- Misalkan $a_1, a_2, … , a_n$ merupakan barisan geometri dengan $a_1=\sqrt{2}$ dan $a_2=\sqrt[3]{3}$. Berapakah $$\frac{a_1+a_{2013}}{a_7+a_{2019}}?$$
- Untuk semua bilangan bulat positif $n$, misalkan $f(n)$ menghasilkan bilangan bulat positif terkecil $k$ yang $\frac{n}{k}$ bukan bilangan bulat. Misalnya, $f(6) = 4$ karena $1, 2,$ dan $3$ semuanya dapat membagi $6$. tetapi $4$ tidak. Tentukan nilai terbesar yang mungkin dari $f(n)$ jika $n$ mencakup himpunan $\{1, 2, . . . , 3000\}$.
- Misalkan $P(x)$ adalah polinomial kuadrat dengan koefisien real sehingga $P(3) = 7$ dan $$P(x)=P(0)+P(1)x+P(2)x^2$$ untuk semua riil $x$. Berapakah $P(-1)$?
- Tentukan jumlah semua bilangan bulat positif $n$ antara 1 dan 100 inklusif sehingga $$\text{FPB}(n,2^n-1)=3$$
- Misalkan $x_n$ adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga $7^n$ membagi $\mathrm{x}_{n}^{2}$. Tentukan $x_1+x_2+x_3.$
- Misalkan $a, b,$ dan $c$ merupakan solusi berbeda dari persamaan $x^3 − 2x^2 + 3x − 4 = 0$. Tentukan nilai $$\frac{1}{a(b^2+c^2-a^2)}+\frac{1}{b(c^2+a^2-b^2)}+\frac{1}{c(a^2+b^2-c^2)}$$
- Untuk semua bilangan bulat positif $n$, misalkan $$f(n)=\sum_{k=1}^{n}\varphi(k)\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor^2$$ Hitunglah $f(2019)-f(2018)$. Di sini $\varphi(n)$ menyatakan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan $n$ yang relatif prima terhadap $n$.
- Diketahui akar-akar polinomial $P(z) = z^{2019} − 1$ dapat ditulis dalam bentuk $z_k = x_k + iy_k$ untuk $1 ≤ k ≤ 2019$. Misalkan $Q$ menyatakan polinomial monik dengan akar-akar yang sama dengan $2x_k + iy_k$ untuk $1 ≤ k ≤ 2019$. Hitunglah $Q(−2)$.
- Misalkan $a_0=29,b_0=1$ dan $$a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\cdot \mathrm{b}_{n}^{2019},\text{ }\text{ }\text{ }b_{n+1}=b_nb_{n-1}$$ untuk $n ≥ 1$. Tentukan bilangan bulat positif terkecil $k$ yang mana 29 membagi $\text{FPB}(a_k, b_{k − 1})$ jika $a_1, b_1$ adalah bilangan bulat positif dan 29 tidak membagi $b_1$.
- Misalkan $\varphi(n)$ menyatakan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan $n$ yang relatif prima terhadap $n$. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif $2 ≤ n ≤ 50$ sehingga semua koefisien polinomial $$\left( x^{\varphi(n)}-1\right)-\prod_{\substack{
1\le k\le n \\
\text{FPB}(k,n)=1
}} \left( x-k \right)$$ habis dibagi $n$.
Keranjang Belanja