Persamaan Linear Variabel Tunggal
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Langkah-Langkah Umum untuk Memecahkan Persamaan
- Contoh Soal
Langkah-Langkah Umum untuk Memecahkan Persamaan
- Hapus penyebut: Ketika setiap suku dari persamaan yang diberikan dikalikan dengan KPK dari penyebut, semua penyebut dari suku-suku tersebut dapat dihapus. Setelah menghapus penyebut, pembilang setiap suku dianggap sebagai keseluruhan persamaan aljabar, dan harus diletakkan dalam tanda kurung.
- Hapus tanda kurung: Kita dapat menghapus tanda kurung dengan menggunakan hukum distributif dan aturan penghapusan tanda kurung. Jangan hilangkan satu suku pun di dalam tanda kurung, dan ubah tanda setiap suku di dalam tanda kurung jika ada tanda “-“ sebelum tanda kurung.
- Pindahkan suku: Pindahkan semua suku dengan variabel yang tidak diketahui ke satu sisi persamaan dan suku lainnya ke sisi persamaan yang lain sesuai dengan Prinsip Pemindahan Suku: ketika memindahkan suatu suku dari satu sisi ke sisi persamaan yang lain, tandanya harus diubah. Semua suku yang tidak dipindahkan tetap mempertahankan tandanya.
- Gabungkan suku-suku yang serupa: Setelah memindahkan suku-suku tersebut, suku-suku yang serupa harus digabungkan, sehingga persamaan yang diberikan berada dalam bentuk $$ax=b$$ di mana a, b adalah konstanta tetapi terkadang tidak diketahui. Konstanta yang tidak diketahui dalam suatu persamaan disebut parameter.
- Normalisasikan koefisien $x$: Ketika $a \neq 0$, kita memiliki solusi unik $x =\frac{b}{a}$. Jika $a = 0$ tetapi $b \neq 0$, persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Jika $a = b = 0$, setiap nilai riil merupakan solusi untuk $x$. Khususnya, ketika $a$ mengandung parameter, $a$ tidak dapat digeser ke kanan sebagai penyebut kecuali jika bukan nol, sehingga perlu untuk membahas nilai $a$ berdasarkan kasus per kasus.
Catatan: Tidak perlu melakukan langkah-langkah di atas sesuai urutan yang tercantum. Tepatnya, urutan yang berbeda diperlukan untuk pertanyaan yang berbeda.
Contoh Soal
- Selesaikan persamaan $$\frac{1}{10}\left\{\frac{1}{9}\left[\frac{1}{5}\left(\frac{x+2}{3}+8\right)+16\right]+8\right\}=1.$$
Solusi: Dengan menghilangkan penyebut satu per satu, maka dapat disimpulkan bahwa $$\frac{1}{9}\left[\frac{1}{5}\left(\frac{x+2}{3}+8\right)+16\right]=2,$$ $$\frac{1}{5}\left(\frac{x+2}{3}+8\right)=2$$ $$\frac{x+2}{3}=2,$$ $$x+2=6,\text{ yaitu }x=4.$$ - Selesaikan persamaan $$\frac{1}{5}\left\{\frac{1}{4}\left[\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}x-3\right)-2\right]-1\right\}-2=1.$$
Solusi: Di sini, akan lebih mudah untuk memindahkan suatu suku dan kemudian menghilangkan penyebutnya untuk menyederhanakan persamaan. Dari persamaan yang diberikan, kita memperoleh $$\frac{1}{5}\left\{\frac{1}{4}\left[\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}x-3\right)-2\right]-1\right\}-2=1,$$ $$\frac{1}{4}\left[\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}x-3\right)-2\right]-1=15,$$ $$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}x-3\right)-2=64$$ $$\frac{1}{2}x-3=198$$ $$x=402.$$ - Selesaikan persamaan $$\frac{3}{5}\left[\frac{5}{3}\left(\frac{1}{4}x+1\right)+5\right]-\frac{1}{2}=x.$$
