Pertidaksamaan Linear dan Sistem Pertidaksamaan Linear
- Definisi
- Sifat Dasar Pertidaksamaan
- Langkah-Langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
- Contoh Soal
Definisi
Definisi 1. Suatu ekspresi disebut pertidaksamaan jika ekspresi tersebut dibentuk oleh dua ekspresi aljabar yang dihubungkan dengan simbol “>”, “≥”, “<“, atau “≤”, yang bertujuan untuk mewakili hubungan yang tidak sama antara kedua ekspresi tersebut. Jika menggunakan huruf $a$ dan $b$ untuk mewakili dua ekspresi dalam pertidaksamaan, maka $a > b$ disebut “$a$ lebih besar dari $b$”, $a ≥ b$ disebut “$a$ lebih besar dari atau sama dengan $b$”, $a < b$ disebut “$a$ lebih kecil dari $b$”, dan $a ≤ b$ disebut “$a$ lebih kecil dari atau sama dengan $b$”.
Definisi 2. Ketika suatu pertidaksamaan (atau sistem pertidaksamaan) memiliki $k$ variabel yang tidak diketahui $(x_1, x_2, . . . , x_k) ∈ \mathbb{R}_k$, tindakan untuk menemukan nilai-nilai $(x_1, x_2, . . . , x_k)$ sehingga pertidaksamaan (atau sistem pertidaksamaan) tersebut bernilai benar disebut menyelesaikan pertidaksamaan (atau sistem pertidaksamaan). Setiap titik $(x_1, x_2, . . . , x_k) ∈ \mathbb{R}_k$ yang memenuhi pertidaksamaan (atau sistem pertidaksamaan) tersebut disebut penyelesaian dari pertidaksamaan (atau sistem pertidaksamaan), dan himpunan semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (atau sistem pertidaksamaan).
Sifat Dasar Pertidaksamaan
- Jika $a > b$ dan $b > c$, maka $a > c$.
- Jika $a > b$, maka $a + c > b + c$ dan $a − c > b − c$ untuk sembarang bilangan riil $c$.
- Jika $a > b$, maka $a · c > b · c$ dan $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$ jika $c > 0$.
- Jika $a > b$, maka $a · c < b · c$ dan $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$ jika $c < 0$, artinya arah pertidaksamaan perlu diubah.
Perhatikan bahwa sifat (4) bersifat eksklusif untuk pertidaksamaan, tetapi sifat (1) hingga (3) serupa dengan kasus persamaan.
Langkah-Langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Ketika suatu pertidaksamaan memiliki variabel yang tidak diketahui $a$ yang harus dipecahkan, langkah-langkahnya biasanya sama seperti dalam menyelesaikan persamaan linear, yang terdiri dari
(i) menghilangkan penyebut;
(ii) menghapus tanda kurung;
(iii) memindahkan istilah-istilah untuk menggabungkan istilah-istilah yang serupa;
(iv) menggabungkan suku-suku sejenis;
(v) menormalkan koefisien $x$.
Urutan (i) hingga (iv) dapat diubah secara fleksibel, sehingga pertidaksamaan dapat disederhanakan menjadi salah satu bentuk $$ax > b, ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b,$$ dengan $a, b$ adalah konstanta. Pada langkah (v), $a$ harus dikonversi menjadi $1$ jika $a$ diberikan konstanta, namun, jika $a$ merupakan parameter atau mengandung parameter, maka pembahasan tentang kemungkinan kasus parameter tersebut diperlukan.
Contoh Soal
- Diberikan $2(x − 2) − 3(4x − 1) = 9(1 − x)$ dan $y < x + 9$, bandingkan ukuran $\frac{y}{\pi}$ dan $\frac{10}{31}y$.
Solusi: Dengan menyelesaikan persamaan di $x$, maka diperoleh $12x − 2x − 9x = −4 + 3 − 9 = −10$, sehingga $x = −10$. Dengan demikian, $y < −10 + 9 = −1$. Karena $\frac{1}{\pi}<\frac{10}{31}$, maka $\frac{1}{\pi}y>\frac{10}{31}y$. - Jika $ac<0$, pada pertidaksamaan $\frac{a}{c}<0$; $ac^2<0$; $a^2c<0$; $c^3a<0$; $ca^3<0$ berapa banyak yang harus benar?
(A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4.
Solusi: $ac < 0$ menyiratkan bahwa $a$ dan $c$ memiliki tanda yang berlawanan dan $a \neq 0, c \neq 0$, jadi $\frac{a}{c}< 0$ dan $a^2 > 0$ dan $c^2 > 0$. Karena tanda $a$ dan $c$ tidak ditentukan, maka tanda $a^2c$ dan $ac^2$ tidak ditentukan. Namun, $a^3c = a^2(ac) < 0$ dan $ca^3 = (ac)a^2 < 0$, jadi ada tiga pertidaksamaan yang pasti benar. Jawabannya adalah (C). - Ada empat pernyataan sebagai berikut:
(i) Ketika $0<x<1$, maka $\frac{1}{1+x}<1-x+x^2$;
(ii) Ketika $0<x<1$, maka $\frac{1}{1+x}>1-x+x^2$;
(iii) Ketika $-1<x<0$, maka $\frac{1}{1+x}<1-x+x^2$;
(iv) Ketika $-1<x<0$, maka $\frac{1}{1+x}>1-x+x^2$.
Maka pernyataan yang benar adalah
(A) (i) dan (iii), (B) (ii) dan (iv), (C) (i) dan (iv), (D) (ii) dan (iii).
