Sistem Persamaan Linear Simultan
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Sistem Persamaan Linear Simultan
- Contoh Soal
Sistem Persamaan Linear Simultan
- Secara umum, sistem dua persamaan 2 variabel dapat dinyatakan dalam bentuk $$\left\{ \begin{array}{cl}
a_1x+b_1y=c_1, \\
a_2x+b_2y=c_2.
\end{array} \right.$$ - Untuk mengeliminasi satu variabel guna menyelesaikan sistem, kami menggunakan (i) operasi pada persamaan seperti biasa; (ii) metode substitusi. Dalam banyak kasus, metode (i) efektif.
- Ketika $\frac{a-1}{a_2}\neq \frac{b_1}{b_2}$, sistem ini memiliki solusi yang unik $$x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1},\text{ }y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}.$$
- Ketika $\frac{a-1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ Sistem ini memiliki dua persamaan yang sama, sehingga memiliki solusi yang tak terhingga banyaknya, ketika $\frac{a-1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq \frac{c_1}{c_2}$, kedua persamaan tersebut tidak konsisten, sehingga tidak memiliki solusi.
Contoh Soal
- Selesaikan sistem persamaan $$\left\{ \begin{array}{cl}
\frac{x-y}{5}-\frac{x+y}{4} & = \frac{1}{2}, \\
2(x-y)-3(x+y)+1 & =0.
\end{array} \right.$$
Solusi:
(I). Dengan operasi pada persamaan untuk menghilangkan variabel.
Dengan menyederhanakan persamaan pertama, kita memiliki $4(x-y)-5(x+y)=10,$ yaitu $$x+9y=-10.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.1)$$ Dengan menyederhanakan persamaan kedua, kita memiliki $$x+5y=1.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.2)$$ Dengan $(4.1)-(4.2),$ $$4y=-11,$$ $$y=-\frac{11}{4}.$$ Dari $(4.2),x=1-5y=1+\frac{55}{4}=\frac{59}{4}$. Maka, $x=\frac{59}{4},y=-\frac{11}{4}.$
(II). Dengan substitusi untuk menghilangkan variabel.
Dari persamaan pertama kita memiliki $$x=-10-9y.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.3)$$ Dengan mensubstitusikan $(4.3)$ ke persamaan kedua, kita memperoleh $$2(-10-9y-y)-3(-10-9y+y)+1=0,$$ $$4y=-11,$$ $$y=-\frac{11}{4}$$ Dengan mensubstitusikannya kembali ke $(4.3)$, kita memperoleh $x=-10+\frac{99}{4}=\frac{59}{4}$. Maka, $$x=\frac{59}{4},\text{ }y=-\frac{11}{4}.$$ - Selesaikan sistem persamaan $$5.4x+4.6y=104,\text{ }\text{ }\text{ }(4.4)$$ $$4.6x+5.4y=96.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.5)$$
Solusi: Perhatikan fitur koefisien, dengan $(4.4) + (4.5)$, kita memperoleh $10x + 10y = 200$, oleh karena itu $$x+y=20.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.6)$$ Dengan $(4.4)-(4.5)$, maka diperoleh $0.8x-0.8y=8,$ oleh karena itu $$x-y=10.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.7)$$ Dengan $\frac{1}{2}((4.6)+(4.7))$ dan $\frac{1}{2}((4.6)-(4.7))$ masing-masing, kita memperoleh $$x=15,y=5$$ - Selesaikan sistem persamaan $$\left\{ \begin{array}{cl}
x+2(5x+y) & =16, \\
5x+y & =7.
\end{array} \right.$$
Solusi: Dengan menggunakan $7$ untuk mensubstitusi $5x + 7$ pada persamaan pertama, kita memperoleh $x + 14 = 16$, sehingga $x = 2$.
Kemudian dari persamaan kedua, $y = 7 − 5x = −3$.
Catatan: Contoh ini menunjukkan bahwa tidak hanya variabel, tetapi juga ekspresi dapat disubstitusi. - Selesaikan sistem persamaan $$\left\{ \begin{array}{cl}
\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}, \\
x+3y+6z=15. &
\end{array} \right.$$
Solusi: Misalkan $t=\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$, maka $$x=2t,y=3t,z=5t.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.8)$$ Substitusikan $(4.8)$ ke persamaan pertama, kita memiliki $2t+9t+30t=15$, yaitu $t=\frac{15}{41}$. Maka $$x=\frac{30}{41},\text{ }y=\frac{45}{41},\text{ }z=\frac{75}{41}.$$ - Selesaikan sistem persamaan $$\left\{ \begin{array}{cl}
x+y & =5 \\
y+z & =6 \\
z+x & =7.
