- Oh tidak! Saat bermain Mario Party, Theo mendarat di Zona Bowser. Jika lemparan berikutnya antara 1 dan 5, inklusif, Bowser akan menembakkan “Api Nol”-nya yang membuat jumlah koin dan bintang pemain menjadi nol. Untungnya, Theo memiliki blok dadu ganda, yang memungkinkannya melempar dua dadu 10 sisi yang adil berlabel 1-10 dan menjadikan jumlah lemparannya sebagai “lemparan”. Jika ia menggunakan blok dadu gandanya, berapa probabilitas ia lolos dari zona Bowser tanpa kehilangan koin dan bintangnya?
- Carilah bilangan asli $A$ sedemikian rupa sehingga terdapat $A$ solusi bilangan bulat untuk $x + y ≥ A$ di mana $0 ≤ x ≤ 6$ dan $0 ≤ y ≤ 7$.
- Clarabelle ingin melakukan perjalanan dari (0, 0) ke (6, 2) pada bidang koordinat. Ia dapat bergerak naik, turun, atau kanan dalam langkah satu satuan, harus tetap berada di antara $y = 0$ dan $y = 2$ (inklusif), dan tidak diperbolehkan mengunjungi titik yang sama dua kali. Berapa banyak jalur yang dapat ia tempuh?
- Evaluasi $1 ⊕ 2 ⊕ · · · ⊕ 987654321$ di mana $⊕$ adalah bitwise eksklusif $OR$.
($A ⊕ B$ dalam biner memiliki digit ke-$n$ yang sama dengan 1 jika digit biner ke-$n$ dari $A$ dan $B$ berbeda, dan 0 jika tidak. Misalnya, $5 ⊕ 9 = 0101_2 ⊕ 1001_2 = 1100_2 = 12$ dan $6 ⊕ 7 = 110_2 + 111_2 = 001_2 = 1$.) - Pohon BWM didefinisikan secara rekursif:
– Pohon kosong adalah pohon BWM dengan tinggi dan ukuran 0.
– Pohon BWM yang tidak kosong terdiri dari satu simpul akar dan tiga subpohon, yang masing-masing merupakan pohon BWM (kemungkinan kosong). Tinggi subpohon tertinggi harus paling banyak 2 kali lebih tinggi daripada tinggi subpohon terpendek.
– Tinggi pohon BWM yang tidak kosong adalah satu kali lebih tinggi daripada tinggi subpohon tertingginya, dan ukuran pohon BWM yang tidak kosong adalah satu kali lebih besar daripada jumlah ukuran subpohonnya.
Berapa ukuran minimum pohon BWM setinggi 10? - Hitunglah banyaknya bilangan bulat positif lima digit yang digit-digitnya memiliki tepat 30 permutasi berbeda (permutasi tersebut tidak harus berupa bilangan bulat lima digit yang valid).
- Max memiliki bola lampu dan sakelar yang rusak. Bola lampu awalnya mati, dan pada sakelar ke-$n$ kali diputar, bola lampu memiliki peluang $\frac{1}{2(n+1)^2}$ untuk berubah keadaannya (yaitu menyala → mati atau mati → menyala). Jika Max memutar sakelar 100 kali, carilah peluang lampu menyala pada akhirnya.
- Berapa banyak fungsi $f : \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} → \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ yang memiliki sifat $f(f(x)) + f(x) + x$ habis dibagi 3 untuk semua $x ∈ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$?
- Suatu kisi disebut $k$-khusus jika di setiap sel terdapat bilangan bulat tertentu sehingga himpunan bilangan bulat dalam kisi tersebut tepat merupakan himpunan pembagi positif dari $k$. Suatu kisi disebut $k$-awesome jika bersifat $k$-khusus dan untuk setiap pembagi positif $m$ dari $k$, terdapat kisi $m$-khusus di dalam kisi $k$-khusus ini (dalam arti, Anda dapat menggambar kotak di kisi ini untuk mendapatkan kisi baru). Tentukan jumlah 4 bilangan bulat terkecil $k$ yang tidak memiliki kisi $k$-awesome.
- Setiap bilangan bulat positif dari 1 hingga 2023, inklusif, diwarnai secara acak dengan warna biru atau merah. Untuk setiap subset tak kosong dari $S = \{1, 2, · · · , 2023\}$, kita mendefinisikan skor subset tersebut sebagai selisih positif antara jumlah
bilangan bulat biru dan jumlah bilangan bulat merah dalam subset tersebut. Misalkan $X$ adalah nilai ekspektasi dari jumlah skor semua subset tak kosong dari $S$. Berapakah bilangan bulat maksimum $k$ sehingga $2^k$ habis membagi $2{2023} \cdot X$?
Keranjang Belanja