- Misalkan $PQRS$ adalah persegi dengan panjang sisi 12. Titik $A$ terletak pada ruas garis $QR$ dengan $∠QPA = 30^o$, dan titik $B$ terletak pada ruas garis $\overline{PQ}$ dengan $∠SRB = 60^o$. Berapakah $AB$?
- Misalkan $ABC$ adalah sebuah segitiga. Titik $D$ dan $E$ terletak pada $\overline{AC}$ dengan urutan $A, D, E,$ dan $C,$ dan titik $F$ terletak pada $\overline{AB}$ dengan $EF || BC$. Ruas garis $\overline{BD}$ dan $\overline{EF}$ bertemu di $X$. Jika $AD = 1, DE = 3, EC = 5,$ dan $EF = 4$, Hitunglah $FX$.
- Titik $A, B, C,$ dan $D$ membentuk persegi panjang dengan urutan tersebut. Titik $X$ terletak di $CD$, dan segmen $\overline{BX}$ dan $\overline{AC}$ berpotongan di $P$. Jika luas segitiga $BCP$ adalah 3 dan luas segitiga $PXC$ adalah 2, berapakah luas seluruh persegi panjang tersebut?
- Segitiga $ABC$ memiliki sudut siku-siku di $B$. Garis bagi tegak lurus $AC$ bertemu ruas garis $BC$ di $D$, sedangkan
garis bagi tegak lurus ruas garis $\overline{AD}$ bertemu $\overline{AB}$ di $E$. Misalkan $CE$ membagi dua garis lancip $∠ACB$. Berapakah ukuran sudut $ACB$? - Untuk setiap bilangan bulat positif $k$, misalkan $T_k = (k(k + 1), 0),$ dan definisikan $\mathcal{H}_k$ sebagai homotitas yang berpusat di $T_k$ dengan rasio $\frac{1}{2}$ jika $k$ ganjil dan $\frac{2}{3}$ jika $k$ genap. Misalkan $P = (x, y)$ adalah suatu titik sehingga $$(\mathcal{H}_4\circ \mathcal{H}_3\circ \mathcal{H}_2\circ \mathcal{H}_1)(P)=(20,20)$$ Berapakah $x+y$?
(Homotesis $\mathcal{H}$ dengan rasio bukan nol $r$ yang berpusat di titik $P$ memetakan setiap titik $X$ ke titik $Y$ pada sinar $\overrightarrow{PX}$ sehingga $PY = rPX$.) - Dua lingkaran $ω_A$ dan $ω_B$ masing-masing berpusat di titik $A$ dan $B$ dan berpotongan di titik $P$ dan $Q$ sedemikian rupa sehingga $A, B, P,$ dan $Q$ semuanya terletak pada lingkaran $ω$ yang sama. Garis singgung $ω$ di $P$ memotong $ω_A$ dan $ω_B$ lagi di titik $X$ dan $Y$. Misalkan $AB = 17$ dan $XY = 20$. Hitunglah jumlah jari-jari $ω_A$ dan $ω_B$.
- Pada segitiga $ABC$, titik $D, E,$ dan $F$ masing-masing berada pada sisi $BC, CA,$ dan $AB,$ sehingga $BF = BD = CD = CE = 5$ dan $AE − AF = 3$. Misalkan $I$ adalah titik pusat $ABC$. Lingkaran luar $BFI$ dan $CEI$ berpotongan di $X \neq I$. Tentukan panjang $DX$.
- Misalkan $\varepsilon$ adalah elips dengan fokus $F_1$ dan $F_2$. Parabola $P$, dengan titik puncak $F_1$ dan fokus $F_2$, memotong $\varepsilon$ di dua titik $X$ dan $Y$. Misalkan garis singgung $\varepsilon$ di $X$ dan $Y$ berpotongan pada direktriks $P$. Hitung eksentrisitas $\varepsilon$.
(Parabola $P$ adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik, yang disebut fokus $P$, dan suatu garis, yang disebut direktriks $P$. Elips $\varepsilon$ adalah himpunan titik-titik $P$ sedemikian rupa sehingga jumlah $PF_1 + PF_2$ adalah suatu konstanta $d$, di mana $F_1$ dan $F_2$ adalah fokus $\varepsilon$. Eksentrisitas $\varepsilon$ didefinisikan sebagai rasio $F_1F_2/d$.) - Pada segitiga $ABC$, titik $M$ dan $N$ masing-masing berada pada ruas garis $AB$ dan $AC$ sehingga $AM = MC$ dan $AN = NB$. Misalkan $P$ adalah titik yang $PB$ dan $PC$ bersinggungan dengan lingkaran luar $ABC$. Diketahui keliling $PMN$ dan $BCNM$ masing-masing adalah 21 dan 29, dan $PB = 5$, hitunglah panjang $BC$.
- Empat salinan segitiga lancip tak sama panjang $\mathcal{T}$, yang salah satu sisinya memiliki panjang 3, disatukan untuk membentuk tetrahedron dengan volume 4 dan luas permukaan 24. Hitunglah nilai terbesar yang mungkin untuk jari-jari keliling $\mathcal{T}$.
Keranjang Belanja