KTOM 2025 - Januari

Admin dot · 2026-04-29T03:48:31Z

BAGIAN A. Misalkan $A,N,T,I,B,O,K$ adalah bilangan asli satu digit yang saling berbeda. Apabila $m$ dan $M$ berturut-turut adalah nilai minimum dan maksimum yang mungkin dari $$A+N+T+I+B+I+O+T+I+K,$$ tentukan nilai dari $m+M$. Tentukan bilangan ganjil positif terkecil yang memiliki tepat 15 pembagi positif. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $angle ACB=32^o$ dan titik $D$ terletak pada $overline{AB}$. Titik $X$ dan $Y$ berturut-turut adalah bayangan pencerminan $D$ terhadap garis $AC$ dan $BC$. Jika $X,A,B,Y$ terletak pada satu lingkaran, tentukan besar $angle XCY$. Diberikan bilangan real $a,b,c$ yang memenuhi sistem persamaan $$a^2=-6b-14$$ $$b^2=8c-23$$ $$c^2=4a+8$$ Tentukan nilai dari $a+b+c$. Pada suatu pertemuan terdapat 40 orang yang hadir dan akan saling melakukan jabat tangan hanya dengan lawan jenis. Dari 40 orang tersebut terdapat $n$ laki-laki dan $m$ perempuan, dan diketahui bahwa setiap orang memiliki tepat satu orang lawan jenis yang mereka suka dan karena malu, setiap orang tidak akan berjabat tangan dengan orang yang mereka suka. Diketahui bahwa tidak ada 2 orang yang saling suka. Jika banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah 351, tentukan nilai dari $m^2+n^2$. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat tak negatif $(m,n)$ yang memenuhi $$2^m+2^n+2^{2024}=2^{m+n}.$$ Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $AB=7,AC=5,BC=3$. Diketahui $D$ adalah titik pada sisi $BC$ sehingga $AD$ merupakan garis bagi dalam sudut $BAC$ dan suatu titik $E$ sehingga $ADE$ adalah segitiga sama sisi di mana $E$ dan $B$ berada pada sisi yang sama terhadap garis $AD$. Jika garis $EC$ dan $AD$ berpotongan di titik $K$, tentukan nilai dari $frac{AK^2}{KD^2}$. Misalkan $p,q,r$ merupakan akar-akar dari persamaan $x^3-3x+5=0$. Tentukan nilai dari $p^4+q^4+r^4$. Diberikan persegi $3times 3$ yang terdiri dari 9 persegi satuan. Setiap persegi satuan akan diwarnai salah satu dari dua pilihan warna, merah atau biru. Tidak boleh ada dua persegi satuan yang berwarna sama dan saling bersebelahan (berbagi sisi). Tentukan banyak cara mewarnai seluruh persegi tersebut. Tentukan banyak faktor positif dari $20!times 25! yang merupakan bilangan kuadrat dan habis dibagi oleh 2025. