Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Metode Dasar untuk Menghilangkan Tanda Nilai Absolut
- Contoh Soal
Teknik terpenting untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai absolut adalah sama seperti dalam menyelesaikan persamaan dengan nilai absolut, yaitu, perlu menghilangkan tanda nilai absolut, sehingga menjadi pertidaksamaan normal untuk diselesaikan.
Metode Dasar untuk Menghilangkan Tanda Nilai Absolut
(I) $a| ≤ b$ ekuivalen dengan $−b ≤ a ≤ b$.
Perhatikan bahwa di sini, $b$ tidak perlu dianggap non-negatif, karena jika $b < 0$, maka $−b ≤ a ≤ b$ tidak memiliki solusi untuk $a$.
(II) $|a| ≥ |b|$ setara dengan $a^2 ≥ b^2$.
(III) $|a| ≥ b$ setara dengan $a ≤ −b$ atau $a ≥ b$.
(IV) Untuk menyederhanakan pertidaksamaan yang diberikan dan menghilangkan tanda nilai absolut, beberapa substitusi variabel atau ekspresi, seperti $y = |x|$, berguna.
(V) Ketika dua atau lebih pasangan tanda nilai absolut muncul pada lapisan yang sama dari pertidaksamaan yang diberikan, metode umum untuk menghilangkan tanda nilai absolut adalah dengan mempartisi rentang variabel menjadi beberapa interval, sehingga nilai setiap ekspresi di antara pasangan tanda absolut tersebut memiliki tanda yang tetap. Untuk ini, setiap ekspresi tersebut harus bernilai nol, dan akar-akarnya diambil sebagai titik partisi. Misalnya, untuk menyelesaikan pertidaksamaan $$|x − 2| + |x − 4| < 3,$$ maka sumbu bilangan dibagi menjadi tiga interval $(−∞, 2],(2, 4]$ dan $(4, ∞)$, di mana $2$ dan $4$ diperoleh dengan membiarkan $x − 2 = 0$ dan $x − 4 = 0$.
Contoh Soal
- Selesaikan pertidaksamaan $ |x^2 − 2x + 5| < 4.$
Solusi: $$|x^2 − 2x + 5| < 4 ⇔ −4 < x^2 − 6x + 5 < 4$$ $$⇔ 0 < x^2 − 6x + 9 \text{ dan } x^2 − 6x + 1 < 0.$$ $0 < x^2 − 6x + 9 ⇔ 0 < (x − 3)^2 ⇔ x \neq 3$, dan $$x^2 − 6x + 1 < 0 ⇔ 3 − 2\sqrt{2} < x < 3 + 2\sqrt{2},$$ Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\{3 − 2\sqrt{2} < x < 3 + 2\sqrt{2}\} − \{3\}$. - Selesaikan pertidaksamaan $|3x^2 − 2| < 1 − 4x$
Solusi: $$|3x^2 − 2| < 1 − 4x ⇔ 4x − 1 < 3x^2 − 2 < 1 − 4x$$ $$⇔ 0 < 3x^2 − 4x − 1 \text{ dan } 3x^2 + 4x − 3 < 0$$ $$⇔ x <\frac{2-\sqrt{7}}{3}\text{ atau }x>\frac{2+\sqrt{7}}{3}\text{ dan }\frac{-2-\sqrt{13}}{3}<x<\frac{-2+\sqrt{13}}{3}.$$ Karena $\frac{-2-\sqrt{13}}{3}<\frac{2-\sqrt{7}}{3}<\frac{-2+\sqrt{13}}{3}<\frac{2+\sqrt{7}}{3}$, himpunan penyelesaiannya adalah $$\frac{-1-\sqrt{13}}{3}<x<\sqrt{2-\sqrt{7}}{3}.$$ - Selesaikan pertidaksamaan $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\le 1$.
