Persamaan Polinomial Derajat Tinggi
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Definisi
- Contoh Soal
Definisi
Suatu persamaan polinomial dikatakan sebagai persamaan derajat tinggi jika derajatnya lebih besar dari 2.
Karena pendekatan umum dan sistemik persamaan polinomial melibatkan pengetahuan tentang bilangan kompleks, dalam bab ini, kami hanya membahas jenis persamaan polinomial derajat tinggi yang dapat dikonversi menjadi persamaan kuadrat atau dapat ditangani dengan metode khusus, misalnya dengan melengkapi kuadrat.
Berikut ini adalah metode umum untuk mengurangi derajat yang lebih tinggi menjadi 1 atau 2:
- Metode Faktorisasi.
Di sini, segala macam keterampilan faktorisasi yang selama ini telah kita pelajari, diperlukan, termasuk keterampilan mencari akar-akar polinomial, menggunakan pembagian polinomial, dan menukar posisi variabel dan parameter, dsb. - Substitusi variabel atau ekspresi.
Substitusi variabel dan ekspresi berperan penting dalam menyederhanakan persamaan polinomial dan mengurangi derajatnya. Namun, tidak selalu mudah untuk menemukan substitusi yang tepat, dan terkadang, manipulasi pada polinomial (misalnya, ekspansi Binomial) seringkali diperlukan untuk menemukan substitusi yang tepat.
Dalam beberapa tahun terakhir, beberapa soal penyelesaian sistem persamaan polinomial berderajat tinggi telah muncul dalam kompetisi MO di berbagai negara. Derajat persamaan dapat dikurangi dengan operasi persamaan dan teknik pertidaksamaan, yang berbeda dari yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tunggal berderajat tinggi.
Contoh Soal
- Temukan semua solusi nyata $(x, y, z)$ dari persamaan $$4xyz-x^4-y^4-z^4=1.$$
Solusi: $$4xyz-x^4-y^4-z^4 = 1\Leftrightarrow (x^4+ 1) + (y^4 +z^4) -4xyz = 0$$ $$\Leftrightarrow (x^4-2x^2 +1) + (4 -2y^2z^2+ z^4) +2(x^2-2xyz + y^2z^2) = 0$$ $$\Leftrightarrow (x^2- 1)^2 + (y^2 -z^2)^2 + 2(x – yz)^2 = 0 \Leftrightarrow x = ±1, y = ±z, x = yz$$ $$\Leftrightarrow (x, y,z) = (1, 1, 1); (1, −1, −1); (–1, 1, −1); (–1, -1, 1).$$ - Temukan akar-akar riil maksimum dari persamaan $3x^7- x^4-30x^5 +10x^2 +3x^3-1= 0.$
Solusi: Dengan memfaktorkan sisi kiri, $$3x^3(x^4-10x^2 + 1) – (x^4 – 10x^2 + 1) = 0,$$ $$(3x^3-1)(x^4 – 10x^2 +1) = 0.$$
(i) $3x^3-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.
(ii) $x^4-10x^2+1=0\Rightarrow x^2=\frac{10\pm \sqrt{96}}{2}=5\pm 2\sqrt{6}=(\sqrt{3}\pm \sqrt{2})^2$, jadi $x=\pm (\sqrt{3}\pm \sqrt{2})$.
