Forums
KOMPETISI MATEMATIK...
KTOM
KTOM 2025 - Februar...
 
Notifications
Clear all

KTOM 2025 - Februari

 
KTOM
Last Post by Admin dot 4 minggu ago
1 Posts
1 Users
0 Reactions
3 Views
RSS
Admin dot
 Admin dot
(@edukasidot)
Posts: 83
Member Admin
Topic starter
 
BAGIAN A.
  1. Budi adalah pemain basket yang sedang menjalankan pelatihan intensif basket. Pada akhir setiap hari, peluang bola yang ia lempar memasuki ring bertambah $\frac{1}{50}$. Pada akhir hari pelatihan ke-5, Budi menemukan bahwa ketika ia melempar bola sebanyak 5 kali, peluang tepat 2 bola diantaranya memasuki ring sama dengan peluang tepat 3 bolanya memasuki ring. Jika peluang bola yang Budi lempar memasuki ring saat awal pelatihan (sebelum hari pertama) adalah $\frac{x}{100}$, tentukan nilai dari $2x$.
  2. Diberikan tiga fungsi $f, g, h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang memenuhi $$f(xy) = g(x)h(y)$$untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$. Jika diketahui $f(1) = 20, g(2) = 25,$ dan $g\left(\frac{1}{2}\right) = 5$, tentukan nilai dari $h(2048)$.
  3. Misalkan $p_1, p_2, p_3, p_4$ merupakan bilangan prima berbeda yang memenuhi sistem persamaan$$2p_1 + 3p_2 + 5p_3 + 7p_4 = 171$$ $$14p_1 + 7p_2 + 5p_3 + 4p_4 = 150.$$ Tentukan nilai terkecil dari $p_1 p_2 p_3 p_4$.
  4. Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $BC = 3AB$. Misalkan $\ell$ adalah lingkaran yang menyinggung segmen $AB, BC,$ dan $AD$. Sebuah garis ditarik dari $C$ yang menyinggung $\ell$ memotong segmen $AD$ di titik $K$. Tentukan nilai dari $\frac{KD}{AK}$.
  5. Penduduk Desa Daduda dikenal dengan Ritual Keberuntungan Daduda, di mana pada upacara tersebut akan dilakukan pelemparan dadu setimbang 6 sisi sebanyak 5 kali berturut-turut. Penduduk percaya bahwa jika hasil kali semua angka yang diperoleh dari pelemparan dadu habis dibagi 4 atau 5, maka tahun tersebut merupakan tahun keberuntungan. Jika peluang tahun ini merupakan tahun keberuntungan dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ di mana $a, b$ bilangan asli yang saling relatif prima, tentukan nilai dari $\lfloor \frac{100a}{b} \rfloor$.
  6. Tentukan banyaknya bilangan asli $n \le 1000$ sehingga terdapat dua faktor positif berbeda dari $n$ yang jumlahnya $\frac{2n}{5}$.
  7. Tentukan bilangan asli $n$ terkecil sehingga berlaku $$n + x^2 + xy^2 + xyz^2 \ge 4xyz$$ untuk setiap $x, y, z \in \mathbb{R}^+$.
  8. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 6, BC = 8,$ dan $AC = 7$. Titik $M$ adalah titik tengah $BC$. Titik $D$ berada di sisi yang berbeda dengan titik $B$ terhadap $AC$ sehingga $2\angle BDM = \angle ABC$ dan $BD$ tegak lurus $DC$. Lalu, titik $E$ adalah perpotongan $AC$ dengan $MD$ dan titik $O$ adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $ABC$. Jika luas segitiga $ODE$ dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ dimana $a$ dan $c$ merupakan bilangan asli yang saling relatif prima dan $b$ bilangan asli yang tidak dapat dibagi oleh bilangan kuadrat selain 1, tentukalah nilai $a + b + c$.
  9. Diberikan himpunan $A = \{1, 2, \dots, 20\}$. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki tepat 5 anggota sehingga tidak memuat dua bilangan berurutan dan juga tidak memuat bilangan 1 dan 20 sekaligus.
  10. Diketahui bahwa $x$ dan $y$ adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi 19 sehingga 19 habis membagi $8x + 17y$. Tentukan nilai maksimum dari $m + n$ dengan $m, n \le 18$ dan memenuhi 19 habis membagi $mx + ny$.
  11. Tentukan bilangan real terbesar $K$ sehingga memenuhi pertidaksamaan $$\frac{a^2b^2}{2(c - 4)^2} + \frac{abc^2}{(a - 4)(b - 4)} \ge K$$ untuk seluruh bilangan real $a, b, c > 4$.
  12. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13, BC = 14,$ dan $AC = 15$. Lingkaran dalam $\triangle ABC$ berpusat di titik $I$ dan menyinggung sisi $BC, CA, AB$ berturut-turut di titik $D, E, F$. Misalkan garis yang melalui $A$ dan sejajar dengan $BC$ berpotongan dengan $DF$ dan $DE$ di titik $X$ dan $Y$ berturut-turut dan $N$ adalah perpotongan $XE$ dan $YF$. Titik $Q$ adalah perpotongan lingkaran luar $\triangle ANI$ dengan lingkaran dalam $\triangle ABC$ sehingga $Q$ berada di sisi yang berbeda dengan $A$ terhadap garis $EF$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $EF$. Jika panjang $MQ = \frac{a\sqrt{b}}{c}$ dengan $a, c$ bilangan asli yang saling relatif prima dan $b$ bilangan asli yang tidak dapat dibagi oleh bilangan kuadrat selain 1, tentukan tiga digit terakhir dari nilai $a + b + c$.
  13. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli berbeda $(a, b)$ dengan $a, b < 4048$ sedemikian sehingga $20a^2 - 17b^2$ dan $17a^2 + 20b^2$ merupakan bilangan asli kelipatan 689.
  14. Diberikan bilangan real nonnegatif $a, b, c$ dengan $c = \min\{a, b, c\}$. Apabila nilai minimum dari $$\frac{1}{a^2 + c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2} + \sqrt{a + b + c}$$ adalah $m$, tentukan nilai dari $\lfloor m^2 \rfloor + \lfloor m \rfloor + \lfloor 10\{m\} \rfloor$.
  15. Raymond dan Kevin bermain sebuah game. Pada mulanya, $x = 1$. Pada setiap langkah, mereka memilih bilangan $r \in \{3, 5, 8, 9\}$ secara sembarang dan mengalikan $x$ dengan $r$. Jika $x + 1$ merupakan bilangan kelipatan 13, Raymond menang; jika $x + 3$ merupakan bilangan kelipatan 13, Kevin menang; jika tidak keduanya, mereka mengulang langkah yang serupa. Jika peluang Raymond memenangkan permainan ini dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ dimana $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang saling relatif prima, tentukanlah nilai dari $a + b$.
  16. Diberikan dua lingkaran $\omega$ dan $\Omega$ yang tidak saling berpotongan memiliki titik pusat $C_\omega$ dan $C_\Omega$ secara berturut-turut. Jari-jari $\Omega$ jauh lebih besar dari jari-jari $\omega$. Kedua garis singgung persekutuan luar dari $\Omega$ dan $\omega$ berpotongan di $P$. Sebuah garis singgung persekutuan dalam dari $\Omega$ dan $\omega$ berpotongan dengan kedua garis singgung persekutuan di $X$ dan $Y$. Misalkan jari-jari $\omega$ adalah 4, dan jari-jari lingkaran luar $\triangle PXY$ adalah 9, dan $XY$ membagi dua sama besar segmen $\overline{PC_\Omega}$. Jika panjang $XY$ bisa dinyatakan dalam bentuk $a\sqrt{b}$ dimana $a$ dan $b$ adalah bilangan asli dan $b$ tidak memiliki faktor bilangan kuadrat selain 1, tentukanlah nilai dari $ab$.
 
