Persamaan Irasional

Pengantar Pemecahan Masalah

Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit

Kelas

Materi ini ditunjukan untuk siswa berbakat kelas 4, 5, 6, 7 dan 8

Presentasi

Unduh

Video Pengantar

fira

Video Lanjutan

Pre Test

Post Test

Referensi Tambahan

Unduh

Definisi

Suatu persamaan disebut persamaan irasional jika dalam persamaan tersebut beberapa ekspresi yang memuat variabel yang tidak diketahui berada dalam bentuk irasional.

Metode untuk Memecahkan Persamaan Irasional

Kunci untuk menyelesaikan persamaan irasional adalah menghilangkan bentuk surd dengan variabel yang tidak diketahui. Dalam hal ini, pemangkatan, penyederhanaan kuadrat, dan faktorisasi sering diterapkan.
Penggunaan substitusi variabel atau ekspresi merupakan salah satu alat yang ampuh untuk menghilangkan bentuk-bentuk tak tentu, dan melalui substitusi, derajat persamaan dapat dikurangi pada saat yang bersamaan.

Contoh Soal

Selesaikan persamaan $\sqrt{3x-3}+\sqrt{7x-12}-\sqrt{10x+9}=0$.
Solusi: Pindahkan suku ketiga pada ruas kiri ke ruas kanan, maka $$\sqrt{3x-3}+\sqrt{7x-12}=\sqrt{10x+9}.$$ Mengambil kotak di kedua sisi, dan menyederhanakannya, lalu $$\sqrt{(3x-3)(7x-12)}=12.$$ Mengambil kotak lagi di kedua sisi, maka dapat disimpulkan bahwa $$21x^2-57x — 108 = 0,$$ $$(3x -12)(7x +9) = 0,$$ $$∴x_1 =4, x_2 =-\frac{9}{7}.$$ Dengan memeriksa, hanya $x = 4$ yang memenuhi persamaan asli.
Selesaikan persamaan $\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-3}+\sqrt[3]{x-5}=0$.
Solusi: Dengan mempertimbangkan rumus: $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ jika $a + b + c = 0,$ persamaan yang diberikan memberikan $$(x-1)+(x-3)+(x-5)=3\sqrt[3]{(x-1)(x-3)(x-5)},$$ $$x-3=\sqrt[3]{(x-1)(x-3)(x-5)},$$ $$\sqrt[3]{x-3}[\sqrt[3]{(x-3)^2}-\sqrt[3]{(x-1)(x-5)}]=0.$$ $\sqrt[3]{x-3}=0\Rightarrow x_1=3$.
$\sqrt[3]{(x-3)^2}-\sqrt[3]{(x-1)(x-5)}=0\Rightarrow =9=5$, maka tidak ada solusi.
Jadi, $x=3$ adalah solusi unik.
Selesaikan persamaan $2\sqrt{x(x+6)}-\sqrt{x}-\sqrt{x+6}=14-2x$.
Solusi: Dengan mempertimbangkan $(\sqrt{x}+\sqrt{x+6})^2=2x+2\sqrt{x(x+6)}+6$, tuliskan persamaan yang deiberikan ke dalam bentuk $$(2x+2\sqrt{x(x+6)}+6)-(\sqrt{x}+\sqrt{x+6})-20=0.$$ Misalkan $y=\sqrt{x}+\sqrt{x+6}$, maka $y\ge 0$ dan $y^2-y-20=0$. $$(y-5)(y+4)=0,$$ $$∴y=5.$$ jadi, $$\sqrt{x}+\sqrt{x+6}=5\Rightarrow x+6=x+25-10\sqrt{x}\Rightarrow x=\left(\frac{19}{10}\right)^2.$$
Selesaikan persamaan $\sqrt{x+1}+\sqrt{y}+\sqrt{z-4}=\frac{x+y+z}{2}$.
Solusi: Dengan melengkapi kotak, $$\sqrt{x+1}+\sqrt{y}+\sqrt{z-4}=\sqrt{x+y+z}{2}$$ $$\Rightarrow (x+1-2\sqrt{x+1}+1)(y-2\sqrt{y}+1)+(z-4-2\sqrt{z-4}+1)=0$$ $$\Rightarrow (\sqrt{x+1}-1)^2+(\sqrt{y}-1)^2+\left(\sqrt{z-4}-1\right)^2=0,$$ oleh karena itu $$\sqrt{x+1}=1,\sqrt{y}=1,\sqrt{z-4}=1, \text{ yaitu }x=0,y=1,z=5.$$
Selesaikan persamaan $x^2-4x-4+x\sqrt{x^2-2x-2}=0$.
Solusi: Misalkan $y=\sqrt{x^2-2x-2}$, maka $2y^2+xy-x^2=0$, dan $$2y^2+xy-x^2=0\Rightarrow (2y-x)(y+x)=0,∴y=\frac{x}{2}\text{ atau }y=-x.$$
(i) $y=\frac{x}{2}\Rightarrow \sqrt{x^2-2x-2}=\frac{x}{2}\Rightarrow 3x^2-8x-8=0$ dan $x\ge 0$