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=13,BC=14$, dan $CA=15$. $Omega$ adalah lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan titik pusat $O$. $H$ adalah titik tinggi segitiga $ABC$ dan $Dneq A$ adalah titik perpotongan garis $AH$ dengan $Omega$. Misalkan $mathscr{l}$ adalah garis yang tegak lurus dengan $AH$ yang melalui $O$, dan misalkan $E$ dan $F$ adalah titik perpotongan garis $mathscr{l}$ dengan $AC$ dan $AB$ berturut-turut. Misalkan $omega$ adalah lingkaran luar $Delta DEF$. Garis yang melalui $D$ dan menyinggung $omega$ memotong garis $BC$ di titik $X$. Jika panjang $BX$ dapat dinyatakan sebagai $frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif dan FPB$(a,b)=1$, tentukan nilai dari $a+b$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi $$7x+7y+7xy-3xy^2-3x^2y=40$$ $$2x+2y+2xy+xy^2+x^2y=4.$$ Tentukan nilai dari $leftlfloor x+y rightrfloor$. Diberikan segitiga $ABC$ lancip dengan $AB<AC,cos angle B=frac{1}{5}$, dan panjang jari-jari lingkaran luar 25. Misalkan $H$ dan $O$ adalah titik tinggi dan titik pusat lingkaran luar $ABC$, berturut-turut. Garis $AH$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ sekali lagi di titik $D$ dengan $Dneq A$. Diketahui juga $angle BAD=angle DAO$. Jika luas segiempat $COHD$ dapat dinyatakan dalam bentuk $asqrt{b}$ untuk suatu bilangan asli $a$ dan $b$ dengan $b$ tidak habis dibagi bilangan kuadrat selain 1. Tentukan nilai dari $a+b$. Misalkan $S$ adalah segi 18 beraturan. Untuk setiap dua titik sudut $A$ dan $B$ di $S$ definisikan $jarak$ di antara mereka adalah panjang lintasan terpendek melalui sisi segi 18 tersebut untuk bergerak dari $A$ ke $B$. Hitung banyaknya cara untuk memilih 3 titik sudut di $S$ sehingga tidak ada dua titik sudut yang dipilih yang jaraknya 1, 8, atau 9. Untuk suatu bilangan asli $n$, definisikan $$f(n)=sum_{k=1}^{n}varphi(k)leftlfloor frac{n}{k} rightrfloor^2$$ Hitunglah $f(2019)-f(2018)$. Diberikan 4 bilangan real positif $x,y,z,m$ sehingga $$xsqrt{y-m}+ysqrt{z-m}+zsqrt{x-m}=6msqrt{m}$$ $$x^2+y^2+z^2=12m^2$$ Tentukan jumlah semua nilai $$leftlfloor frac{x+y+z}{m} rightrfloor$$ yang mungkin. BAGIAN B. Teorema Akar Rasional (Rational Root Theorem) adalah suatu teorema yang menyatakan: Misalkan $a_0,a_1,...,a_n$ merupakan bilangan bulat dengan $a_n neq 0$. Tinjau polinom $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$. Jika $P(x)$ memiliki suatu akar rasional $r=frac{p}{q}$, di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat yang saling relatif prima, teorema ini menyatakan bahwa $p|a_0$ dan $q|a_n$. a) Buktikan teorema tersebut. Hint: jabarkan persamaan $P(frac{p}{q})=0$. b) Diberikan bilangan rasional $a,b,c$ sehingga $a+b+c,ab+bc+ca$, dan $abc$ merupakan bilangan bulat. Buktikan bahwa $a,b$ dan $c$ merupakan bilangan bulat. Hint: Tinjau polinom $(x-a)(x-b)(x-c)$. c) Diberikan bilangan rasional $a,b,c$ sehin...