BAGIAN B.
  1. Representasi biner dari suatu bilangan asli $n$ adalah $(a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0)_2$ jika $$n = a_k 2^k + a_{k-1} 2^{k-1} + \dots + 2^1 a_1 + 2^0 a_0$$ dan $a_i \in \{0, 1\}$ untuk setiap $0 \le i \le k$. Sebagai contoh, $2 = (10)_2, 20 = (10100)_2,$ dan $2025 = (11111101001)_2$. Definisikan $a_n$ sebagai banyaknya dua digit berurutan yang berbeda pada representasi biner dari $n$. Definisikan juga $b_n$ sebagai banyaknya dua digit berurutan yang sama pada representasi biner dari $n$. Sebagai contoh, $a_2 = 1, a_{20} = 3, a_{2025} = 4, b_2 = 0, b_{20} = 1, b_{2025} = 6$. Barisan bilangan bulat $(x_n)_{n \ge 1}$ didefinisikan dengan $x_1 = 0, x_2 = -1, x_3 = 1,$ dan $$x_{4n} = x_{2n} + 1, \quad x_{4n+1} = x_{2n} - 1, \quad x_{4n+2} = x_{2n+1} - 1, \quad x_{4n+3} = x_{2n+1} + 1$$ untuk semua bilangan asli $n$.
    (a) Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ dengan $1 \le n \le 2025$ sehingga $b_n - a_n = 8$.
    (b) Buktikan bahwa $x_n = b_n - a_n$ untuk setiap bilangan asli $n$.
    (c) Tentukan nilai maksimum dan minimum yang mungkin dari $x_n$ untuk $1\le n\le 2025$.
  2. Diberikan bilangan real positif $x, y$. Buktikan bahwa $$\frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{(y + 1)^2} \ge \frac{1}{xy + 1}.$$ Tentukan seluruh pasangan $(x, y)$ di mana kesamaan terjadi.
  3. Tentukan seluruh fungsi $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $$\frac{f(a) - f(b)}{\varphi(a - b)}$$ merupakan bilangan bulat untuk seluruh bilangan asli $a > b$ dengan $\text{gcd}(a, b) = 1$.
  4. Diberikan segitiga lancip $ABC$. $E$ dan $F$ adalah titik pada segmen $AC$ dan $AB$ berturut-turut sehingga $BF \cdot FA = AE \cdot EC$. Titik $D$ pada sisi yang sama dengan $A$ terhadap garis $EF$ sehingga $\angle DEF = \angle ABC$ dan $\angle DFE = \angle ACB$. Titik $T$ adalah perpotongan garis $EF$ dan $BC$. Buktikan bahwa garis $TD$ menyinggung lingkaran luar segitiga $ABC$.

 
Posted : 29/04/2026 7:21 am
Forum Jump:
  Previous Topic
Next Topic  
Share:
Keranjang Belanja
Scroll to Top