$\Rightarrow x_1=\frac{4+2\sqrt{10}}{3}.(x=\frac{4-2\sqrt{10}}{3}$ tidak dapat diterima).
(ii) $\sqrt{x^2-2x-2}=-x \Rightarrow -2x-2=0\text{ dan }x\le 0\Rightarrow x_2=-1.$
Maka, solusinya adalah $x_1=\frac{4+2\sqrt{10}}{3},\text{ }x_2=-1$.
Selesaikan persamaan $\sqrt{2x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}=2$.
Solusi: Misalkan $u=\sqrt{2x+\sqrt{2x-1}},v=\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}$, maka $u,v\ge 0$ dan $$u+v=2\text{ dan }u-v=\frac{u^2-v^2}{u+v}=\sqrt{2x-1}.$$ oleh karena itu $2u=2+\sqrt{2x-1}$. Kembali ke $x$, $$2\sqrt{2x+\sqrt{2x-1}}=2+\sqrt{2x-1}$$ $$\Rightarrow 4(2x+\sqrt{2x-1})=4+2x-1+4\sqrt{2x-1}$$ $$\Rightarrow 6x=3\Rightarrow x=\frac{1}{2}.$$ Mudah dilihat bahwa $\frac{1}{2}$ memenuhi persamaan asli.
Selesaikan persamaan $\sqrt{4x^2+5x-2}-\sqrt{4x^2-3x-2}=2\sqrt{x}$.
Solusi: Jelas bahwa $x ≠ 0$, sehingga kedua sisi persamaan dapat dibagi dengan $\sqrt{x}$ sehingga persamaan yang diberikan diubah menjadi bentuk $$\sqrt{4x-\frac{2}{x}+5}-\sqrt{4x-\frac{2}{x}-3}=2.$$ Dengan mensubtitusikan $y=4x-\frac{2}{x}$, diperoleh bahwa $$\sqrt{y+5}-\sqrt{y-3}=2.$$ Maka $$\sqrt{y+5}-\sqrt{y+3}=2\Rightarrow \sqrt{y+5}=\sqrt{y-3}+2$$ $$\Rightarrow y+5=y+1+4\sqrt{y-3}\Rightarrow \sqrt{y-3}=1$$ $$\Rightarrow y=4.$$ Kembali ke $x$, maka $$y=4\Rightarrow 4x-\frac{2}{x}=4\Rightarrow 2x^2-2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}.$$ Dengan memeriksa, kedua nilai tersebut benar-benar merupakan akar dari persamaan asli.
Selesaikan persamaan $\sqrt[3]{(1+)^2}+15\sqrt[3]{(1-x)^2}=8\sqrt[3]{1-x^2}$.
Solusi: Jelas bahwa $x^2 ≠ 1$. Oleh karena itu, dengan memindahkan $1- x^2$ ke ruas kiri, persamaan yang diberikan dapat ditulis dalam bentuk $$\sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}+15\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}=8.$$ Subtitusikan $y=\sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}$ menghasilkan $y+\frac{15}{y}=8$ yaitu $y^2-8y+15=0$, dan solusi nya adalah $y=3$ atau $5$.
(i) $y=3\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}=3\Rightarrow 1+x=27(1-x)\Rightarrow x_1=\frac{13}{14}.$
(ii) $y=5\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}=5\Rightarrow 1+x=125(1-x)\Rightarrow x_2=\frac{62}{63}.$
Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan riil yang memenuhi $$\sqrt{x^2+2y+4}+\sqrt{x^2+x-y+5}=\sqrt{x^2+x+3y+2}+\sqrt{x^2+2x+3},$$ temukan nilai dari $x+y$.
Solusi: Karena $(x^2+x+3y+2)-(x^2+2y+4)=(x+y-2)=(x^2+2x+3)-(x^2+x-y+5)$, persamaan yang diberikan dapat ditulis ke dalam bentuk $$\sqrt{x^2+2y+4}+\sqrt{x^2+x-y+5}=\sqrt{x^2+2y+4+\delta}+\sqrt{x^2+x-y+5+\delta},$$ dimana $\delta=x+y-2$.
Untuk setiap solusi $(x, y)$, ruas kanan merupakan fungsi yang meningkat secara ketat dari $\delta$, sehingga lebih besar daripada ruas kiri jika $\delta > 0$ dan lebih kecil daripada ruas kiri jika $\delta < 0$. Jadi, $\delta = 0$ untuk setiap solusi $(x, y)$. Dengan demikian, $x + y = 2.$
Persamaan yang diberikan memiliki akar riil tak terhingga banyaknya, misalnya, setiap pasangan $(x, y)$ dari dua bilangan riil positif dengan $x + y = 2$ merupakan solusi.