Solusi: Pertidaksamaan yang diberikan menyiratkan bahwa $x \neq 1$ dan $|x − 1| > 0$, jadi $$\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\le 1⇔ |x + 1| ≤ |x − 1| ⇔ (x + 1)^2 ≤ (x − 1)^2$$ $$⇔ x^2 + 2x + 1 ≤ x^2 − 2x + 1 ⇔ 4x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0.$$ Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\{x ≤ 0\}$. - Selesaikan pertidaksamaan $|x^2 − x| > 2.$
Solusi: Karena $|x^2 − x| > 2 ⇔ x^2 − x < −2$ atau $x^2 − x > 2,$ dan $$x^2 − x < −2 ⇔ x^2 − x + 2 < 0, x^2 − x > 2 ⇔ x^2 − x − 2 > 0.$$ Pertidaksamaan $x^2 − x + 2 < 0$ tidak memiliki solusi riil karena diskriminan $∆$ dari persamaan yang bersesuaian $x^2 − x + 2 = 0$ bernilai negatif: $$∆ = (−1)^2 − 8 = −7 < 0,$$ sehingga kurva $y = x^2 − x + 2$ sepenuhnya berada di atas sumbu $x$. Namun $$x^2 − x − 2 > 0 ⇔ (x − 2)(x + 1) > 0 ⇔ x < −1 \text{ atau } x > 2.$$ Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $(−∞, −1) ∪ (2, +∞)$. - Selesaikan pertidaksamaan $x^2 − 2x − 5|x − 1| + 7 ≤ 0.$
Solusi: Karena $$x^2−2x−5|x−1|+ 7 = (x^2 −2x+ 1)−5|x−1|+ 6 = (x−1)^2 −5|x−1|+ 6,$$ misalkan $y = |x − 1|$, maka pertidaksamaan yang diberikan menjadi $$y^2 − 5y + 6 ≤ 0,$$ $$(y − 2)(y − 3) ≤ 0,$$ $$∴ 2 ≤ y ≤ 3.$$ Kembali ke $x$, menjadi $2 ≤ |x − 1| ≤ 3$.
Dengan menyelesaikan $2 ≤ |x − 1|$, maka $x − 1 ≤ −2$ atau $x − 1 ≥ 2$, maka himpunan penyelesaiannya adalah $\{x ≤ −1\} ∪ \{x ≥ 3\}$.
Dengan menyelesaikan $|x−1| ≤ 3$, maka $−3 ≤ x−1 ≤ 3$, maka himpunan penyelesaiannya adalah $−2 ≤ x ≤ 4$.
Dengan mengambil bagian persekutuan dari kedua himpunan penyelesaian ini, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan asli adalah $$\{−2 ≤ x ≤ −1\} ∪ \{3 ≤ x ≤ 4\}.$$ - Selesaikan pertidaksamaan $\frac{3x^2-8|x|-3}{x^2+2x+3}\ge 0$.
Solusi: Karena $x^2+2x+3 = (x+1)^2+2 ≥ 2 > 0$ untuk setiap bilangan real $x$, himpunan penyelesaian
dari pertidaksamaan yang diberikan setara dengan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $3x^2−8|x|−3 > 0$. Untuk menyelesaikannya, misalkan $y = |x|$, maka berikut ini $$3y^2 − 8y − 3 > 0,$$ $$(3y + 1)(y − 3) > 0,$$ $$∴ y > 3 \text{ atau }3y + 1 < 0 (\text{tidak dapat diterima karena }y ≥ 0).$$ Kembali ke $x$, himpunan penyelesaiannya adalah $\{|x| > 3\}$ atau setara dengan, $\{x < −3\}∪\{x > 3\}$. - Selesaikan pertidaksamaan $2|x| − |x − 2| ≥ 0.$
Solusi: Karena $2|x| − |x − 2| ≥ 0 ⇔ 2|x| ≥ |x − 2|$, dengan mengkuadratkan kedua sisi, maka $$4x^2 ≥ (x − 2)^2,$$ $$4x^2 ≥ x^2 − 4x + 4,$$ $$3x^2 + 4x − 4 ≥ 0,$$ $$(3x − 2)(x + 2) ≥ 0.$$ Karena akar persamaan kuadrat $(3x − 2)(x + 2) = 0$ adalah $\frac{2}{3}$ dan $−2$, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $\{x ≤ −2\} ∪ \{x ≥\frac{2}{3}\}.$
Catatan: Soal ini dapat diselesaikan dengan membagi sumbu bilangan menjadi tiga bagian: $x ≤ 0, 0 < x ≤ 2$, dan $2 < x$. - Selesaikan pertidaksamaan $|2x − 1| − |x + 1| > 2.$
Solusi: Diperlukan untuk membagi sumbu riil menjadi tiga interval dengan menggunakan titik partisi $−1$ dan $\frac{1}{2}$.
