Persamaan Diophantine (II)
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Metode Dasar untuk Menyelesaikan Persamaan Kuadrat pada $\mathbb{Z}$
- Contoh Soal
Persamaan Diophantine yang akan dibahas dalam bab ini semuanya non-linier, tetapi kami fokus pada solusi integer dari persamaan kuadrat.
Metode Dasar untuk Menyelesaikan Persamaan Kuadrat pada $\mathbb{Z}$
- Metode Faktorisasi. Misalkan ruas kanan persamaan berupa konstanta, nol, atau pangkat bilangan prima (dalam kasus persamaan indikatif), dan faktorkan ruas kiri ke bentuk perkalian faktor-faktor linear, kemudian diskusikan kemungkinan nilai faktor-faktor linear berdasarkan faktorisasi ruas kanan.
- Metode Diskriminan. Ketika suatu persamaan kuadrat dengan koefisien bilangan bulat memiliki solusi bilangan bulat, diskriminannya haruslah kuadrat sempurna. Fitur ini akan memainkan peran penting.
Ketika persamaan kuadrat tersebut memuat dua variabel $x$ dan $y$, dengan rumus akar, $x$ dapat dinyatakan dalam $y$, dan diskriminannya adalah pernyataan dalam $y$. Karena diskriminannya adalah kuadrat sempurna dan $y$ adalah bilangan bulat, $y$ dapat ditemukan dengan mudah dalam banyak kasus.
Selain penggunaan diskriminan, penggunaan Teorema Viete dan transformasi atau substitusi juga merupakan alat yang berguna untuk menyederhanakan dan menyelesaikan persamaan kuadrat. - Analisis kongruensi, pembagian, dan paritas, dsb. sering digunakan dalam membahas keberadaan solusi integer dari persamaan kuadrat.
Contoh Soal
- Misalkan $n$ adalah bilangan bulat positif sehingga $n^2+19n+48$ merupakan kuadrat sempurna. Tentukan nilai $n$.
Solusi: Soal ini dapat diselesaikan dengan metode faktorisasi. Misalkan $n^2 + 19n + 48 = m^2$ untuk suatu $m ∈ \mathbb{N}$, maka $4n^2 + 76n + 192 = 4m^2,$ sehingga $$(2n + 19)^2 − (2m)^2 = 169.$$ $$(2n − 2m + 19)(2n + 2m + 19) = 132 = 1 · 169 = 13 · 13.$$ Selisih $2n − 2m + 19 = 1$ dan $2n + 2m + 19 = 169$ menghasilkan $4m = 168$, yaitu $m = 42$. Oleh karena itu, $n = m − 9 = 33$. Dengan memeriksa, $33$ memenuhi persamaan yang diberikan.
Selisih $2n − 2m + 19 = 13$ dan $2n + 2m + 19 = 13$ menghasilkan $m = 0$, tidak mungkin untuk $n > 0$. Jadi $n = 33$ adalah solusi unik yang dibutuhkan. - Temukan solusi bilangan bulat dari persamaan $6xy+4x−9y − 7 = 0.$
Solusi: Dengan faktorisasi, $6xy + 4x − 9y − 6 = (2x − 3)(3y + 2)$, sehingga persamaan yang diberikan menjadi $$(2x − 3)(3y + 2) = 1.$$ Jika $2x − 3 = 1, 3y + 2 = 1$, maka $y$ tidak memiliki solusi integer.
Jika $2x − 3 = −1, 3y + 2 = −1$, maka $x = 1, y = −1$. Dengan memeriksa, $(1, −1)$ memenuhi persamaan awal, sehingga merupakan solusi unik untuk $(x, y)$. - Temukan jumlah pasangan bilangan bulat positif $(x, y)$ yang memenuhi persamaan $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2004}.$$
Solusi: Penyelesaian: Dengan menghilangkan penyebut, maka $xy = 2004(x + y)$. Maka, $xy − 2004x − 2004y + 2004^2 = 2004^2$, sehingga $$(x − 2004)(y − 2004) = 2004^2.$$ Untuk setiap faktor positif $p$ sebesar $2004^2, 2004^2 = p · (2004^2/p)$ menghasilkan solusi $x =2004 + p, y = 2004 + (2004^2/p)$. Karena $$2004^2 = (2^2 × 3 × 167)^2 = 2^4 × 3^2 × 167^2,$$ Jumlah pembagi positif dari $2004^2$ adalah $(4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 45$, jadi ada $45$ solusi seperti itu.
