Forums
KOMPETISI MATEMATIK...
KTOM
KTOM 2025 - April
 
Notifications
Clear all

KTOM 2025 - April

 
KTOM
Last Post by Admin dot 4 minggu ago
1 Posts
1 Users
0 Reactions
8 Views
RSS
Admin dot
 Admin dot
(@edukasidot)
Posts: 83
Member Admin
Topic starter
 
BAGIAN A.
  1. Tentukan banyak kemungkinan nilai dari$$\frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|} + \frac{z}{|z|}$$untuk bilangan real taknol $x, y, z$.
  2. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB > AC$ dan $\angle BAC = 72^{\circ}$. Garis bagi sudut $\angle BAC$ memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ di titik $D \neq A$. Misalkan titik $O$ adalah titik pusat lingkaran luar $\triangle ABC$. Titik $E$ adalah perpotongan garis $OD$ dan perpanjangan $AC$. Jika $BE$ dan $AD$ sejajar, tentukan $\angle ADB$.
  3. Definisikan $S(n)$ sebagai jumlah dari digit-digit desimal $n$. Tentukan banyaknya bilangan asli dua digit $n$ sehingga $n + 8S(n)$ merupakan bilangan kuadrat sempurna.
  4. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, \dots, 12\}$ dengan setidaknya 4 elemen sehingga tidak ada dua elemen dengan selisih 3.
  5. Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah tiga bilangan real tak nol yang memenuhi sistem persamaan$$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = 0$$$$2a^2b + ab^2 + 2b^2c + bc^2 + 2c^2a + ca^2 + 5abc = 0.$$Tentukan nilai dari$$\left| \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} \right|.$$
  6. Diberikan bilangan asli $n > 2$ dan $m$ sehingga $m^2 + m + n^2$ merupakan kelipatan $mn$.Tentukan nilai minimal yang mungkin dari $mn$.
  7. Pada suatu pertandingan basket, Marselino dan Arhan memperebutkan bola untuk memasukkannya ke dalam ring. Diketahui bahwa perbandingan peluang Marselino dan Arhan merebut bola adalah $3 : 2$. Seseorang dinyatakan menang jika berhasil memasukkan bola ke dalam ring dua kali berturut-turut. Mereka bermain sampai ada yang menang. Jika peluang Marselino memenangkan pertandingan ini dapat dinyatakan dalam pecahan sederhana $\frac{a}{b}$, tentukan nilai dari $a + b$.
  8. Diberikan segiempat siklis $ABCD$ dengan luas $2025$ dan $\angle ABC = 45^{\circ}$. Apabila$$2AC^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2,$$tentukan nilai dari $AB^2 + BC^2 - CD^2 - DA^2$.
  9. Definisikan harga sebuah permutasi $(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2025})$ dari $(1, 2, 3, \dots, 2025)$ sebagai$$\sum_{i=1}^{2025} |a_i - i|.$$Jika rata-rata harga dari seluruh permutasi dari $(1, 2, \dots, 2025)$ adalah $E$, tentukan nilai dari $\left\lfloor \sqrt{12E} \right\rfloor$.
  10. Diberikan tiga bilangan real berbeda $a, b,$ dan $c$. Misalkan Saka menggambar tiga grafik dari tiga fungsi $f_1(x) = ax^2 + bx + c$, $f_2(x) = bx^2 + cx + a$, dan $f_3(x) = cx^2 + ax + b$. Tentukan banyak titik potong minimum yang mungkin yang dapat dibentuk oleh tiga grafik tersebut.
  11. Misalkan $n$ merupakan bilangan asli yang kurang dari $1000$. Jika jumlah semua sisa pembagian taknegatif $n$ oleh $2, 2^2, 2^3, \dots, 2^9$ adalah $137$, tentukan jumlah semua $n$ yang memenuhi.
  12. Diberikan segitiga $ABC$ dengan panjang $AB = 10$, $BC = 17$, dan $CA = 9$. Titik $O$ adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $ABC$. Lalu, titik $D$ adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $OAC$. Garis yang melalui $D$ dan tegak lurus dengan $AD$ memotong $AC$ pada titik $F$. Jika luas $\triangle ADF$ adalah $x$ satuan luas, tentukan $\lfloor x \rfloor$.
  13. Pasangan bilangan real $(a, b)$ dikatakan asiq jika memenuhi bahwa sistem persamaan$$x^2 = (a - y)(a + y + 2)$$$$y^2 = (b - x)(b + x + 2)$$tidak memiliki solusi bilangan real $(x, y)$. Misalkan $r$ adalah peluang pasangan bilangan real $(a, b)$ yang dipilih secara acak di interval $-\sqrt{2} - 1 \le a, b \le 2\sqrt{2} - 1$ merupakan pasangan yang asiq. Tentukan nilai dari $\left\lfloor 2025r \right\rfloor$.
  14. Tentukan bilangan asli $n$ terbesar sehingga$$\binom{2}{1} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{6}{3} \cdot \dots \cdot \binom{4088}{2044} \cdot \binom{4090}{2045}$$merupakan kelipatan $2^n$.
  15. Terdapat 2025 siswa di suatu kelas. Mereka memiliki nomor absen $1, 2, \dots, 2025$. Setiap siswa melempar koin dan mendapat skor sesuai nomor absen jika mendapatkan angka, dan mendapat skor 0 jika mendapatkan gambar. Jika peluang jumlah skor seluruh siswa merupakan kelipatan 3 dapat dinyatakan dalam pecahan $\frac{a}{2^b}$ untuk bilangan asli ganjil $a$ dan bilangan bulat taknegatif $b$, tentukan nilai dari $b$.
  16. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 9, BC = 8, CA = 7$ dan lingkaran luarnya $\omega$. Titik $P$ adalah perpotongan garis singgung $\omega$ pada $A$ dan $BC$. Titik $M_1$ dan $M_2$ adalah titik tengah busur kecil $AB$ dan $AC$. Titik $P_1 \neq M_1$ dan $P_2 \neq M_2$ adalah perpotongan $PM_1$ dan $PM_2$ dengan $\omega$. Lalu, garis singgung $\omega$ pada $P_1$ dan $P_2$ berpotongan dengan $AC$ dan $AB$ secara berturut-turut di $Q_1$ dan $Q_2$. Jika $\frac{PQ_1}{PQ_2} = \frac{a}{b}$ dengan $\frac{a}{b}$ pecahan bentuk paling sederhana, tentukan nilai dari $a + b$.
 