KTOM

Last Post by Admin dot 4 minggu ago

1 Posts

1 Users

0 Reactions

8 Views

RSS

Admin dot

(@edukasidot)

Posts: 83

Member Admin

Topic starter

BAGIAN A.

Misalkan $A,N,T,I,B,O,K$ adalah bilangan asli satu digit yang saling berbeda. Apabila $m$ dan $M$ berturut-turut adalah nilai minimum dan maksimum yang mungkin dari $$A+N+T+I+B+I+O+T+I+K,$$ tentukan nilai dari $m+M$.
Tentukan bilangan ganjil positif terkecil yang memiliki tepat 15 pembagi positif.
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB=32^o$ dan titik $D$ terletak pada $\overline{AB}$. Titik $X$ dan $Y$ berturut-turut adalah bayangan pencerminan $D$ terhadap garis $AC$ dan $BC$. Jika $X,A,B,Y$ terletak pada satu lingkaran, tentukan besar $\angle XCY$.
Diberikan bilangan real $a,b,c$ yang memenuhi sistem persamaan $$a^2=-6b-14$$ $$b^2=8c-23$$ $$c^2=4a+8$$ Tentukan nilai dari $a+b+c$.
Pada suatu pertemuan terdapat 40 orang yang hadir dan akan saling melakukan jabat tangan hanya dengan lawan jenis. Dari 40 orang tersebut terdapat $n$ laki-laki dan $m$ perempuan, dan diketahui bahwa setiap orang memiliki tepat satu orang lawan jenis yang mereka suka dan karena malu, setiap orang tidak akan berjabat tangan dengan orang yang mereka suka. Diketahui bahwa tidak ada 2 orang yang saling suka. Jika banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah 351, tentukan nilai dari $m^2+n^2$.
Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat tak negatif $(m,n)$ yang memenuhi $$2^m+2^n+2^{2024}=2^{m+n}.$$
Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $AB=7,AC=5,BC=3$. Diketahui $D$ adalah titik pada sisi $BC$ sehingga $AD$ merupakan garis bagi dalam sudut $BAC$ dan suatu titik $E$ sehingga $ADE$ adalah segitiga sama sisi di mana $E$ dan $B$ berada pada sisi yang sama terhadap garis $AD$. Jika garis $EC$ dan $AD$ berpotongan di titik $K$, tentukan nilai dari $\frac{AK^2}{KD^2}$.
Misalkan $p,q,r$ merupakan akar-akar dari persamaan $x^3-3x+5=0$. Tentukan nilai dari $p^4+q^4+r^4$.
Diberikan persegi $3\times 3$ yang terdiri dari 9 persegi satuan. Setiap persegi satuan akan diwarnai salah satu dari dua pilihan warna, merah atau biru. Tidak boleh ada dua persegi satuan yang berwarna sama dan saling bersebelahan (berbagi sisi). Tentukan banyak cara mewarnai seluruh persegi tersebut.
Tentukan banyak faktor positif dari $20!\times 25! yang merupakan bilangan kuadrat dan habis dibagi oleh 2025.
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=13,BC=14$, dan $CA=15$. $\Omega$ adalah lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan titik pusat $O$. $H$ adalah titik tinggi segitiga $ABC$ dan $D\neq A$ adalah titik perpotongan garis $AH$ dengan $\Omega$. Misalkan $\mathscr{l}$ adalah garis yang tegak lurus dengan $AH$ yang melalui $O$, dan misalkan $E$ dan $F$ adalah titik perpotongan garis $\mathscr{l}$ dengan $AC$ dan $AB$ berturut-turut. Misalkan $\omega$ adalah lingkaran luar $\Delta DEF$. Garis yang melalui $D$ dan menyinggung $\omega$ memotong garis $BC$ di titik $X$. Jika panjang $BX$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif dan FPB$(a,b)=1$, tentukan nilai dari $a+b$.
Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi $$7x+7y+7xy-3xy^2-3x^2y=40$$ $$2x+2y+2xy+xy^2+x^2y=4.$$ Tentukan nilai dari $\left\lfloor x+y \right\rfloor$.
Diberikan segitiga $ABC$ lancip dengan $AB<AC,\cos \angle B=\frac{1}{5}$, dan panjang jari-jari lingkaran luar 25. Misalkan $H$ dan $O$ adalah titik tinggi dan titik pusat lingkaran luar $ABC$, berturut-turut. Garis $AH$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ sekali lagi di titik $D$ dengan $D\neq A$. Diketahui juga $\angle BAD=\angle DAO$. Jika luas segiempat $COHD$ dapat dinyatakan dalam bentuk $a\sqrt{b}$ untuk suatu bilangan asli $a$ dan $b$ dengan $b$ tidak habis dibagi bilangan kuadrat selain 1. Tentukan nilai dari $a+b$.
Misalkan $S$ adalah segi 18 beraturan. Untuk setiap dua titik sudut $A$ dan $B$ di $S$ definisikan $jarak$ di antara mereka adalah panjang lintasan terpendek melalui sisi segi 18 tersebut untuk bergerak dari $A$ ke $B$. Hitung banyaknya cara untuk memilih 3 titik sudut di $S$ sehingga tidak ada dua titik sudut yang dipilih yang jaraknya 1, 8, atau 9.
Untuk suatu bilangan asli $n$, definisikan $$f(n)=\sum_{k=1}^{n}\varphi(k)\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor^2$$ Hitunglah $f(2019)-f(2018)$.
Diberikan 4 bilangan real positif $x,y,z,m$ sehingga $$x\sqrt{y-m}+y\sqrt{z-m}+z\sqrt{x-m}=6m\sqrt{m}$$ $$x^2+y^2+z^2=12m^2$$ Tentukan jumlah semua nilai $$\left\lfloor \frac{x+y+z}{m} \right\rfloor$$ yang mungkin.