Jika $p$ adalah faktor negatif dari $2004^2$, maka $2004^2/p$ juga demikian, dan salah satunya harus memiliki nilai absolut tidak kurang dari $2004$, sehingga salah satu dari $p + 2004$ dan $(2004^2/p) + 2004$ tidak positif, artinya, solusi tersebut tidak diperlukan. Dengan demikian, terdapat total $45$ solusi yang diperlukan. - Temukan nilai bilangan bulat positif terkecil $m$ sehingga persamaan $$x^2 + 2(m + 5)x + (100m + 9) = 0$$ hanya memiliki solusi integer.
Solusi: Karena persamaan tersebut memiliki solusi bilangan bulat, $$∆ = 4[(m + 5)^2 − (100m + 9)] = 4(m^2 − 90m + 16) ≥ 0$$ dan $m^2 − 90m + 16 = n^2$ untuk suatu bilangan bulat non-negatif $n$. Maka $(m − 45)^2 +16 − 2025 = n^2$, jadi $$(m − n − 45)(m + n − 45) = 2009$$ $$= 1 · 2009 = 41 · 49 = (−49)(−41) = (−2009)(−1).$$
Ketika $m − n − 45 = 1, m + n − 45 = 2009$, maka $m = 1050, n = 1004$.
Ketika $m − n − 45 = 41, m + n − 45 = 49$, maka $m = 90, n = 4.$
Ketika $m − n − 45 = −2009, m + n − 45 = −1$, maka $m = −960, n = 1004.$
Ketika $m − n − 45 = −49, m + n − 45 = −41$, maka $m = 0, n = 4.$
Karena $x = −(m+ 5)±n$, semua nilai $(m, n)$ di atas menghasilkan akar integral. Jadi, $m = 1050, 90, −960, 0$, dan nilai positif terkecil dari $m$ adalah $90$.
Teorema Viete juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine. Berikut ini contohnya. - $p, q$ adalah dua bilangan bulat, dan dua akar persamaan di $x$ $$x^2-\frac{p^2+11}{9}x+\frac{15}{4}(p+q)+16=0$$ adalah $p$ dan $q$ juga. Temukan nilai $p$ dan $q$.
Solusi: Teorema Viete menghasilkan $$\begin{array}{rcl}
p+q = \frac{p^2+11}{9}, & (26.1)\\
pq = \frac{15}{4}(p+q)+16. & (26.2)
\end{array}$$ Maka $p + q > 0$ dari $(26.1)$ dan $pq > 0$ dari $(26.2)$, sehingga $p, q$ keduanya merupakan bilangan bulat positif. Dari $(26.2)$ dapat disimpulkan bahwa $$16pq − 60(p + q) = 16^2$$ $$∴ (4p − 15)(4q − 15) = 256 + 225 = 481.$$ Karena $481 = 1 × 481 = 13 × 37 = (−1) × (−481) = (−13) × (−37)$, dan $4p − 15$ atau $4q − 15$ tidak mungkin $−37$ atau $−481$, maka pasangan $(4p − 15, 4q − 15)$ memiliki empat kemungkinan kasus berikut: $$(1, 481), (481, 1), (13, 37), (37, 37).$$ Sesuai dengan mereka, pasangan $(p, q)$ adalah $$(4, 124), (124, 4), (7, 13), (13, 7).$$ Dengan memeriksa, hanya pasangan $(13, 7)$ yang memenuhi sistem asli: persamaan menjadi $x^2 − 20x + 91 = 0,$ dan akar-akarnya adalah $\{13, 7\}$. Jadi, solusi untuk $(p, q)$ adalah $(13, 7)$.
Banyak teknik yang sering digunakan dalam teori bilangan, seperti kongruensi, pembagian, analisis paritas, dll., dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine. Berikut ini beberapa contohnya. - Buktikan bahwa persamaan $x^2 + y^2 = 3z^2$ tidak memiliki solusi bilangan bulat $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$.
Solusi: Pertama-tama, dapat ditunjukkan bahwa jika solusi bilangan bulat $(x, y, z)$ bukan $(0, 0, 0)$, maka pasti ada solusi bilangan bulat dengan $(x, y) = 1$.
Misalkan $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ adalah solusi bilangan bulat dengan $(x, y) = d > 1$, dengan asumsi $$x = dx_1, \text{ }y = dy_1, \text{ dengan } (x_1, y_1) = 1,$$maka persamaan aslinya menjadi $d^2(x_1^2+y_1^2)=3z^2$, jadi $d^2|3z^2$. Karena indeks $3$ pada $d^2$ dan $z^2$ keduanya genap, maka $(d^2, 3) = 1$ dan $d^2| z^2,$ yaitu $d | z$. Misalkan $z = dz_1$, maka $x_1^2+y_1^2=3z_1^2$. Dengan demikian, $(x_1, y_1, z_1) \neq (0, 0, 0)$ juga merupakan solusi bilangan bulat dari persamaan yang diberikan, dan $x, y, z_1$ berpasangan relatif prima.
