KTOM 2025 - Juni

Dalam rangka memperingati HUT KTOM ke-10, SMA KTOM mengadakan lomba cerdas cermat. Wali kelas akan memilih 3 murid secara acak dari kelas 1-A, yang terdiri dari 10 laki-laki dan 9 perempuan, untuk mengikuti lomba tersebut. Jika $\frac{p}{q}$ ialah peluang setidaknya ada satu laki-laki dan satu perempuan yang dipilih, dengan $p$ dan $q$ merupakan bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $p + q$.

Tentukan faktor prima terkecil dari $21^4 + 21^2 + 1$.

Diberikan sebuah segiempat $ABCD$ dengan panjang sisi 2. Titik $M$ adalah titik tengah $AB$. Titik $E$ adalah proyeksi titik $C$ ke $DM$. Jika panjang $CE$ adalah $\frac{p}{\sqrt{q}}$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $p + q$.

Misalkan $S$ adalah himpunan bilangan asli faktor dari $10!$ yang memiliki angka satuan 1. Hitunglah jumlah dari seluruh anggota dari $S$.

Diberikan trapesium siku-siku $ABCD$ dengan $BC = 24$, $CD = 8$, $AD = 26$, dan $\angle ABC = \angle BCD = 90^\circ$. Titik $X$ terletak pada $CD$ sehingga $\angle DAC = 2\angle DAX$. Jika panjang $CX$ dapat ditulis sebagai $\frac{m}{n}$, di mana $m, n$ merupakan bilangan asli yang saling relatif prima, tentukan nilai $m + n$.

Misalkan $Q(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat taknegatif. Jika $Q(1) = 5$ dan $Q(5) = 153$, tentukan nilai dari $Q(7)$.

Diberikan belah ketupat $ABCD$. Lingkaran dengan diameter $AB$ dan $AD$ masing-masing memotong $BC$ dan $CD$ di titik $K$ dan $L$. Jika $\angle AKL = \angle ABC$, tentukan besar $\angle BCD$.

Didefinisikan $\tau(n)$ sebagai banyaknya faktor positif dari $n$, misalnya $\tau(1) = 1$ dan $\tau(6) = 4$. Misalkan dua solusi bilangan asli terkecil terhadap persamaan$$\tau(n) + \tau(3n) = 404$$adalah $a < b$, tentukan nilai dari$$\left \lfloor \frac{2025a}{b} \right \rfloor$$

Saka menulis semua kata yang merupakan permutasi huruf dari kata INFILTRAT, lalu mengurutkan semua kata tersebut berdasarkan sistem alfabet (dari A ke Z). Pada kata ke-2025, misalkan $m$ dan $n$ adalah letak huruf I pertama dan I kedua dari kiri berturut-turut pada kata tersebut (Sebagai contoh, letak huruf I pertama dan I kedua dari kiri berturut-turut pada kata INFILTRAT adalah ke-1 dan ke-4). Tentukan nilai dari $10m + n$.

Nora akan bermain batu-gunting-kertas beberapa ronde melawan sebuah komputer. Pada setiap rondenya, Nora dan komputer memilih batu, gunting, atau kertas secara bersamaan. Diketahui bahwa batu mengalahkan gunting, gunting mengalahkan kertas, dan kertas mengalahkan batu.Namun, komputer ini diprogram untuk tidak mengeluarkan dua pilihan yang sama secara berturut-turut, dan peluang untuk tiap pilihannya itu acak dan adil. Pemain yang menang dalam tiap rondenya mendapatkan 2 poin, yang kalah mendapatkan 0 poin, sedangkan jika pilihan mereka sama, maka masing-masing dari mereka akan mendapatkan 1 poin.Nora akan berhenti bermain jika perolehan poin miliknya sudah lebih besar dari perolehan poin komputer setelah suatu ronde selesai. Jika peluang Nora berhenti bermain pada ronde keempat atau sebelumnya dapat dinyatakan dalam pecahan $\frac{a}{b}$ dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$, tentukan nilai dari $a + b$.

Tentukan banyaknya bilangan asli sembilan digit yang terdiri dari sembilan digit berbeda dan habis dibagi oleh 4950.

Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $AB < BC$ dan titik tengah sisi $BC, CA, AB$ adalah $D, E,$ dan $F$ secara berturut-turut. Dua segitiga sama sisi $\triangle BFG$ dan $\triangle CEH$ dibentuk di luar segitiga $ABC$. Diketahui bahwa $\angle BDG = 20^\circ$, maka tentukan $\angle CDH$.So

Misalkan $a, b, c$ bilangan real taknegatif sehingga$$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 5$$$$a + b + c = 3$$Carilah nilai maksimum dari$$\left \lfloor 135 \left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \right) \right \rfloor$$

Tentukan jumlah semua bilangan prima $p$ sehingga terdapat bilangan asli $n$ yang memenuhi$$(p - 4)(p + 1)(p + 3) = (n - 4)(n + 4)$$

Tentukan

Bilangan real positif $a, b, c$ memenuhi persamaan $a + \frac{b}{2} = \frac{c}{5}$. Jika $M$ adalah nilai maksimal dari$$3\sqrt[3]{a} + 6\sqrt[3]{b} - \frac{c^2}{250},$$maka tentukan nilai $\lfloor M^2 \rfloor$.S

Tentukan banyaknya tripel terurut bilangan asli $(a, b, c)$ sedemikian sehingga memenuhi persamaan $$\sqrt{\frac{\text{FPB}(a, b) \, \text{FPB}(b, c) \, \text{FPB}(c, a)}{\text{KPK}(a, b) \, \text{KPK}(b, c) \, \text{KPK}(c, a)}} = \frac{\text{FPB}(a, b, c)}{2025}$$

Diberikan segitiga $ABC$. Titik $D$ dan $E$ terletak pada segmen $AB$ sehingga $AD : DE : EB = 2 : 3 : 2$, dan titik $F$ dan $G$ terletak pada segmen $BC$ sehingga $BF : FG : GC = 1 : 3 : 1$, sementara titik $H$ dan $I$ berada pada segmen $AC$ sehingga $AH : HI : IC = 2 : 3 : 1$. Jika $P$ dan $R$ merupakan perpotongan $FH$ dengan $DG$ dan $EI$ berturut-turut, dan nilai dari $\frac{FR}{HP}$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ di mana $a, b$ merupakan bilangan asli dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$, tentukan nilai dari $a + b$.

Misalkan $a_1, a_2, \dots, a_{24}$ merupakan bilangan bulat sehingga$$a_1 + a_2 + \dots + a_{24} = 0$$dan $|a_k| \le k$ untuk setiap $k = 1, 2, \dots, 24$. Tentukan nilai maksimum dari$$a_1 + 2a_2 + \dots + 24a_{24}.$$

Misalkan $a_1 < a_2 < \dots < a_{16}$ adalah barisan bilangan bulat yang membentuk barisan aritmetika dengan beda $d$. Tentukan bilangan asli terbesar $n$ sehingga$$n \mid d a_1 a_2 \dots a_{16}$$ selalu kelipatan $n$ untuk setiap barisan aritmetika yang mungkin.