BAGIAN B.

Teorema Akar Rasional (Rational Root Theorem) adalah suatu teorema yang menyatakan: Misalkan $a_0,a_1,...,a_n$ merupakan bilangan bulat dengan $a_n \neq 0$. Tinjau polinom $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$. Jika $P(x)$ memiliki suatu akar rasional $r=\frac{p}{q}$, di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat yang saling relatif prima, teorema ini menyatakan bahwa $p|a_0$ dan $q|a_n$.

a) Buktikan teorema tersebut. Hint: jabarkan persamaan $P(\frac{p}{q})=0$.

b) Diberikan bilangan rasional $a,b,c$ sehingga $a+b+c,ab+bc+ca$, dan $abc$ merupakan bilangan bulat. Buktikan bahwa $a,b$ dan $c$ merupakan bilangan bulat. Hint: Tinjau polinom $(x-a)(x-b)(x-c)$.

c) Diberikan bilangan rasional $a,b,c$ sehingga $X=(a+1)(b+1)(c+1),Y=(a+2)(b+2)(c+2)$, dan $Z=(a+3)(b+3)(c+3)$ merupakan bilangan bulat. Dalam 3 step berikut ini, kita akan membuktikan bahwa $2a,2b$ dan $2c$ merupakan bilangan bulat.

- Buktikan bahwa $2(a+b+c)$ bulat. (Hint: Gunakan bilangan sembarang $d,e,f$, perhatikan bahwa $dX+eY+fZ$ juga merupakan bilangan bulat.)

- Buktikan bahwa $2(ab+bc+ca)$ dan $abc$ bulat.

- Simpulkanlah bahwa $2a,2b$ dan $2c$ merupakan bilangan bulat.
Andi diberikan grid $1\times n$ yang setiap rusuknya berwarna hitam dan terdapat $2n+2$ titik sudut. Di setiap langkah, Andi diperbolehkan untuk menaruh pensil warna merah di salah satu titik sudut grid, lalu mulai bergerak secara vertikal/horizontal dan diperbolehkan untuk belok sebanyak 2 kali. Berapa langkah minimal yang diperlukan Andi agar semua rusuk di grid tersebut berwarna merah?
Diberikan persegi $ABCD$ dan titik $E$ pada segmen $CD$. Misalkan $F$ adalah titik pada segmen $AE$ sehingga $BF$ tegak lurus $AE$. Dengan cara serupa, misalkan $G$ adalah titik pada segmen $EB$ sehingga $AG$ tegak lurus $EB$. Misalkan $DF$ dan $CG$ berpotongan di $H$. Buktikan bahwa $\angle DFC+\angle DGC=90^o+\angle AHD+\angle BHC$.
Misalkan $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang saling relatif prima. Apabila $$\varphi(a^5+a^4b+b^5)=a^2(a+b)(2a+b),$$ buktikan bahwa $\tau(a^2+ab+b^2)$ merupakan perpangkatan dari 2.

This topic was modified 4 minggu ago 5 times by Admin dot

Posted : 29/04/2026 3:48 am

25 Forums
86 Topics
86 Posts
0 Online
129 Members

Forum Icons: Forum contains no unread posts Forum contains unread posts

Topic Icons: Not Replied Replied Active Hot Sticky Unapproved Solved Private Closed