Solusi: Dengan kondisi pada $x, 1 + x > 0$, maka kita dapat memindahkan $1 + x$ ke ruas kanan tanpa mengubah arah tanda pertidaksamaan. Karena $$(1 + x)(1 − x + x^2) = 1 + x^3,$$ Jadi (i) dan (iv) benar, tetapi (ii) dan (iv) salah. Jadi, jawabannya adalah (C). - Diberikan bilangan riil $a$ dan $b$. Jika $a=\frac{x+3}{4},b=\frac{2x+1}{3},b<\frac{7}{3}<2a$, temukan rentang nilai $x$.
Solusi: Pertidaksamaan $b<\frac{7}{3}<2a$ menyiratkan $\frac{2x+1}{3}<\frac{7}{3}<\frac{x+3}{2}$, jadi $2x+1<7$ dan $14<3x+9$, karena $\frac{5}{3}<x<3$. Jadi, rentang $x$ adalah $\frac{5}{3}<x<3$. - Jika himpunan penyelesaian pertidaksamaan $(a+ 1)x > a^2 −1$ adalah $x < a − 1$, tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $(1 − a)x < a^2 − 2a + 1$.
Solusi: Kondisi yang diberikan dalam pertanyaan menyiratkan bahwa $a + 1 < 0$. Faktanya, $a + 1 < 0$ mengarah pada himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama yaitu $x<\frac{a^2-1}{a+1}$, yaitu $x<a-1$.
Maka $a + 1 < 0$ menyiratkan $a < −1$, sehingga $1 − a > 0$. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kedua adalah $$x<\frac{a^2-2a+1}{1-a}=1-a,\text{ yaitu }x<1-a.$$ - Selesaikan pertidaksamaan $a(x − b^2) > b(x + a^2)$ untuk $x$.
Solusi: $a(x − b^2) > b(x + a^2)$ menghasilkan $(a − b)x > ab(a + b)$.
(i) Jika $a>b$, maka $x>\frac{ab(a+b)}{a-b}$;
(ii) Jika $a<b$, maka $x<\frac{ab(a+b)}{a-b}$;
(iii) Jika $a = b ≥ 0$, maka ruas kiri adalah nol, tetapi ruas kanan non-negatif, tidak ada solusi;
(iv) Jika $a = b < 0$, maka ruas kiri adalah nol dan ruas kanan negatif, jadi setiap bilangan riil merupakan penyelesaian. - Diketahui himpunan penyelesaian pertidaksamaan $(2a − b)x + 3a − 4b < 0$ adalah $x > \frac{4}{9}$. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan $$(a − 4b)x + 2a − 3b > 0.$$
Solusi: Himpunan penyelesaian $(2a − b)x + 3a − 4b < 0$ adalah $x >49$ yang berarti $$2a-b<0\text{ dan }\frac{4b-3a}{2a-b}=\frac{4}{9},$$ $$2a < b,\text{ dan } 36b − 27a = 8a − 4b,$$ $$∴ b=\frac{7}{8}a > 2a → a < 0.$$ Maka $(a − 4b)x + 2a − 3b > 0$ menjadi $\left(a-\frac{7}{2}a\right)x+2a-\frac{21}{8}a>0$, jadi $$-\frac{5}{2}ax>\frac{5}{8}a,\text{ }∴x>-\frac{1}{4}.$$ Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan kedua adalah $x >-\frac{1}{4}$. - Diketahui himpunan penyelesaian untuk $x$ dari pertidaksamaan $\frac{2m+x}{3}\le \frac{4mx-1}{2}$ adalah $x\le \frac{3}{4}$, temukan nilai parameter $m$.
Solusi: Dari $\frac{2m+x}{3}\le \frac{4mx-1}{2}$ diperoleh bahwa $$4m + 2x ≤ 12mx − 3,$$ $$2(6m − 1)x ≥ 4m + 3.$$ Himpunan solusinya adalah $x≥\frac{3}{4}$ menunjukkan bahwa $6m − 1 > 0$ dan $\frac{4m+3}{2(6m-1)}=\frac{3}{4},$ $$∴ 2(4m + 3) = 3(6m − 1), \text{ yaitu } (18 − 8)m = 6 + 3, ∴ m =\frac{9}{10}.$$ - Diketahui $x = 3$ merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan $mx+2 < 1 − 4m$, jika $m$ merupakan bilangan bulat, tentukan nilai maksimum $m$.
Solusi: Dengan mensubstitusikan $x = 3$ ke dalam pertidaksamaan yang diberikan, maka diperoleh $7m < −1$, maka $m < −\frac{1}{7}$, sehingga nilai maksimum $m$ adalah $−1$.
Mencari himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear berarti menemukan himpunan yang memenuhi setiap pertidaksamaan dalam sistem tersebut. Jadi, untuk setiap pertidaksamaan dalam sistem, kita dapat menemukan himpunan penyelesaiannya terlebih dahulu, kemudian suku persekutuan dari himpunan-himpunan ini adalah himpunan penyelesaian sistem tersebut. - Selesaikan sistem pertidaksamaan $$\left\{ \begin{array}{cl}
3x-5 & \ge 2x-3, \\
2(3x+2) & \ge 3x-1
\end{array} \right.$$
Solusi: Himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama adalah $x ≥ 2$.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kedua adalah $x ≥ −\frac{5}{3}$.
Oleh karena itu, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah bagian persekutuan dari kedua interval tersebut, yaitu himpunan $x ≥ 2.$
“The more that you read, the more things you will know. The more that you learn, the more places you’ll go.”