Untuk $x ≤ −1$, pertidaksamaan menjadi $(1 − 2x) + (x + 1) > 2$, yaitu x < 0, sehingga $(−∞, −1]$ ada di himpunan penyelesaian.
Untuk $−1 < x ≤\frac{1}{2}$, pertidaksamaan menjadi $(1−2x)−(x+ 1) > 2$, himpunan penyelesaiannya adalah $−1 < x < −\frac{2}{3}$.
Untuk $x >\frac{1}{2}$, pertidaksamaannya menjadi $(2x − 1) − (x + 1) > 2$, sehingga himpunan penyelesaiannya adalah $x > 4$.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah $(−∞, −\frac{2}{3}) ∪ (−4, +∞).$ - Diketahui bilangan riil $a, b$ memenuhi pertidaksamaan $$||a| − (a + b)| < |a − |a + b||,$$ maka
(A) $a > 0, b > 0;$ (B) $a < 0, b > 0;$ (C) $a > 0, b < 0;$ (D) $a < 0, b < 0.$
Solusi: Terdapat dua lapisan tanda nilai absolut dalam ekspresi yang diberikan. Dengan mengambil kuadrat di kedua sisi, tanda nilai absolut di lapisan luar dapat dihilangkan. $$||a| − (a + b)| < |a − |a + b|| ⇔ (|a| − (a + b))^2 < (a − |a + b|)^2,$$ $$a^2 + (a + b)^2 − 2|a|(a + b) < a^2 + (a + b)^2 − 2a|a + b|,$$ $$a|a + b| < |a|(a + b),$$ Oleh karena itu, $a, a + b$ keduanya bukan nol, sehingga $\frac{a}{|a|}<\frac{a+b}{|a+b|}$. Karena kedua ruas memiliki nilai absolut $1$, maka $a < 0$ dan $a + b > 0$, sehingga, $a < 0, b > 0$, jawabannya adalah (B).
Ketika suatu pertidaksamaan dengan nilai absolut mengandung parameter, maka, serupa dengan kasus pertidaksamaan tanpa nilai absolut, pertidaksamaan tersebut dapat memberikan beberapa informasi tentang rentang parameter, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. - Ketika $x$ adalah bilangan riil dan $|x−4|+|x−3| < a$, di mana $a > 0$, maka
(A) $0 < a < 0.01,$ (B) $0.01 < a < 1,$ (C) $0 < a < 1,$ (D) $0 < a ≤ 1,$ (E) $1 < a.$
Solusi: Gunakan $3$ dan $4$ sebagai titik partisi untuk membagi sumbu riil menjadi tiga interval,
(i) untuk $x ≤ 3$, maka $|x − 4| + |x − 3| = 4 − x + 3 − x = 7 − 2x ≥ 1$,
(ii) untuk $3 < x ≤ 4$, maka $|x − 4| + |x − 3| = 4 − x + x − 3 = 1$,
(iii) untuk $4 < x$, maka $|x − 4| + |x − 3| = x − 4 + x − 3 = 2x − 7 > 1$,
Jadi ruas kiri harus minimal $1$. Jadi, $a > 1$, jawabannya adalah (E).
“Courage doesn’t always roar. Sometimes courage is the little voice at the end of the day that says I’ll try again tomorrow.”
