Representasi Desimal Bilangan Bulat
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Definisi
- Ekspansi Desimal Bilangan Bulat dengan Digit yang Sama atau Berkala Digit yang Berubah
- Contoh Soal
Definisi
Representasi desimal bilangan bulat adalah sistem bilangan yang menggunakan $10$ sebagai basis. Dalam sistem representasi ini, bilangan bulat $(n + 1)$ digit (dengan $n$ adalah bilangan bulat non-negatif) $N=\overline{a_na_{n-1}…a_1a_0}$ artinya $$N=a_n\times 10^n+a_{n-1}\times 10^{n-1}+…+a_1\times 10+a_0\text{ }\text{ }\text{ (19.1)}$$
Keuntungan dari representasi $(19.1)$ adalah bahwa bilangan bulat diekspansi sebagai $n + 1$ bagian yang independen, sehingga meskipun mungkin ada digit yang tidak diketahui, operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bilangan bulat dapat dilakukan dengan mudah.
Ekspansi Desimal Bilangan Bulat dengan Digit yang Sama atau Berkala Digit yang Berubah
$$\underset{n}{\underbrace{\overline{aaa…a}}}=a(10^{n-1}+10^{n-2}+…+10+1)=\frac{a}{9}(10^n-1),$$ $$\underset{n\text{ dari }\overline{abc}}{\underbrace{\overline{abcabc…abc}}}=\overline{abc}(10^{3(n-1)}+10^{3(n-2)}+…+10^3+1)=\frac{\overline{abc}}{999}(10^{3n}-1).$$
Contoh Soal
- Temukan bilangan bulat terkecil yang digit pertamanya adalah $4$, dan nilai bilangan yang diperoleh dengan memindahkan angka $4$ ini ke tempat terakhir adalah $\frac{1}{4}$ dari nilai aslinya.
Solusi: Misalkan bilangan bulat $N$ yang diinginkan memiliki $n + 1$ digit, maka $N = 4 · 10^n + x$, dengan $x$ adalah bilangan $n$-digit. Dari asumsi yang dimaksud $$4(10x+4)=4\cdot 10^n+x,\text{ yaitu }39x=4(10^n-4)=4\cdot \underset{n-1}{\underbrace{99…9}}6,$$ $$∴ 13x = 4\cdot \underset{n-1}{\underbrace{33…3}}2,\text{ dan }13|\underset{n-1}{\underbrace{33…3}}2.$$ Dengan memeriksa kasus $n = 1, 2, · · ·$ satu per satu, mudah untuk melihat bahwa nilai minimum $n$ adalah $5$: $$33332 ÷ 13 = 2564. \text{ }∴ x = 4 × 2564 = 10256, \text{ dan } N = 410256.$$ - Temukan semua bilangan dua digit yang masing-masing habis dibagi dengan hasil perkalian kedua digitnya.
Solusi: Misalkan $\overline{xy} = 10x + y$ adalah bilangan dua digit yang diinginkan. Maka terdapat bilangan bulat positif $k$ sehingga $$10x+y=kxy,$$ jadi $y=(ky-10)x$, yaitu $x|y$. Maka, $0<x\le y$.
Jika $x=y$, maka $11x=kx^2$, jadi $kx=11=11\cdot 1$, yaitu $k=11,x=1=y$. Maka, $11$ adalah solusi.
Jika $x<y$, maka $x\le 4$ (jika tidak, $y\ge 10$).
Ketika $x=4$, maka $y=8$. Namun, tidak ada bilangan bulat positif $k$ sehingga $48=32k$, jadi $x\neq 4$.
Ketika $x=3$, $10x=(kx-1)y$ memberi $30=(3k-1)y$. Karena $y\le 9$, $3|y$ dan $y|30$, jadi $y=6$. Sudah jelas bahwa $36=2\cdot 3\cdot 6$, maka $36$ adalah solusi kedua.
Ketika $x=2$, maka $20=(2k-1)y$. Karena $y\le 9$, $2|y$ dan $y|20$, maka $y=4$. $24=3\cdot 2\cdot 4$ memverifikasi bahwa $24$ adalah solusi ketiga.
Ketika $x=1$, maka $10=(k-1)y$. Jadi $y=2$ atau $5$. $12=6\cdot 1\cdot 2$ dan $15=3\cdot 1\cdot 5$ mengindikasi bahwa $12$ dan $15$ adalah solusi juga.
Maka, solusi nya adalah $11,12,15,24,36$. - Suatu bilangan bulat positif disebut “bilangan baik” jika sama dengan empat kali jumlah digitnya. Temukan jumlah semua bilangan yang baik.
Solusi: Jika suatu bilangan satu digit $a$ merupakan bilangan baik, maka $a = 4a$, yaitu $a = 0$, maka tidak ada bilangan satu digit yang baik.
