Rumus Perkalian
- Rumus Perkalian Dasar
- Generalisasi Rumus
- Rumus Dasar Turunan
- Contoh Soal
Rumus Perkalian Dasar
(1) $(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$
(2) $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2.$
(3) $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3.$
Bukti. $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3.$$ Gunakan $(-b)$ untuk mengganti $b$ pada rumus di atas, kita memperoleh $$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.$$
(4) $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b +3ab^2\pm b^3.$
Bukti. $$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$$ $$=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3$$ $$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$ Gunakan $(-b)$ untuk mengganti $b$ pada rumus di atas, kita memperoleh $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$
(5) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca.$
Bukti. $$(a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2$$ $$a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2$$ $$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca.$$
Generalisasi Rumus
(1) $(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=a^4-b^4.$
(2) $(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)=a^5-b^5.$
(3) $\underset{\text{untuk semua } n \in \mathbb{N}}{(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})}=a^n-b^n$
Bukti. $$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$$ $$=(a^n+a^{n-1}b+…+a^2b^{n-2}+ab^{n-1})-(a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+…+ab^{n-1}+b^n)$$ $$=a^n-b^n$$
(4) $\underset{\text{untuk ganjil } n \in \mathbb{N}}{(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+…-ab^{n-2}+b^{n-1})}=a^n+b^n$
Bukti: Untuk $n$ ganjil, dengan menggunakan $(−b)$ untuk menggantikan $b$ di $(3)$, kita memperoleh $$(a+b)(a^{n-1}+a^{n-2}(-b)+a^{n-3}(-b)^2+…+a(-b)^{n-2}+(-b)^{n-1})$$ $$=a^n-(-b)^n,$$ oleh karena itu $$(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n+b^n.$$
(5) $(a_1+a_2+…+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+…+a_n^2+2a_1a_3+…+2a_1a_n+2a_2a_3+…+2a_2a_n+…+2a_{n-1}a_n$.
Bukti. $$(a_1+a_2+…+a_n)^2$$ $$=(a_1+a_2+a_3+…+a_n)(a_1+a_2+a_3+…+a_n)$$ $$=a_1^2+a_2^2+…+a_n^2+2a_1a_2+2a_1a_3+…+…+2a_1a_n+2a_2a_3+…+2a_2a_n+…+2a_{n-1}a_n.$$
Rumus Dasar Turunan
(1) $a^2+b^2=(a\pm b)^2\mp 2ab.$
(2) $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab.$
(3) $a^3\pm b^3=(a\pm b)^3\mp 3ab(a\pm b).$
(4) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$
Bukti: $$a^3+b^3+c^3-3abc$$ $$=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc$$ $$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)$$ $$[(a+b)+c][(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)$$ $$=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)$$ $$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca-3ab)$$ $$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$
Contoh Soal
- Evaluasi ekspresi $(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^{2^{10}}+1)+1.$
Solusi: Dengan menggunakan rumus $(a−b)(a+b)= a^2 −b^2$ berulang kali, kita memperoleh $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^{2^{10}}+1)+1$$ $$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^{2^{10}}+1)+1$$ $$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)…(2^{2^{10}}+1)+1$$ $$=(2^4-1)(2^4+1)…(2^{2^{10}}+1)+1$$ $$=…=(2^{2^{10}}-1)(2^{2^{10}}+1)+1$$ $$=((2^{2^{10}})^2-1)+1=2^{2\cdot 2^{10}}=2^{2^{11}}=2^{2048}.$$ - Sederhanakan ekspresi $(a^6-b^6)\div (a^3-b^3)\div (a^2-ab+b^2).$
Solusi: Dengan menggunakan rumus $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ dan $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
$$(a^6-b^6)\div (a^3-b^3)\div (a^2-ab+b^2)=\frac{a^6-b^6}{(a^3-b^3)(a^2-ab+b^2)}$$ $$=\frac{(a^3-b^3)(a^3+b^3)}{(a^3-b^3)(a^2-ab+b^2)}=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}$$ $$=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}=a+b$$ - Diketahui $x-y=8,xy=-15$, temukan nilai dari (i) $(x+y)^2$ dan (ii) $x^4+y^4$.
Solusi:
(i) $$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=(x^2+y^2-2xy)+4xy=(x-y)^2+4xy$$ $$=8^2+4(-15)=4.$$
(ii) $$x^4+y^4=(x^4+2x^2y^2+y^4)-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2$$ $$=[(x^2-2xy+y^2)+2xy]^2-2(-15)^2$$ $$=[(x-y)^2-30]^2-2(-15)^2=34^2-2(225)$$ $$=1156-450=706.$$ - Diketahui $x+\frac{1}{x}=3$, temukan nilai dari (i) $x^3+\frac{1}{x^3}$; (ii) $x^4+\frac{1}{x^4}$.
Solusi:
(i) $$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)=3\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\right]$$ $$=3(3^2-3)=18.$$
(ii) $$x^4+\frac{1}{x^4}=\left[(x^2)^2+2+\left(\frac{1}{x^2}\right)^2\right]-2=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2$$ $$=\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right]^2-2=(3^2-2)^2-2=47.$$ - Diketahui $x+y=\frac{5}{2},x^2+y^2=\frac{13}{4}$, temukan nilai dari $x^5+y^5$.