BAGIAN B.
  1. Untuk bilangan asli $n$, misalkan $d(n)$ adalah banyaknya faktor positif dari $n$ serta misalkan $\varphi(n)$ adalah banyaknya bilangan asli tidak lebih dari $n$ yang relatif prima dengan $n$. Definisikan $n$ sebagai bilangan kawaii jika memenuhi $d(n) + \varphi(n) = n + 1$. Misalkan $A$ adalah himpunan seluruh faktor positif dari $n$ dan $B$ adalah himpunan seluruh bilangan asli tidak lebih dari $n$ yang relatif prima dengan $n$. Notasikan untuk $|X|$ sebagai banyaknya elemen di himpunan $X$.
    (a) Untuk seluruh bilangan asli $n$, buktikan bahwa $|A \cap B| = 1$ dan $|A \cup B| \le n$.
    (b) Untuk seluruh bilangan asli $n$, buktikan bahwa $d(n) + \varphi(n) \le n + 1$, dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika $|A \cup B| = n$. Hint: gunakan prinsip inklusi eksklusi $|A| + |B| = |A \cup B| + |A \cap B|$.
    (c) Dari bagian (b), buktikan bahwa jika $n$ kawaii, untuk seluruh bilangan asli $2 \le m \le n$, maka $m$ merupakan anggota dari tepat salah satu himpunan $A$ atau $B$.
    (d) Buktikan bahwa 1 dan seluruh bilangan prima adalah kawaii.
    (e) Asumsikan $n \ge 4$ adalah bilangan komposit yang kawaii. Misalkan $n = ab$ untuk $a \ge b \ge 2$. Dari bagian (c), buktikan bahwa $m_1 = a(b - 1)$ dan $m_2 = b(a - 1)$ merupakan anggota $A$. Kemudian, simpulkan seluruh bilangan komposit $n \ge 4$ yang kawaii.
    Dari bagian (d) dan (e), simpulkan seluruh bilangan kawaii.
  2. Diberikan himpunan $S$ dengan tepat 9 elemen yang merupakan himpunan bagian dari $\{1, 2, \dots, 72\}$. Buktikan bahwa terdapat dua himpunan $A$ dan $B$ yang memenuhi ketiga syarat berikut:
    - $A$ dan $B$ merupakan himpunan bagian tak kosong dari $S$,
    - Hasil penjumlahan seluruh elemen di $A$ dan $B$ sama besar, dan
    - $A \cap B$ merupakan himpunan kosong.
  3. Diberikan segiempat siklis $ABCD$ dengan $BC < AD$ dan $CD < AB$. Garis $BC$ dan $AD$ berpotongan di $X$, dan garis $CD$ dan $AB$ berpotongan di $Y$. Misalkan $E, F, G, H$ adalah titik tengah sisi $AB, BC, CD, DA$ berturut-turut. Misalkan $S$ dan $T$ titik pada segmen $EG$ dan $FH$ berturut-turut sedemikian sehingga $XS$ adalah garis bagi dalam sudut $\angle BXA$ dan $YT$ adalah garis bagi dalam sudut $\angle DYA$. Tunjukkan bahwa $TS$ sejajar dengan $BD$ jika dan hanya jika $AC$ membagi segiempat $ABCD$ menjadi dua segitiga dengan luas yang sama.
  4. Misalkan $P(x)$ adalah sebuah polinomial monik berkoefisien real sehingga terdapat polinomial berkoefisien real $Q(x)$ sehingga $$P(x^2 - 2) = P(x)Q(x).$$
    (a) Tentukan semua akar kompleks yang mungkin dari $P(x)$.
    (b) Untuk sembarang polinomial $P(x)$ monik yang memenuhi, tentukan apakah $P(x)$ harus merupakan polinomial berkoefisien rasional.
    Catatan: Polinomial monik adalah polinomial dengan koefisien dari suku pangkat tertinggi adalah 1. Sebagai contoh, $x^2 - 1$ adalah polinom monik sementara $2x + 3$ tidak monik.

 
Posted : 30/04/2026 1:58 am
Forum Jump:
  Previous Topic
Next Topic  
Share:
Keranjang Belanja
Scroll to Top