Misalkan $\overline{ab} = 10a+b$ adalah bilangan dua digit yang baik, maka $10a+b = 4(a+b)$ menyiratkan $2a = b$, jadi ada empat bilangan baik $12, 24, 36, 48$, dan jumlahnya adalah $120$.
Bilangan $\overline{abc}$ tiga digit yang baik memenuhi persamaan $100a + 10b + c = 4(a +b + c)$, yaitu $96a + 6b − 3c = 0$. Karena $96a + 6b − 3c ≥ 96 + 0 − 27 > 0$ selalu, maka tidak ada solusi untuk $(a, b, c)$, yaitu tidak ada bilangan $\overline{abc}$ tiga digit yang baik.
Karena suatu bilangan dengan $n (n ≥ 4)$ digit harus tidak kurang dari $10^{n−1}$, dan $4$ kali jumlah digitnya tidak lebih besar dari $36n$. Untuk $n ≥ 4$, $$10^{n-1}-36n>36(10^{n-3}-n)>0,$$ Jadi, tidak ada bilangan $n$ digit yang baik jika $n ≥ 4$.
Jadi, jumlah semua bilangan yang baik adalah $120$. - Misalkan $\overline{abcdef}$ adalah bilangan bulat $6$ digit sehingga $\overline{defabc}$ adalah $6$ kali nilai $\overline{abcdef}$. Tentukan nilai $a + b + c + d + e + f$.
Solusi: Dari asumsi dalam pertanyaan, $$(1000)(\overline{def})+\overline{abc}=6[(1000)(\overline{abc})+\overline{def}],$$ $$(994)(\overline{def})=(5999)=(\overline{abc}),$$ $$(142)(\overline{def})=(857)(\overline{abc}).$$ Oleh karena itu, $857 | (142)(\overline{def})$. Karena $857$ dan $142$ tidak memiliki faktor persekutuan yang lebih besar dari $1$, maka $857 | \overline{def}$. Karena $2 × 857 > 1000$ yang bukan bilangan tiga digit, maka $\overline{def} = 857$. Jadi, $\overline{abc} = 142$, dan $$a + b + c + d + e + f = 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27.$$ - Buktikan bahwa setiap bilangan pada barisan $12, 1122, 111222, · · ·$ merupakan hasil perkalian dua bilangan bulat berurutan.
Solusi: Dengan menggunakan representasi desimal dari suatu angka dengan digit yang berulang, kita memiliki $$\underset{n}{\underbrace{11…11}}\underset{n}{\underbrace{22…22}}=\frac{1}{9}(10^n-1)\cdot \frac{2}{9}(10^n-1)=\frac{1}{9}(10^n-1)(10^n+2)$$ $$=\left( \frac{10^n-1}{3} \right)\cdot \left( \frac{10^n+2}{3} \right)=\left( \frac{10^n-1}{3}\right)\cdot \left( \frac{10^n-1}{3}+1 \right)=A\cdot (A+1),$$ dimana $A=\frac{1}{3}(10^n-1)=\underset{n}{\underbrace{33…33}}$ adalah bilangan bulat. Kesimpulannya adalah terbukti. - Dalam permainan parlor, pesulap meminta salah satu peserta untuk memikirkan angka tiga digit $\overline{abc}$, di mana $a, b$, dan $c$ mewakili angka-angka dalam basis $10$ sesuai urutan yang ditunjukkan. Pesulap kemudian meminta peserta tersebut untuk menyusun angka-angka tersebut menjadi $\overline{acb}, \overline{bca}, \overline{bac}, \overline{cab},$ dan $\overline{cba}$, menjumlahkan kelima angka tersebut, dan mengungkapkan jumlah totalnya, $N$. Jika diberi tahu nilai $N$, pesulap dapat mengidentifikasi angka aslinya, $\overline{abc}$. Mainkan peran pesulap dan tentukan $\overline{abc}$ jika $N = 3194$.
Solusi: Misalkan $S=N+\overline{abc}=\overline{abc}+\overline{acb}+ \overline{bca}+ \overline{bac}+ \overline{cab}+\overline{cba}$, maka $$S=(100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) + (100b + 10a + c)+(100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) + (100c + 10b + a)$$ $$= 222(a + b + c).$$ $3194 = N = 222(a + b + c) − \overline{abc}$ menyiratkan $222(a + b + c) = 3194 + \overline{abc} =
222 × 14 + 86 + \overline{abc}$. Oleh karena itu
(i) $a+b+c>14;$
(ii) $86+\overline{abc}$ habis dibagi $222$, yaitu $\overline{abc} + 86 = 222n$ untuk beberapa bilangan bulat positif $n$.
