Notifications
Clear all
Topic starter
BAGIAN A.
- Terdapat dua lingkaran $Z_1$ dan $Z_2$ yang masing-masing berpusat di $O_1$ dan $O_2$ dan kedua lingkaran tersebut berpotongan di $A$ dan $B$. Titik $M$ dan $K$ terletak pada $Z_1$ sehingga $O_1M = O_1K$, titik $L$ dan $N$ terletak pada $Z_2$ sehingga $O_2L = O_2N$, dan titik $M, O_1, L, K, O_2, N$ segaris dalam urutan tersebut.Jika jari-jari $Z_1$ dan $Z_2$ berturut-turut adalah 3 dan 4, serta $O_1A$ menyinggung $Z_2$, maka hasil penjumlahan luas $\triangle MAN$ dan $\triangle KAL$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ dengan $\text{FPB}(a, b) = 1$. Tentukan nilai dari $a + b$.
- Gilbert adalah ketua dari kelompok besar yang berisikan 9 laki-laki (termasuk Gilbert) dan 12 perempuan. Misalkan $M$ adalah banyak cara bagi Gilbert untuk membagi kelompok besar tersebut menjadi 7 kelompok kecil sehingga setiap kelompok berisikan tiga anak serta terdapat setidaknya satu laki-laki dan satu perempuan.Apabila $M$ dapat dinyatakan dalam bentuk $p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_i^{a_i}$, dengan $p_1, p_2, \dots, p_i$ adalah bilangan prima yang saling berbeda serta $a_1, a_2, \dots, a_i$ adalah bilangan asli, tentukan nilai dari $p_1 + p_2 + \dots + p_i + a_1 + a_2 + \dots + a_i$.
- Diberikan $y = 6x$ dan $x^{2y} = y^{9x}$ untuk suatu bilangan real positif $x, y$. Jika $xy = 2^a \cdot 3^b$ untuk suatu bilangan bulat $a$ dan $b$, tentukan nilai dari $a + b$.
- Diketahui $n$ adalah bilangan asli terkecil yang lebih besar dari 8 sehingga $2n^2 + 1$ bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna. Untuk nilai $n$ tersebut, tentukan nilai $k \in \{1, 2, \dots, 2n\}$ yang memenuhi $n^2 + k \mid n^4$.
- Diketahui persegi $ABCD$ dengan $AB = 6$ yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran $\Gamma$ yang berpusat di $O$. Titik $P$ terletak pada busur $CD$ yang tidak mengandung $A$ dan $P \neq C, D$.Garis $AP$ memotong $BD$ di titik $X$ dan perpanjangan garis $CP$ berpotongan dengan perpanjangan $BD$ di titik $Y$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $XY$ dan $MP = PX$. Jika $BY = \sqrt{m} + \sqrt{n}$, tentukan nilai dari $m + n$.
- Bilangan style adalah bilangan yang digitnya hanya tersusun oleh angka 3, 5, atau 7. Bilangan style disebut hearts jika setiap dua digit bersebelahan jumlahnya lebih kecil dari 11. Tentukan banyaknya bilangan style hearts 10 digit.Contoh: 3553 adalah bilangan style hearts, sedangkan 3577 bukan.
- Diberikan bilangan real positif $a, b, c$ yang memenuhi$$\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1} = \frac{3c + 2}{a + 2} + \frac{a}{2b + 2} + \frac{2b - 1}{3c + 3} = \frac{3}{2}$$Tentukan nilai dari $\frac{a + b}{c}$.
- Dalam representasi desimal, suatu bilangan asli $a$ dikatakan gildur apabila terdapat bilangan asli $b$ sehingga dua digit terakhir dari $a + b$ sama dengan dua digit terakhir dari $ab$. Tentukan banyak bilangan asli gildur yang tidak lebih dari 100.Catatan: Apabila suatu bilangan hanya memiliki satu digit, digit puluhan dari bilangan tersebut dapat dianggap 0.
- Diketahui segitiga $ABC$ dengan garis tinggi $CH$. Titik $M$ dan $N$ berturut-turut terletak pada $AC$ dan $BC$ sehingga $HM \perp AC$ dan $HN \perp BC$. Titik $X$ merupakan perpotongan $MN$ dengan $AB$ dan titik $Y$ merupakan perpotongan $NH$ dengan $AC$.Jika $CB = \sqrt{21}$, $AC = 4$, dan $AB = 5$, maka luas $\triangle CXY$ dapat ditulis sebagai $a\sqrt{b}$ dengan $b$ merupakan bilangan asli yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat apapun selain 1. Tentukan nilai $a + b$.
