakan anggota dari $S$ dan titik pusat lingkaran luar $X$ juga merupakan anggota $S$. Tentukan banyaknya segitiga menarik.
  14. Misalkan $\tau(n)$ menyatakan banyaknya faktor positif dari $n$ dan $\varphi(n)$ menyatakan banyaknya bilangan asli kurang dari atau sama dengan $n$ yang relatif prima dengan $n$. Tentukan jumlah seluruh bilangan asli ganjil $1 < n < 10000$ sehingga $\varphi(n)\tau(n)$ merupakan kelipatan $n$.
  15. Tentukan banyak kuadrupel bilangan asli $(a, b, c, d)$ yang memenuhi sistem persamaan berikut: $$\sqrt{2025}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{(c + 2025)(d + 2025)}$$ $$\sqrt{2025}(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = \sqrt{(d + 2025)(a + 2025)}$$ $$\sqrt{2025}(\sqrt{c} + \sqrt{d}) = \sqrt{(a + 2025)(b + 2025)}$$ $$\sqrt{2025}(\sqrt{d} + \sqrt{a}) = \sqrt{(b + 2025)(c + 2025)}.$$
  16. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 4, AC = 5, BC = 7$. Lingkaran dalam $\triangle ABC$ dengan titik pusat $I$ menyinggung sisi $BC$ dan $CA$ berturut-turut di titik $D$ dan $E$. Jika $K$ dan $L$ berturut-turut merupakan refleksi titik $D$ dan $E$ terhadap $I$, tentukan nilai dari $\lfloor 7(AL \cdot BK)^2 \rfloor$.
 
BAGIAN B.
  1. Diberikan pasangan bilangan bulat taknol $(a,b)$ sehingga terdapat fungsi $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ dan $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan $$f(g(x)) = x + a \quad \text{dan} \quad g(f(x)) = x + b$$ untuk setiap bilangan bulat $x$.
    (a) Buktikan bahwa fungsi $f$ dan $g$ merupakan fungsi surjektif.
          Hint: Tinjau $f(g(z - a))$ dan $g(f(z - b))$ untuk bilangan bulat $z$.
          Catatan: Suatu fungsi $h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ merupakan fungsi surjektif jika untuk setiap bilangan bulat $k$, terdapat bilangan bulat $c$ sehingga $h(c) = k$.
    (b) Buktikan bahwa $$f(x + b) = f(x) + a \quad \text{dan} \quad g(x + a) = g(x) + b$$ untuk setiap bilangan bulat $x$.
          Hint: Tinjau $f(g(f(x)))$ dan $g(f(g(x)))$.
    (c) Buktikan bahwa banyaknya kemungkinan nilai $f(x) \pmod a$ kurang dari atau sama dengan $|b|$, dan banyaknya kemungkinan nilai $g(x) \pmod b$ kurang dari atau sama dengan $|a|$.
    (d) Buktikan bahwa $|a| = |b|$.
          Hint: Gunakan bagian (a) dan (c).
    (e) Buktikan bahwa untuk seluruh pasangan bilangan bulat taknol $(a, b)$ dengan $|a| = |b|$, terdapat fungsi $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ dan $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan$$f(g(x)) = x + a \quad \text{dan} \quad g(f(x)) = x + b$$untuk setiap bilangan bulat $x$.
  2. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $AB < AC$. Misalkan titik $X$ berada di dalam segitiga $ABC$ sehingga $\angle XBC = \angle XAB$ dan $\angle XCB = \angle XAC$. Apabila titik $H$ adalah titik tinggi segitiga $ABC$, buktikan bahwa $AX$ tegak lurus dengan $HX$.
  3. Tentukan semua pasangan bilangan bulat nonnegatif $(a, b)$ sehingga terdapat suatu bilangan bulat $z$ yang memenuhi persamaan$$3^a - 7^b = z^3$$
  4. Terdapat kue spesial berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi 9 satuan yang terbagi menjadi 81 segitiga sama sisi satuan. Bowser dapat memilih dan kemudian mengambil kue berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2 satuan yang terdiri dari 4 segitiga sama sisi satuan dari kue spesial tersebut.
    Proses ini diulang sampai Bowser tidak dapat lagi mengambil kue ukuran 2 satuan dari kue spesial. Tentukan banyaknya kue dengan ukuran 2 satuan minimum yang dapat diambil Bowser.

 
Posted : 30/04/2026 2:18 am
Forum Jump:
  Previous Topic
Next Topic  
Share:
Keranjang Belanja
Scroll to Top