- Misha telah menerima pekerjaan di pertambangan dan akan menghasilkan satu bijih setiap hari. Di pasar, ia dapat membeli atau menjual satu bijih seharga 3 dolar, membeli atau menjual tiga ikat gandum seharga 12 dolar masing-masing, atau menjual satu gandum seharga satu bijih. Tujuan utamanya adalah membangun sebuah kota, yang membutuhkan tiga bijih dan dua gandum. Berapa dolar yang harus Misha miliki pada awalnya agar dapat membangun sebuah kota setelah tiga hari bekerja?
- Misalkan $x > 1$ adalah bilangan riil sehingga $x+\frac{1}{2}=\sqrt{22}$. Berapakah $x^2-\frac{1}{x^2}$?
- Misalkan $P(x)=x^2+4x+1$. Berapakah hasil kali semua solusi riil untuk persamaan $P(P(x)) = 0$?
- Sebanyak 2018 anak bebek bernomor 1 sampai 2018 berdiri berjajar, masing-masing memegang selembar kertas bertuliskan angka nonnegatif; diketahui bahwa anak bebek 1 dan 2018 memiliki angka nol. Pada suatu saat, anak bebek 2 sampai 2017 mengubah angka mereka agar sama dengan rata-rata angka anak bebek di kiri dan kanannya. Misalkan angka-angka baru pada anak bebek berjumlah 1000. Berapa jumlah maksimum yang mungkin dari angka-angka asli pada semua lembar 2018?
- Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan riil bukan nol sehingga $$bc+\frac{1}{a}=ca+\frac{2}{b}=ab+\frac{7}{c}=\frac{1}{a+b+c}$$ Tentukan $a+b+c$.
- Kita menyebut $\overline{a_n…a_2}$ sebagai representasi Fibonacci dari bilangan bulat positif $k$ jika $$k=\sum_{i=2}^{n}a_iF_i,$$ dimana $a_i ∈ \{0, 1\}$ untuk semua $i, a_n = 1$, dan $F_i$ menunjukkan bilangan Fibonacci ke-$i$ ($F_0 = 0, F_1 = 1$, dan $F_i = F_{i−1} + F_{i−2}$ untuk semua $i ≥ 2$). Representasi ini dikatakan minimal jika memiliki angka 1 lebih sedikit daripada representasi Fibonacci $k$ lainnya. Temukan bilangan bulat positif terkecil yang memiliki delapan angka satu dalam representasi Fibonacci minimalnya.
- Hitunglah $$\sum_{k=0}^{2017}\frac{5+\cos\left( \frac{\pi k}{1009} \right)}{26+10\cos \left( \frac{\pi k}{1009} \right)}.$$
- Misalkan $P$ adalah polinomial kubik yang memenuhi $P(0) = 3$ dan $$(x^3-2x+1-P(x))(2x^3-5x^2+4-P(x))\le0$$ untuk semua $x ∈ \mathbb{R}$. Tentukan semua kemungkinan nilai $P(−1)$.
- Misalkan $a_0, a_1, … , a_{2018}$ adalah bilangan bulat sehingga $$(x^2-3x+1)^{1009}=\sum_{k=0}^{2018}a_kx^k$$ untuk semua bilangan riil $x$. Hitunglah sisa pembagian $\mathrm{a}{0}^{2}+\mathrm{a}{1}^{2}+…+\mathrm{a}_{2018}^{2}$ dibagi $2017$.
- Tentukan semua barisan polinomial $F_n(x)$ dengan $F_0(x)=0,F_1(x)=x-1$ dan untuk $n\ge 1$, $$F_{n+1}(x)=2xF_n(x)-F_{n-1}(x)+2F_1(x).$$ Untuk setiap $n$, $F_n(x)$ dapat ditulis dalam bentuk $$F_n(x)=c_nP_1(x)P_2(x)…P_{g(n)}(x)$$ dimana $c_n$ adalah konstanta dan $P_1(x), P_2(x), … , P_{g(n)}(x)$ adalah polinomial non-konstan dengan koefisien integer dan $g(n)$ sebesar mungkin. Untuk semua $2 < n < 101$, misalkan $t$ adalah nilai minimum $g(n)$ yang mungkin dalam ekspresi di atas ; untuk berapa banyak $k$ dalam rentang yang ditentukan adalah $g(k) = t$?
Keranjang Belanja