Oleh karena itu, akar maksimumnya adalah $\sqrt{3}+\sqrt{2}$. - Selesaikan persamaan $ (6x +7)^2(3x +4)(x + 1) = 6.$
Solusi: Mengalikan kedua sisi dengan $12$, maka $$(6x + 7)^2[(6x +8)(6x + 6)] = 72,$$ $$(6x +7)^2[(6x + 7)^2 − 1] = 72.$$ Misalkan $y = (6x + 7)^2$, maka $y ≥ 0$ dan $$y^2- y -72 = 0 \Rightarrow (y +8)(y — 9) = 0 \Rightarrow y = 9 \Rightarrow 6x +7 = ±3.$$
(i) $6x +7=3 \Rightarrow x_1=-\frac{2}{3};$
(ii) $6x +7= −3 \Rightarrow x_2 =-\frac{5}{3}.$ - Temukan hasil kali semua akar riil dari persamaan $$x^2+2x-\frac{6}{x^2+2x-12}=13.$$
Solusi: Misalkan $y=x^2+2x-12$, maka persamaan nya menjadi $y-\frac{6}{y}=1$, maka $$y^2 – y – 6 = 0 \Rightarrow (y − 3)(y + 2) = 0 \Rightarrow y = 3 \text{ atau } y = –2.$$
(i) $y=3\Rightarrow x^2+2x-12=3\Rightarrow (x-3)(x+5)=0\Rightarrow x_1=3,x_2=-5;$
(ii) $y=-2\Rightarrow x^2+2x-12=-2\Rightarrow x_3=-1-\sqrt{11},x_4=-1+\sqrt{11}.$
Jadi, hasil kali semua akarnya adalah $(3)(-5)(-1-\sqrt{11})(-1+\sqrt{11})=150.$ - Tentukan nilai akar real maksimum dikurangi akar real minimum dari persamaan $(x^2 – 5)^4 + (x^2 – 7)^4 = 16.$
Solusi: Misalkan $y=x^2-6$, maka $(y+1)^4+(y-1)^4=16$. Ekspansi binomial $$(y +1)^4 = y^4 +4^3 + 6y^2 +4y + 1 \text{ dan }(y – 1)^4 = y^4-4y^3 +6y^2- 4y +1$$ menghasilkan $y^4+6y^2+1=8$ atau $y^4+6y^2-7=0$. Maka $$y^4 +6y^2-7 = 0 \Rightarrow (y^2 +7)(y^2 − 1) = 0 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = ±1.$$
(i) $y=1\Rightarrow x^2-6=1\Rightarrow x_1=-\sqrt{7},x_2=\sqrt{7};$
(ii) $y=-1\Rightarrow x^2-6=-1\Rightarrow x_3=-\sqrt{5},x_4=\sqrt{5}.$
Maka, jawaban nya adalah $\sqrt{7}+\sqrt{7}=2\sqrt{7}$. - Selesaikan persamaan $ 3x^4 + 2x^3 -7x^2-2x +3 =0.$
Solusi: Jelas bahwa $0$ bukan akar, oleh karena itu persamaan yang diberikan dapat ditulis dalam bentuk $$3\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+2\left(x-\frac{1}{x}\right)-7=0.$$ Misalkan $y=x-\frac{1}{x}$ dan dengan melengkapi kuadrat di sisi kiri, maka diperoleh
bahwa $3y^2 + 2y — 1 = 0$. Jadi $$3y^2 +2y -1 = 0 \Rightarrow (3y − 1)(y + 1) = 0 \Rightarrow y = -1 \text{ atau }\frac{1}{3}.$$
(i) $y=-1\Rightarrow x^2+x-1=0\Rightarrow x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\text{ }x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2};$
(ii) $y=\frac{1}{3}\Rightarrow 3x^2-x-3=0\Rightarrow x_3=\frac{1-\sqrt{37}}{2},\text{ }x_4=\frac{1+\sqrt{37}}{2}.$
Untuk memfaktorkan $f(x, a)$ dalam persamaan $f(x, a) = 0$, terkadang perlu mempertimbangkan parameter $a$ sebagai variabel dan variabel $x$ sebagai parameter sementara, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. - Selesaikan persamaan $x^4-9x^3+2(10-a)x^2+9ax+a^2-0$, untuk $x$, dimana $a>0$ adalah parameter.
Solusi: Demi memfaktorkan ruas kiri, jika menganggap $a$ sebagai variabel dan $x$ sebagai parameter, maka dapat disimpulkan bahwa $$x^4-9x^3 +2(10 – a)x^2 + 9ax + a^2$$ $$= a^2 – (2x^2-9x)a + (x^4-9x^3 + 20x^2)$$ $$= a^2 – x(2x – 9)a + x^2(x^2 – 9x + 20)$$ $$= a^2 – x(2x – 9)a + x^2(x — 4)(x — 5)$$ $$= [a – x(x -5)][a – x(x – 4)] = (a – x^2 + 5x)(a – x^2 +4x)$$ $$= (x^2 – 5x – a)(x^2 – 4x – a).$$ Oleh karena itu persamaan yang diberikan dapat ditulis dalam bentuk $$(x^2-5x -a)(x^2 – 4x – a) = 0.$$ Maka $$x^2-5x-a=0\Rightarrow x_1=\frac{5-\sqrt{25}+4a}{2},\text{ }\text{ }\text{ }x_2=\frac{5+\sqrt{5+4a}}{2},$$ $$x^2-4x-a=0\Rightarrow x_3=2-\sqrt{4+a},\text{ }\text{ }\text{ }x_4=2+\sqrt{4+a}.$$ Berikut adalah beberapa contoh untuk sistem persamaan derajat yang lebih tinggi. - Temukan semua solusi positif nyata (jika ada) untuk $$x^3+y^3+z^3=x+y+z, \text{ dan}$$ $$x^2+y^2+z^2=xyz.$$
Solusi: Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa $x ≥ y ≥ z > 0$. Dari $xyz = x^2 + y^2 + z^2 > 2xy$, kita memiliki $z > 2$, sehingga $x, y, z > 2$ dan $$(x^3+y^3+z^3)-(x+y+z)=x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1)>6,$$ oleh karena itu tidak diperlukan solusi untuk sistem yang diberikan. - Temukan semua $a, b, c, d, e, f$ real yang memenuhi sistem $$4a = (b + c+ d +e)^4,$$ $$4b = (c + d + e + f)^4,$$ $$4c = (d +e + f + a)^4$$ $$4d = (e + f + a + b)^4,$$ $$4e = (f +a+b+c)^4,$$ $$4f = (a + b + c + d)^4.$$
Solusi: Ruas kanan setiap persamaan yang non-negatif menyiratkan bahwa $a, b, c, d, e, f$ semuanya non-negatif.