Karena $222n\le 999+86=1085$, jadi $n\le \frac{1085}{222}<5$, maka $n$ mungkin salah satu dari $1, 2, 3, 4.$
Ketika $n=1$, maka $\overline{abc}=222-86=136$, kondisi (i) tidak memenuhi.
Ketika $n=2$, maka $\overline{abc}=444-86=358$, kondisi (i) dan (ii) memenuhi.
Ketika $n=3$, maka $\overline{abc}=666-86=580$, kondisi (i) tidak memenuhi.
Ketika $n=4$, maka $\overline{abc}=888-86=802$, kondisi (i) tidak memenuhi.
Maka, $\overline{abc}=358$. - Temukan semua bilangan tiga digit yang masing-masingnya sama dengan jumlah faktorial dari digit-digitnya sendiri.
Solusi: Misalkan $\overline{abc}=100a+10b+c$ menjadi angka tiga digit yang diinginkan.
$7! = 5040$ menunjukkan bahwa $a, b, c ≤ 6,$ dan selanjutnya, jika salah satu dari $a, b, c$ adalah $6$, maka $$\overline{abc}>6!=720\Rightarrow \text{ salah satu dari a, b, c lebih besar dari 6,}$$ jadi $a,b,c\le 5$. Karena $\overline{555}\neq 5!+5!+5!$, maka $a,b,c$ tidak bisa semuanya $5$.
Di sisi lain, $4!+4!+4!=72$ yang bukan bilangan tiga digit, jadi setidaknya salah satu dari $a, b, c$ adalah $5$. $\overline{abc} < 5! + 5! + 5! = 360$ menyiratkan bahwa $a ≤ 3$.
Ketika $a=1$, maka $145=1! + 4! + 5!$, jadi $145$ adalah angka yang diinginkan.
Ketika $a=2$, maka $b,c$ harus $5$. Tapi $255 \neq 2! + 5! + 5!$, jadi tidak ada solusi.
Ketika $a = 3$, maka $b, c$ pastilah $5$. Tetapi $355 \neq 3! + 5! + 5!$, jadi tidak ada solusi.
Jadi, $145$ merupakan solusi unik. - Temukan bilangan asli terkecil $n$ yang memiliki sifat-sifat berikut:
(a) Representasi desimalnya memiliki 6 sebagai digit terakhir.
(b) Jika digit terakhir 6 dihapus dan ditempatkan di depan digit yang tersisa, bilangan yang dihasilkan empat kali lebih besar dari bilangan asli $n$.
Solusi: Jelas bahwa $n$ bukan bilangan satu digit. Misalkan $n = 10x + 6$, di mana $x$ adalah bilangan asli dengan $m$ digit. Maka $$6 · 10^m + x = 4(10x + 6) ⇒ 39x = 6 · 10^m − 24 ⇒ 13x = 2 · 10^m − 8,$$ jadi $13|(2\cdot 10^m-8)$ untuk beberapa $m$, yaitu sisa $2 · 10^m$ adalah $8$ jika dibagi dengan $13$. Dengan pembagian panjang, ditemukan bahwa nilai minimum $m$ adalah $5$. Jadi, $$x=\frac{2\cdot 10^m -8}{13}=\frac{199992}{13}=15384,\text{ }n=153846.$$ - Temukan semua bilangan tiga digit $n$ yang memenuhi syarat bahwa jika $3$ ditambahkan, jumlah digit bilangan yang dihasilkan adalah $\frac{1}{3}$ dari jumlah $n$.
Solusi: Misalkan $n=\overline{abc}$. Dengan asumsi bahwa simpangan digit pasti terjadi ketika melakukan penjumlahan $\overline{abc} + 3$, oleh karena itu $c ≥ 7$.
Dengan $S_0$ dan $S_1$, kita menyatakan jumlah digit $n$ dan bilangan yang dihasilkan masing-masing. Tiga kasus mungkin terjadi:
(i) Jika $a=b=9$, maka $S_0\ge 0+9+7=25$, tetapi $S_1=1+(c+3-10)\le 3,$ kontradiksi. Oleh karena itu kasusnya tidak mungkin.
(ii) Jika $a < 9, b = 9,$ maka $S_0=a+9+c,S_1=a+1+(c+3-10)=a+c-6$. Oleh karena itu $3(a+c-6)=a+9+c$, yaitu $2(a+c)=27$, kontradiksi. Maka tidak ada solusi.
(iii) Jika $b<9$, maka $S_0=a+b+c,S_1=a+(b+1)+(c+3-10)=a+b+c-6$, maka diperoleh bahwa $3(a+b+c-6)=a+b+c$, yaitu $a+b+c=9$, oleh karen aitu $\overline{abc}=108,117,207$.
Jadi, $\overline{abc}=108$ atau $117$ atau $207$.
“Success is getting what you want, happiness is wanting what you get.”