Solusi: Mengingat $\frac{5}{3}$ dan $\frac{3}{5}$ saling resiprokal, sebaiknya hilangkan tanda kurung terlebih dahulu. Kita punya $$\left(\frac{1}{4}x+1\right)+3-\frac{1}{2}=x;$$ $$\frac{1}{4}x+1+3-\frac{1}{2}=x,$$ $$\frac{3}{4}x=\frac{7}{2},$$ $$x=\frac{14}{3}.$$ - Selesaikan persamaan $$1-\frac{x-\frac{1+3x}{5}}{3}=\frac{x}{2}-\frac{2x-\frac{10-6x}{7}}{2}.$$
Solusi: Karena persamaan yang diberikan mengandung pecahan kompleks di kedua sisi, lebih baik menyederhanakan setiap sisi secara terpisah terlebih dahulu. Dari $$1-\frac{x-\frac{1+3x}{5}}{3}=1-\frac{5x-(1+3x)}{15}=\frac{15-2x+1}{15}=\frac{16-2x}{15},$$ $$\frac{x}{2}-\frac{2x-\frac{10-6x}{7}}{2}=\frac{x}{2}-\frac{14x-(1-6x)}{14}=\frac{10-13x}{14},$$ maka diperoleh $$\frac{16-2x}{15}=\frac{10-13x}{14},$$ $$14(16-2x)=15(10-13x),$$ $$224-28x=150-195x,\text{ yaitu }167x=-74,$$ $$x=-\frac{74}{167}.$$ - Jika $a,b,c$ adalah konstanta positif, selesaikan persamaan $$\frac{x-a-b}{c}+\frac{x-b-c}{a}+\frac{x-c-a}{b}=3.$$
Solusi: Dengan memindahkan angka 3 pada persamaan yang diberikan ke ruas kiri, maka $$\left(\frac{x-a-b}{c}-1\right)+\left(\frac{x-b-c}{a}-1\right)+\left(\frac{x-c-a}{b}-1\right)=0,$$ $$\frac{x-a-b-c}{c}+\frac{x-a-b-c}{a}+\frac{x-a-b-c}{b}=0,$$ $$(x-a-b-c)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=0,$$ $$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>0,$$ $$x-a-b-c=0,$$ $$x=a+b+c.$$ - Selesaikan persamaan $$ax+b-\frac{5x+2ab}{5}=\frac{1}{4}.$$
Solusi: Menghapus penyebut dari persamaan yang diberikan menghasilkan $$20(ax+b)-4(5x+2ab)=5,$$ $$20ax+20b-20x-8ab=5,$$ $$20(a-1)x=5-20b+8ab.$$
(i). Ketika $a\neq 1,x=\frac{5-20b+8ab}{20(a-1)}.$
(ii). Ketika $a=1$ dan $b=\frac{5}{12}$, persamaannya menjadi $0\cdot x=0$, maka setiap bilangan riil merupakan solusi untuk $x$.
(iii). Ketika $a=1$ dan $b\neq \frac{5}{12}$, persamaannya menjadi $0\cdot x=5-12b$, maka tidak ada solusi untuk $x$. - Diketahui persamaan $a(2x+3)+3bx=12x+5$ memiliki tak terhingga banyak solusi untuk $x$. Temukan nilai $a$ dan $b$.
Solusi: Ubahlah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk $(2a+3b-12)x=5-3a,$ kita peroleh $$2a+3b-12=0\text{ dan }5-3a=0$$ Oleh karena itu, $a=\frac{5}{3},\text{ }b=\frac{12-2a}{3}=\frac{26}{9}$. - Temukan nilai integral $k$ sehingga persamaan $1x−2 = kx + 15$ memiliki solusi bilangan bulat positif untuk $x$, dan temukan solusi tersebut.
Solusi: Dari persamaan yang diberikan, kita memiliki $$(11-k)x=17.$$ Karena memiliki setidaknya satu solusi positif untuk $x$, maka $k\neq 11$, dan $x =\frac{17}{11 − k}$. Karena pecahan tersebut merupakan bilangan bulat, $(11 − k) | 17$, yaitu $k = −6$ atau $10$, dan dengan demikian, $x = 1$ atau $x = 17.$ - Diketahui persamaan $2a(x + 6) = 4x + 1$ tidak memiliki solusi, di mana $a$ adalah parameter, carilah nilai $a$.
Solusi: Dari persamaan yang diberikan $2a(x+6)=4x+1$ kita punya $(2a-4)x=1-12a$. Karena tidak ada solusinya, ini menyiratkan $$2a-4=0\text{ dan }1-12a\neq 0,$$ Maka $a=2$. - Diketahui persamaan $ax + 4 = 3x − b$ memiliki lebih dari $1$ solusi untuk $x$. Tentukan nilai $(4a + 3b)^{2007}$.
Solusi: Kita tulis ulang persamaan yang diberikan dalam bentuk $(a − 3)x = −(4 + b)$. Maka persamaan tersebut memiliki lebih dari 1 solusi yang menyiratkan bahwa $$a-3=0,\text{ dan }4+b=0,$$ yaitu, $a=3,b=-4$. Maka, $(4a+3b)^{2007}=0^{2007}=0$.
“It is only when we take chances, when our lives improve. The initial and the most difficult risk that we need to take is to become honest. ”