Karena variabel-variabel ini bersifat siklik dalam persamaan, jika ada dua variabel yang berbeda, harus ada dua variabel berurutan yang berbeda, katakanlah $a < b$ (pembahasan untuk kasus $a > b$ serupa), maka $$a < b⇒ b+c+d+e<c+d+e+ f ⇒ b < f → a < f$$ $$⇒b+c+d+e<a+b +c+ d ⇒ e < a⇒e< f$$ $$⇒ f +a+b+c< a+ b + c+ d ⇒ f <d→e < d$$ $$⇒ f+a+b+c<e + f + a +b→ c<e⇒c<d$$ $$⇒ d+e+f+a<e + f +atb → d < b → d < b < f <d,$$ Hal ini mengarah pada kontradiksi. Jadi, $a = b = c = d = e = f,$ dan dari persamaan $4a = (4a)^4$ kita peroleh $a = 0$ atau $a = \frac{1}{4}$, solusi sistemnya adalah $$(a, b,c, d,e,f) = (0,0, 0, 0, 0, 0) \text{ atau }\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right).$$ - Temukan semua solusi $(x, y) ∈ \mathbb{R} × \mathbb{R}$ dari sistem berikut: $$\begin{array}{rcl}
x^3+3xy^2 & = 49,& (2.1) \\
x^2+8xy+y^2 & = 8y+17x.& (2.2)
\end{array}$$
Solusi: Operasi $3x \times (2.2) – (2.1)$ memberikan $$2x^2 + 24x^2y – 51x^2 – 24xy +49 = 0,$$ $$(x -1)(2x^2 + 24xy -49x -49) = 0.$$ Dari $(2.1),x=1\Rightarrow 3y^2=48\Rightarrow y=\pm4$, dan dari $(2.1)$ lagi, karena $x\neq 0$, $$2x^2 +24xу – 49х – 49 = 0 → 2x^2 + 24xy – 49x = x^3 +3xy^2$$ $$⇒ 2x + 24y – 49 = x^2 + 3y^2 ⇒ (x – 1)^2 +3(y -4)^2 = 0$$ $$⇒ x = 1, y = 4.$$ Jadi, sistem asli memiliki dua solusi untuk $(x, y): (1, 4)$ dan $(1, -4)$. - Diberikan bilangan bulat positif $n$, carilah semua bilangan real non-negatif $x_1, x_2,…, x_n$ sehingga $$\left\{ \begin{array}{cl}
x_1+x_2^2+x_3^3+…+x_n^n=n, \\
x_1+2x_2+3x_3+…+nx_n=\frac{n(n+1)}{2}.
\end{array} \right.$$
Solusi: Ketika persamaan pertama dikurangi persamaan kedua dan kemudian memindahkan semua suku ke ruas kiri, diperoleh bahwa $$0=x_1+x_2^2+x_3^3+…+x_n^n-n-\left[x_1+2x_2+3x_3+…+nx_n-\frac{n(n+1)}{2}\right]$$ $$=(x_2^2-2x_2+2-1)+(x_3^3-3x_3+3-1)+…+(x_n^n-nx_n+n-1).$$ Untuk setiap bilangan bulat positif $k\ge 2$ dan $x\ge 0$, dengan pertidaksamaan AM-GM, $$x^k+k-1=x^k+\underset{k-1}{\underbrace{1+1+…+1}}\ge\sqrt[k]{x^k}=kx,$$ dan persamaan tersebut berlaku jika dan hanya jika $x = 1$, sehingga $x_2= x_3 = … = x_n = 1$. Maka, persamaan pertama yang diberikan menghasilkan $x_1 = 1.$
Jadi, $x_1 = x_2 = .. = x_n = 1.$
“Education is not the filling of a pail, but the lighting of a fire.”