- Lima pemain basket Andi, Budi, Citra, Dian, dan Eka sedang bermain lempar bola. Pada awalnya bola ada di tangan Andi. Pada setiap lemparan, bola harus diberikan ke pemain lain. Jika $N$ adalah banyak cara setelah tepat 100 kali lemparan sehingga bola kembali ke Andi, tentukan tiga digit terakhir dari $N$.
- Misalkan $A$ adalah himpunan bagian dari himpunan $\{1, 2, \dots, 15\}$. Kita sebut $A$ sebagai himpunan inspekulo apabila memenuhi kedua kondisi berikut:
- $A$ memiliki setidaknya 6 anggota,
- Terdapat permutasi dari $A$, sebut saja $\{a_1, a_2, \dots, a_i\}$, sehingga polinomial $P(x) = a_1x^{i-1} + a_2x^{i-2} + \dots + a_i$ memiliki setidaknya satu akar real.
Tentukan banyak himpunan yang inspekulo. - Tentukan jumlah semua bilangan asli $a$ sehingga persamaan $7an + 2n! = 2025$ memiliki solusi bilangan asli $n$.
- Diberikan segitiga $ABC$. Garis singgung lingkaran luar $ABC$ di $C$ memotong garis singgung lingkaran luar $ABC$ di $B$ dan $A$ di $D$ dan $F$ berturut-turut. $AD$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ di $E$. Terdapat titik $G$ sehingga $\angle ABC = \angle CAF$, $\angle AFC = \angle FGC$, dan $AF \parallel BG$. Jika $\cos \angle EBC = \frac{1}{2}$ dan $\sin \angle BCE = \frac{3\sqrt{3}}{14}$. Apabila nilai $\frac{FG}{FC}$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ dimana $a$ dan $c$ merupakan bilangan asli yang relatif prima, dan $b$ adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat selain 1, maka tentukan nilai dari $a + b + c$.
- Terdapat 10 titik $P_1, P_2, \dots, P_{10}$ di sebuah lingkaran. Tentukan banyak cara menggambar garis-garis yang menghubungkan dua titik sehingga satu titik terletak di maksimal satu garis dan tidak ada garis yang berpotongan dengan garis lainnya.
- Diberikan $x, y, z$ bilangan real positif. Jika nilai minimum dari$$\frac{\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{y^2 + 4z^2} + \sqrt{z^2 + 16x^2}}{9x + 3y + 5z}$$dapat dinyatakan sebagai $\sqrt{\frac{a}{b}}$ dimana $a$ dan $b$ merupakan bilangan asli dengan $a$ tidak habis dibagi bilangan kuadrat selain 1, tentukan nilai dari $a + b$.
- Carilah jumlah dari seluruh bilangan asli $n>1$ sehingga $2n-3|1+15\cdot (n!)^2$.
Â
BAGIAN B.
-
Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan titik $I$ dan $G$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran dalam dan titik berat dari segitiga $ABC$. Misalkan $I \neq G$ dan $IG$ sejajar dengan $BC$. Misalkan juga $r$ adalah panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga $ABC$.(a) Buktikan bahwa jarak titik $G$ ke $BC$ adalah $r$ satuan panjang.(b) Buktikan bahwa jarak titik $A$ ke $BC$ adalah $3r$ satuan panjang.(c) Buktikan bahwa $AB + AC = 2BC$.(d) Buktikan bahwa $BC^2 > AB \cdot AC$.
-
Kevin berjalan di bidang kartesius, ia memulai dari titik $(0,0)$ dan ingin berkunjung ke rumah makan yang terletak di titik $(2025, 2025)$. Dalam satu langkah, jika Kevin awalnya terletak di $(x,y)$, ia dapat bergerak ke $(x-1, y)$, $(x, y+1)$, atau $(x+1, y-1)$, dengan syarat bahwa Kevin tidak boleh mengambil dua langkah yang sama berurutan. Tentukan banyaknya langkah minimal sehingga Kevin dapat mengunjungi rumah makan tersebut.
-
Definisikan $C$ sebagai himpunan seluruh pasangan bilangan real $(x, y)$ yang memenuhi $x^2 + y^2 = 1$. Apakah terdapat setidaknya sebuah tupel bilangan real $(a, b, c, d)$ yang memenuhi kedua kriteria berikut sekaligus?(a) $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$.(b) Tidak terdapat fungsi bijektif $T: C \to C$ sehingga untuk setiap pasangan $(x, y) \in C$, jika $T(x, y) = (x_1, y_1)$, maka $ax + by = cx_1 + dy_1$.
-
Tentukan semua bilangan real $r$ sehingga terdapat bilangan real positif $d$ yang memenuhi: Untuk sembarang $i \ge 0$, terdapat bilangan asli $j$ yang memenuhi $$1 + r + \dots + r^i = \frac{d}{1} + \frac{d}{2} + \dots + \frac{d}{j}$$
Posted : 30/04/2026 2:42 am