\end{array} \right.$$
Solusi: Biarkan persamaan yang diberikan diberi label sebagai
$$x+y=5\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.9)$$ $$y+z=6\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.10)$$ $$z+x=7\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.11)$$
Dengan $\frac{1}{2}((4.9)+(4.10)+(4.11))$, maka diperoleh $$x+y+z=9.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.12)$$
Maka $(4.12)-(4.9)$ menghasilkan $z=4$;
$(4.12)-(4.10)$ menghasilkan $x=3$;
$(4.12)-(4.11)$ menghasilkan $y=2$. - Selesaikan sistem persamaan $$\left\{ \begin{array}{cl}
x+2y & =5, \\
y+2z & =8, \\
z+2u & =11, \\
u+2x & =6.
\end{array} \right.$$
Solusi: Dari persamaan yang diberikan kita memiliki substitusi siklik $$x=5-2y,\text{ }\text{ }\text{ }y=8-2z,\text{ }\text{ }\text{ }z=11-2u,\text{ }\text{ }\text{ }u=6-2x.$$
Dengan mensubstitusikannya secara berurutan, kita memiliki $x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u$
$=33-8(6-2x)=-15+16x,$
Oleh karena itu $x=16x-15$, yaitu $x=1$, maka $u=4,z=3,y=2$. - Selesaikan sistem persamaan $$5x-y+3z=a,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.13)$$ $$5y-z+3x=b,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.14)$$ $$5z-x+3y=c,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.15)$$
Solusi: Dengan $2\times (4.13)+(4.14)-(4.15)$, maka diperoleh $$14x=2a+b-c,$$ $$x=\frac{2a+b-c}{14}$$ Dengan $2\times (4.14)+(4.15)-(4.13)$, maka diperoleh $$14y=2b+c-a,$$ $$y=\frac{2b+c-a}{14}$$ Demikian pula, dengan $2\times (4.15)+(4.13)-(4.14)$, kita memperoleh $$14z=2c+a-b,$$ $$z=\frac{2c+a-b}{14}$$ - Diketahui $x, y, z$ memenuhi sistem persamaan $$2000(x-y)+2001(y-z)+2002(z-x)=0,\text{ }\text{ }\text{ }(4.16)$$ $$2000^2(x-y)+2001^2(y-z)+2002^2(z-x)=2001,\text{ }\text{ }\text{ }(4.17)$$ tentukan nilai dari $z-y$.
Solusi: Misalkan $u=x-y,v=y-z,w=z-x$. Maka $u,v,w$ memenuhi sistem persamaan berikut $$u+v+w=0,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.18)$$ $$2000u+2001v+2002w=0,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.19)$$ $$2000^2u+2001^2v+2002^2w=2001.\text{ }\text{ }\text{ }(4.20)$$ Dengan $2001\times (4.18)-(4.19)$, kita memperoleh $$u-w=0,\text{ yaitu }u=w.$$ Dari persamaan $(4.18)$ lagi, kita memiliki $v=-2w$. Dengan mensubstitusikan ke dalam $(4.20)$, kita memperoleh $$(2000^2-2\cdot 2001^2+2002^2)w=2001,$$ $$[(2002+2001)-(2001+2000)]w=2001,$$ $$2w=2001,\text{ }\text{ }\text{ }z-y=-v=2w=2001.$$ - Selesaikan sistem persamaan untuk $(x, y)$, dan temukan nilai $k$. $$x+(1+k)y=0,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.21)$$ $$(1-k)x+ky=1+k,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.22)$$ $$(1+k)x+(12-k)y=-(1+k).\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.23)$$
Solusi: Untuk menghilangkan k dari persamaan, dengan $(4.22) + (4.23)$, kita memperoleh $$2x+12y=0,\text{ yaitu }x=-6y.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(4.24)$$ Dengan mensubtitusikan $(4.24)$ ke $(4.21)$, kita memiliki $(k-5)y=0$. Jika $k\neq 5$, maka $y=0$ dan juga $x=0$. Dari $(4.22)$ kita memiliki $k=-1$. $$\text{Jika }k=5,(4.22) \text{ menghasilkan }(-4)(-6y)+5y=6, \text{ juga }y=\frac{6}{29},x=-\frac{36}{29}.$$
“Stay away from those people who try to disparage your ambitions. Small minds will always do that, but great minds will give you a feeling that you can become great too. ”
