- Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan bulat relatif prima sehingga $$\frac{a}{b + c}= 2 \text{ dan } \frac{b}{a + c}= 3.$$ Berapakah $|c|$?
- Temukan semua bilangan bulat $n$ yang memenuhi $(n − 1) · 2^n + 1$ merupakan kuadrat sempurna.
- Misalkan $S$ adalah himpunan bilangan asli yang tidak dapat ditulis sebagai jumlah tiga kuadrat. Teorema tiga kuadrat Legendre menyatakan bahwa $S$ terdiri dari bilangan bulat dengan bentuk $4^a(8b + 7)$ di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat nonnegatif. Tentukan $n ∈ \mathbb{N}$ terkecil sehingga $n$ dan $n + 1$ keduanya berada di $S$.
- Misalkan $a > 1$ adalah bilangan bulat positif. Deret bilangan asli $\{a_n\}_{n≥1}$ didefinisikan sedemikian rupa sehingga $a_1 = a$ dan untuk semua $n ≥ 1, a_{n+1}$ adalah faktor prima terbesar dari $\mathrm{a}_{n}^{2} − 1$. Tentukan nilai terkecil dari $a$ yang mungkin sehingga bilangan $a_1, a_2, …, a_7$ semuanya berbeda.
- Diketahui ada bilangan bulat unik $m_1, . . . , m_100$ sehingga $$0\le m_1\lt m_2\lt …\lt m_{100}\text{ dan }2018=\binom{m_1}{1}+\binom{m_2}{2}+…+\binom{m_{100}}{100}.$$ Tentukan $m_1+m_2+…+m_{100}$.
- Misalkan $\phi(n)$ menyatakan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan $n$ yang koprima terhadap $n$. Tentukan jumlah semua $1 < n < 100$ sehingga $\phi(n) | n$.
- Untuk setiap $q ∈ \mathbb{Q}$, misalkan $π(q)$ menyatakan periode ekspansi basis-16 berulang dari $q$, dengan konvensi
$π(q) = 0$ jika $q$ memiliki ekspansi basis-16 terminasi. Temukan nilai maksimum di antara $$\pi\left( \frac{1}{1} \right),\pi\left( \frac{1}{2} \right),…,\pi\left( \frac{1}{70} \right).$$ - Diketahui ada tiga bilangan prima positif $(p, q, r)$ yang unik sehingga $p < q < r$ dan $$\frac{p^3+q^3+r^3}{p+q+r}=249$$ Tentukan $r$.
- Misalkan $\phi(n)$ menyatakan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan $n$ yang koprima terhadap $n$. Hitunglah $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\phi(n)}{5^n+1}.$$
- Misalkan $a_1 < a_2 < · · · < a_k$ menyatakan deret semua bilangan bulat positif antara 1 dan 91 yang relatif prima terhadap 91, dan tentukan $ω = e^{2πi/91}$. Definisikan $$S=\prod_{1\le q\lt p\le k}^{}\left( \omega^{a_p}-\omega^{a_q} \right).$$ Diketahui $S$ adalah bilangan bulat positif, hitunglah jumlah pembagi positif dari $S$.
Keranjang Belanja