Dalam kompetisi matematika, beberapa pertanyaan tentang persamaan irasional bertujuan untuk menganalisis parameter dalam persamaan dalam kondisi tertentu mengenai akar riilnya. Teorema Viete sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal semacam ini, seperti yang ditunjukkan pada contoh-contoh berikut.
Diketahui persamaan irasional dalam $x$ $$a\sqrt{x^2}+\frac{1}{2}\sqrt[4]{x^2}-\frac{1}{3}=0$$ memiliki tepat dua akar riil yang berbeda. Temukan rentang bilangan riil $a$.
Solusi: Subtitusi $w=\sqrt[4]{x^2}$ menghasilkan $$aw^2+\frac{1}{2}w-\frac{1}{3}=0.\text{ }\text{ }\text{ }(3.1)$$ Persamaan asli memiliki tepat dua solusi nyata yang berbeda jika dan hanya jika $(3.1)$ memiliki tepat satu solusi positif.
Ketika $a=0$, maka $w=\frac{2}{3}$ adalah solusi positif unik untuk $w$.
Ketika $a\neq 0$, dengan teorema Vieta, $(3.1)$ memiliki satu akar positif dan satu akar negatif jika dan hanya jika $a > 0.$
Ketika $a<0$, maka $(3.1)$ mungkin memiliki dua akar positif yang sama, dan dalam hal ini $$\Delta =\left(\frac{1}{2}\right)^2-4a\left(-\frac{1}{3}\right)=0,$$ maka $a=-\frac{3}{16}$.Jadi, rentang $a$ adalah $a ≥ 0$ atau $a=-\frac{3}{16}$.
Selesaikan persamaan $\sqrt{|1-x|}=kx$, dimana $k$ adalah parameter dengan $0<k<1$.
Solusi: $kx\ge 0$ memberikan $x\ge 0$, dan persamaan yang diberikan setara dengan $$|1-x|=k^2x^2.$$
(i) Pada interval $0 ≤x ≤ 1$, persamaan tersebut menjadi $k^2x^2 + x − 1 = 0$. Diskriminannya $\Delta = 1 + 4k^2 > 0$, sehingga memiliki dua akar $$x_1=\frac{-1+\sqrt{1+4k^2}}{2k^2},\text{ }\text{ }x_2=\frac{-1-\sqrt{1+4k^2}}{2k^2}.$$ Jadi $$1<\sqrt{1+4k^2}<\sqrt{1+4k^2+4k^4}=1+2k^2\Rightarrow 0<x_1<1,$$ tetapi $x_2<0$, maka hanya $x_1$ yang merupakan akar.
(ii) Pada interval $1<x$ jika $\frac{1}{2}<k$, persamaan tersebut menjadi $k^2x^2-x+1=0$ dan diskriminan nya $\Delta =1-4k^2<0$, maka tidak memiliki akar yang nyata.
(iii) Pada interval $1<x$ jika $k=\frac{1}{2}$, persamaan tersebut menjadi $x^2-4x+4=0$, yaitu $(x-2)^2=0$, maka $x_3=2$ adalah akar.
(iv) Pada interval $1<x$ jika $0<k<\frac{1}{2}$, diskriminan dari $k^2x^2-x+1=0$ adalah positif, maka $$x_4=\frac{1-\sqrt{1-4k^2}}{2k^2},\text{ }\text{ }\text{ }x_5=\frac{1+\sqrt{1-4k^2}}{2k^2}.$$ Karena $(1-2k^2)^2=1-4k^2+4k^4>1-4k^2$ menyiratkan bahwa $1-2k^2>\sqrt{1-4k^2}$, maka $$x_4-1=\frac{(1-2k^2)-\sqrt{1-4k^2}}{2k^2}>0,\text{ yaitu }x_4>1,$$ oleh karena itu $x_5>x_4>1$. Jadi, $x_4,x_5$ keduanya adalah akar.

Solusi dari setiap Permasalahan diberikan pada kelas online

“It takes courage to grow up and become who you really are.”