- Tentukan jumlah seluruh bilangan asli $n$ sehingga $n$ merupakan kelipatan 15 dan memiliki tepat 15 faktor positif.
-
Tentukan banyaknya pasangan bilangan real $(a, b)$ yang memenuhi persamaan $$a^3 - b = 2a$$ $$b^3 - a = 2b.$$
- Diberikan segitiga lancip $ABC$ di mana panjang $AB = 5$ dan $AC = 7$. Titik $D$ dan $E$ pada $BC$ sedemikian sehingga $AD$ garis bagi $\angle A$ dan $AE$ tegak lurus $BC$. Jika panjang $DE = 2$, panjang $BC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\sqrt{a} - b$ di mana $a$ dan $b$ bilangan asli. Tentukan nilai dari $a + b$.
-
Tentukan banyaknya bilangan bulat positif $a$ dengan $a \le 154$ sedemikian sehingga koefisien $x^a$ dalam ekspansi $$(1 + x^7 + x^{14} + \dots + x^{77}) (1 + x^{11} + x^{22} + \dots + x^{77})$$ adalah nol.
-
Diberikan bilangan real berbeda $a, b, c$ yang memenuhi $$36(a - b)^2 = 9(b - c)^2 = 4(c - a)^2.$$ Tentukan nilai dari $$\left| 36 \left( \frac{a - b}{b - c} + \frac{b - c}{c - a} + \frac{c - a}{a - b} \right) \right|.$$
- Palindrome adalah kata yang dapat dibaca dari depan dan belakang secara sama. Sebagai contoh, 'ayaya' dan 'kasurrusak' adalah palindrome. Palingram adalah kata yang hurufnya dapat disusun menjadi sebuah palindrome. Sebagai contoh, 'hobibocchi' adalah palingram karena karakternya dapat disusun menjadi 'ochibbihco' yang merupakan palindrome. Tentukan banyaknya palingram yang terdiri dari lima huruf.
-
Tentukan banyaknya bilangan bulat positif $n$ kurang dari satu juta sehingga $$\sum_{k=1}^{n} \frac{\lfloor \sqrt{k} \rfloor + 1}{\lfloor \sqrt{k+1} \rfloor}$$ merupakan bilangan bulat.
- Diberikan segiempat konveks $ABCD$ di mana $|\angle ABC - \angle ADC| = 80^\circ$. Lingkaran dalam segitiga $BCD$ menyinggung sisi $CD, CB, BD$ berturut-turut di titik $P, Q, R$. Lingkaran dalam segitiga $ABD$ menyinggung $BD, DA, AB$ berturut-turut di titik $R, S, T$. Tentukan selisih dari besar sudut $\angle PRS$ dan $\angle QRT$.
-
Tentukan nilai dari $$\text{FPB}(20^3 + 50, 20^5 + 50, 20^7 + 50, \dots, 20^{2025} + 50).$$
- Diberikan fungsi $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sedemikian sehingga barisan $f(n) + f(n + 1)$ untuk $n$ asli membentuk barisan geometri dan barisan $f(n) \cdot f(n + 1)$ untuk $n$ asli membentuk barisan aritmatika. Diketahui $f(1) = 2$ dan $f(2) = 3$, tentukan nilai dari $f(2025)$.
- Misalkan setiap koin memiliki dua sisi yang masing-masing diberi label $A$ dan $B$. Diberikan 100 koin yang diletakkan di atas meja sehingga setiap koin menunjukkan label $A$. Pada hari ke-$n$, Jack membalik sembarang $n$ keping koin. Tentukan banyaknya koin maksimum yang menunjukkan label $B$ setelah 100 hari.
-
Diketahui segitiga $ABC$ dengan titik bagi $I$ dan $AI$ memotong $BC$ di $D$. Jika panjang $AC = 10$ dan diketahui bahwa $$BC \cdot \sin(\angle CAD) = (AC - AB) \cdot \sin(\angle ADC),$$ tentukan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$.
- Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB = 28^{\circ}$ dan $\angle BAC = 32^{\circ}$. Garis bagi $\angle C$ memotong $AB$ di titik $D$ dan $E$ pada segmen $AC$ sedemikian sehingga $\angle AEB = 88^{\circ}$. Tentukan besar dari $\angle DEC$ dalam satuan derajat.
-
Untuk bilangan asli $n$, definisikan $f(n) = \frac{1}{\varphi(n^5)}$. Misalkan bahwa $$\frac{f(1) + f(3) + f(5) + \dots}{f(2) + f(4) + f(6) + \dots} = \frac{m}{n}$$ di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli relatif prima. Tentukan $10m + n$.
-
Diberikan tiga bilangan riil $a, b, c$ yang memenuhi sistem persamaan $$4a^2 = 4a^4 + b^2$$ $$4b^2 = 4b^4 + c^2$$ $$4c^2 = 4c^4 + a^2.$$ Misalkan $a_i$ adalah semua nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut dengan $a_1 \ge a_2 \ge \dots \ge a_n$. Jika nilai dari $a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 \cdot a_7 = \frac{p}{q}$ di mana $p, q$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $p+q$.
- Di sebuah papan $4 \times 4$ yang terdiri dari 16 persegi satuan, 5 persegi satuan berbeda dipilih secara acak. Jika peluang tidak ada dua persegi satuan yang memiliki sisi persekutuan adalah $\frac{m}{n}$ untuk bilangan asli relatif prima $m$ dan $n$, tentukan nilai dari $m + n$.
-
Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $BC < AB < AC$. Titik $D$ dan $E$ terletak di sisi $AB$ dan $AC$ berturut-turut sehingga $DB = BC = CE$. Garis $CD$ dan $BE$ bertemu di titik $F$. Titik $I$ adalah pusat lingkaran dalam segitiga $ABC$ dan titik $H$ adalah titik tinggi segitiga $DEF$. $\omega_b$ adalah lingkaran berdiameter $BD$ dan $\omega_c$ adalah lingkaran berdiameter $CE$. $\omega_b$ dan $\omega_c$ berpotongan di titik $X$ dan $Y$. Misalkan $P$ dan $R$ berturut-turut adalah proyeksi titik $E$ dan $B$ ke garis $DC$, serta $Q$ dan $S$ berturut-turut adalah proyeksi titik $D$ dan $C$ ke garis $BE$.
(a) Buktikan bahwa $I$ adalah titik tinggi $\triangle FBC$.
(b) Buktikan bahwa titik $Q$ dan $R$ terletak di $\omega_b$ dan titik $P$ dan $S$ terletak di $\omega_c$.
(c) Buktikan $DH \cdot HQ = EH \cdot HP$ dan $CI \cdot IS = BI \cdot IR$.
(d) Dengan Radical Axis Theorem, buktikan bahwa $I$ dan $H$ terletak di garis $XY$. -
Tentukan semua pasangan bilangan asli $(m, n)$ yang memenuhi $$2^{n!} + 1 \mid 2^{m!} + 19.$$
-
Tentukan seluruh fungsi $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ sehingga $$f \left( f \left( f \left( \frac{x+y}{2} \right) \right) + x + y \right) = f(x) + f(y) + f \left( \frac{x+y}{2} \right)$$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{Q}$.
-
Diberikan papan catur $n \times n$ dengan $n > 3$ yang setiap persegi satuan awalnya berwarna putih. Setiap langkah, kita mengubah warna (dari putih menjadi hitam atau sebaliknya) dari lima persegi yang membentuk T-pentomino berikut, yang dapat dirotasi maupun direfleksi. Tentukan seluruh bilangan asli $n$ sehingga seluruh persegi pada papan dapat dibuat menjadi hitam dalam beberapa langkah.
