- Patrick melempar empat dadu empat sisi, masing-masing bernomor 1 sampai 4. Berapa peluang hasil perkaliannya merupakan kelipatan empat?
- Ada berapa cara untuk mewarnai titik sudut kubus dengan warna merah, biru, atau hijau sehingga tidak ada sisi yang menghubungkan dua titik sudut dengan warna yang sama? Rotasi dan refleksi dianggap sebagai pewarnaan yang berbeda.
- Berapa banyak tripel terurut $(a,b,c)$ bilangan bulat dengan $1\le a\le b\le c\le 60$ yang memenuhi $a\cdot b=c?$
- Tentukan algoritma pencarian yang disebut powSearch. Secara keseluruhan, asumsikan $A$ adalah larik terurut berindeks-1 yang terdiri dari bilangan bulat berbeda. Untuk mencari bilangan bulat $b$ dalam larik ini, kita mencari indeks $2^{0},2^{1}….$ hingga kita mencapai akhir larik atau $A\left[2^{k} \right]\gt b$. Jika pada suatu saat kita mendapatkan $A\left[2^{k}\right]=b$ kita berhenti dan kembali $2^{k}$. Setelah kita mendapatkan $A\left[2^{k} \right]\gt b\gt A\left[ 2^{k-1} \right]$ kita membuang $2^{k-1}$ elemen pertama dari $A$, dan mencari rekursif dengan cara yang sama. Misalnya, untuk bilangan bulat yang berada di posisi 3, kita akan mencari lokasi 1, 2, 4, 3.
Tentukan $g(x)$ sebagai fungsi yang mengembalikan jumlah indeks (tidak harus berbeda) yang kita lihat ketika memanggil powSearch dengan bilangan bulat $b$ pada posisi $x$ di $A$. Misalnya, $g(3) = 4$. Jika $A$ memiliki panjang 64, Tentukan $$g\left( 1 \right)+g\left( 2 \right)+…+g\left( 64 \right).$$ - Dalam permainan Ric-Rac-Roe, dua pemain bergiliran mewarnai kotak-kotak 3 × 3 dengan warna mereka; seorang pemain menang jika mereka menyelesaikan satu baris atau kolom dengan warna mereka pada giliran mereka. Jika Alice dan Bob memainkan permainan ini, memilih kotak yang tidak berwarna secara acak dan seragam pada giliran mereka, berapa peluang mereka seri?
- Terdapat 100 bola lampu $B_{1},…,B_{100}$ yang ditempatkan secara merata mengelilingi sebuah lingkaran dengan urutan ini. Selain itu, terdapat 100 sakelar $S_{1},…S_{100}$ sehingga untuk semua $1 ≤ i ≤ 100$, sakelar $S_{i}$ akan mengubah status lampu $B_{i-1}\text{ dan }b_{i+1}$ (di mana di sini $B_{101}=B_{1}$). Misalkan David memilih untuk menyalakan setiap sakelar dengan probabilitas $\frac{1}{2}$ . Berapa jumlah bola lampu yang diharapkan akan menyala pada akhir proses ini mengingat tidak semua bola lampu mati?
- Perhatikan himpunan $L$ dari string biner dengan panjang kurang dari atau sama dengan 9, dan untuk string $w$ mengartikan $w^{+}$ menjadi himpunan $\{w^{1},w^{2},w^{3},…\}$ di mana $w^{k}$ merpresentasikan $w$ yang dikonkatenasi ke dirinya sendiri sebanyak $k$ kali. Berapa banyak cara untuk memilih pasangan terurut elemen (tidak harus berbeda) $x, y ∈ L$ sedemikian rupa sehingga $x^{+}\cap y^{+}\neq ∅$?
- Pertimbangkan algoritma grafik berikut (di mana $V$ adalah himpunan titik sudut dan $E$ adalah himpunan sisi dalam $G$).
1. Prosedur $S(G)$
2. Jika $\left|V\right|=0$ maka kembalikan benar
3. Untuk $(u, v)$ di $E$ lakukan
4. $H\gets G-u-v$
5. Jika $s\left(H\right)$ maka kembalikan benar
6. kembali salah
Di sini, $G − u − v$ berarti subgraf dari $G$ yang tidak memuat simpul $u, v,$ dan semua sisi yang menggunakannya. Berapa banyak graf $G$ dengan himpunan titik $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ dan tepat 6 sisi memenuhi $s(G)$ menjadi benar? - Terdapat 15 kota, dan terdapat jalur kereta api di antara setiap pasangan kota yang dioperasikan oleh Carnegie Rail Corporation atau Mellon Transportation Company. Seorang turis ingin mengunjungi tepat tiga kota dengan melakukan perjalanan melingkar, semuanya dengan satu jalur. Berapa jumlah minimum perjalanan melingkar 3 kota tersebut?
- Definisikan pohon berakar sebagai pohon $T$ dengan simpul singular yang ditetapkan sebagai akar dari $T$. (Perhatikan bahwa setiap simpul di pohon tersebut dapat memiliki jumlah anak yang tak terbatas). Setiap simpul yang berdekatan dengan simpul akar $T$ itu sendiri merupakan akar dari suatu pohon yang disebut subpohon maksimal dari $T$. Katakanlah dua pohon berakar $T_{1}$ dan $T_{2}$ serupa jika terdapat cara untuk menggilir subpohon maksimal dari $T_{1}$ untuk mendapatkan $T_{2}$. Misalnya, pasangan pohon pertama di bawah ini serupa tetapi pasangan kedua tidak. Berapa banyak pohon berakar dengan 2019 simpul yang ada hingga mencapai kesamaan?
Keranjang Belanja