Solusi: $(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(x^5+y^5)+(xy)^2(x+y)$ menyiratkan bahwa $$(x^5+y^5)=\frac{13}{4}(x+y)(x^2+y^2-xy)-\frac{5}{2}(xy)^2=\frac{65}{8}\left(\frac{13}{4}-xy\right)-\frac{5}{2}(xy)^2$$ Cukup dengan mencari nilai $xy$. Kemudian $$xy=\frac{1}{2}[(x+y)^2-(x^2+y^2)]=\frac{1}{2}\left(\frac{25}{4}-\frac{13}{4}\right)=\frac{3}{2},$$ Maka $$x^5+y^5=\frac{65}{8}\left(\frac{13}{4}-\frac{3}{2}\right)-\frac{5}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{455-180}{32}=\frac{275}{32}$$ - Diketahui bilangan real $x, y, z$ memenuhi sistem persamaan $$\left\{ \begin{array}{cl}
x+y+z & =6 \\
x^2+y^2+z^2 & =26 \\
x^3+y^3+z^3 & =90.
\end{array} \right.$$ Tentukan nilai dari $xyz$ dan $x^4+y^4+z^4$.
Solusi: $(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)$ menyiratkan bahwa $$xy+yz+zx=\frac{1}{2}[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]=\frac{1}{2}[6^2-26]=5.$$ Karena $$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)[(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)],$$ $$90-3xyz=6[26-5]=126,$$ $$∴xyz=\frac{1}{3}(90-126)=-12.$$ Selanjutnya, dengan melengkapi kuadratnya, $$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$$ $$=26^2-2[(xy+yz+zx)^2-2(xy^2z+yz^2x+x^2yz)]$$ $$26^2-2[5^2-2xyz(x+y+z)]$$ $$=26^2-2(25+24\cdot 6)=676-338=338.$$ - Untuk setiap bilangan real $a,b$ dan $c$, temukan nilai terkecil yang mungkin dari ekspresi berikut: $$3a^2+27b^2+5c^2-18ab-30c+237.$$
Solusi: Dengan melengkapi bilangan kuadrat, $$3a^2+27b^2+5c^2-18ab-30c+237$$ $$=(3a^2-18ab+27b^2)+(5c^2-30c+45)+192$$ $$=3(a^2-6ab+9b^2)+5(c^2-6c+9)+192$$ $$=3(a-3b)^2+5(c-3)^2+192\ge 192.$$ Nilai 192 dapat diperoleh ketika $a = 3b, c = 3$. Dengan demikian, nilai terkecil yang mungkin dari persamaan yang diberikan adalah $192$.
Catatan: Teknik melengkapi kuadrat merupakan alat penting untuk menyelidiki nilai ekstrem polinomial kuadrat. Berikut contohnya. - Jika $a,b,c,d>0$ dan $a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd$, buktikan bahwa $a=b=c=d$.
Solusi: Kita tulis ulang persamaan yang diberikan dalam bentuk $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 −4abcd = 0$, dan gunakan teknik untuk melengkapi kuadrat, maka $$0=a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd$$ $$=(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)+(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd)$$ $$(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2,$$ Oleh karena itu $a^2-b^2=0,c^2-d^2=0,ab-cd=0.$ Karena $a,b,c,d>0$, maka $a=b,c=d$, dan $a^2=c^2$, yaitu $a=c$. Jadi, $a=b=c=d$. - Diketahui $a+b=c+d$ dan $a^3+b^3=c^3+d^3$. Buktikan bahwa $a^{2009}+b^{2009}=c^{2009}+d^{2009}$.
Solusi: $a+b=c+d$ menghasilkan $(a+b)^3=(c+d)^3$, oleh karena itu, $$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=c^3+3c^2d+3cd^2+d^3.$$ $$∵a^3+b^3=c^3+d^3,$$ $$∴3a^2b+3ab^2=3c^2d+3cd^2,\text{ yaitu }3ab(a+b)=3cd(c+d).$$
Jika $a+b=c+d=0,$ maka $b=-a,d=-c$, oleh karena itu $$a^{2009}+b^{2009}=0=c^{2009}+d^{2009}.$$
Jika $a+b=c+d\neq 0$, maka $ab=cd$, oleh karena itu $$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=(c+d)^2-4cd=(c-d)^2.$$
(i) Ketika $a-b=c-d$, dengan mempertimbangkan $a+b=c+d$, maka $2a=2c$, yaitu $a=c$, dan $b=d$ juga.
(ii) Ketika $a-b=-(c-d)$, dengan mempertimbangkan $a+b=c+d$, maka $2a=2d$, yaitu $a=d$ dan $b=c$ juga.
Kesimpulannya benar dalam masing-masing kedua kasus.
“There are three ways to ultimate success: The first way is to be kind. The second way is to be kind. The third way is to be kind. ”