Oleh karena itu, cukup ditunjukkan bahwa persamaan yang diberikan tidak memiliki solusi bilangan bulat bukan nol $(x, y, z)$ dengan $(x, y) = 1$.
Misalkan $(x, y, z)$ adalah solusi tersebut, maka $x, y$ tidak habis dibagi $3$, dan $x^2 + y^2 ≡ 2$ (mod $3$) jika $x, y$ keduanya tidak habis dibagi $3$, sebuah kontradiksi.
Dengan demikian, kesimpulannya terbukti. - Tentukan semua solusi integral dari $$a^2+b^2+c^2=a^2b^2.$$
Solusi: Misalkan $(a, b, c)$ merupakan solusi bilangan bulat. Kita tunjukkan bahwa $a, b$, dan $c$ semuanya pasti genap dengan mengambil modulo $4$ pada kedua sisi persamaan. Ada tiga kemungkinan kasus yang perlu dipertimbangkan:
Kasus 1: Jika $a, b, c$ semuanya ganjil, maka $a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3$ (mod $4$), sedangkan $a^2b^2 ≡1$ (mod $4$), jadi tidak mungkin.
Kasus 2: Jika dua dari $a, b, c$ ganjil dan yang lainnya genap, maka $a^2 + b^2 + c^2 ≡ 2$ (mod $4$), sedangkan $a^2b^2 ≡ 0$ atau $1$ (mod $4$), jadi tidak mungkin juga.
Kasus 3: Jika dua dari $a, b, c$ genap dan yang lainnya ganjil, maka $a^2 + b^2 + c^2 ≡ 1$ (mod $4$), sedangkan $a^2b^2 ≡ 0$ (mod $4$), jadi hal tersebut juga tidak mungkin.
Jadi, $a, b, c$ semuanya genap. Misalkan $a = 2a_1, b = 2b_1, c = 2c_1$, hal ini mengarah pada relasi $$a_1^2+b_1^2+c_1^2=4a_1^2b_1^2.$$ Karena $4a_1^2b_1^2 ≡ 0$ (mod $4$) dan masing-masing dari $a_1^2,b_1^2,c_1^2$ memiliki sisa $0$ atau $1$ modulo $4$, maka $a_1, b_1, c_1$ semuanya harus genap. Maka $a_1 = 2a_2, b_1 = 2b_2, c_1 = 2c_2$. Hal ini mengarah pada relasi $$a_2^2+b_2^2+c_2^2=16a_2^2b_2^2.$$ Sekali lagi kita dapat menyimpulkan bahwa $a_2, b_2, c_2$ semuanya genap, sehingga mengarah pada hubungan $$a_3^2+b_3^2+c_3^2=64a_3^2b_3^2.$$ Proses ini dapat dilanjutkan ke waktu kapan saja, karena kita memiliki hubungan $$a_n^2+b_n^2+c_n^2=4^na_n^2b_n^2$$ untuk setiap bilangan asli $n$. Oleh karena itu, $a_n =\frac{a}{2^n}, b_n =\frac{b}{2^n}, c_n =\frac{c}{2^n}$ adalah bilangan bulat untuk setiap bilangan asli $n$, yaitu $a = b = c = 0.$ Dengan demikian, persamaan tersebut hanya memiliki solusi nol.
Catatan: Contoh ini merupakan salah satu metode penurunan tak terhingga Fermat.
Terkadang berguna untuk menggunakan substitusi guna menyederhanakan persamaan terlebih dahulu, berikut adalah contohnya. - Diketahui bilangan bulat $a, b$ memenuhi persamaan $$\left[ \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \right]\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)\cdot \frac{1}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}=\frac{2}{3},$$ tentukan nilai $a+b$.
Solusi: Misalkan $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b}$, maka sisi kiri persamaan yang diberikan menjadi $$\left[ \frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y} \right](x-y)\cdot \frac{1}{x^2+y^2}$$ $$\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)}\cdot (x-y)\cdot \frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{x+y}.$$ Kemudian persamaan yang diberikan disederhanakan menjadi $\frac{1}{x+y}=\frac{2}{3}$, yaitu $$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2}{3},\text{ atau }\frac{ab}{a+b}=\frac{2}{3}.$$ Dari sini kita memperoleh $3ab − 2a − 2b = 0$ yang menghasilkan $9ab − 6a − 6b + 4 = 4$, yakni. $$(3a − 2)(3b − 2) = 4.$$ Oleh karena itu $a \neq b$. Berdasarkan simetri, kita dapat mengasumsikan $a > b$, jadi
(i) Ketika $3a − 2 = 4, 3b − 2 = 1$ maka $a = 2, b = 1, a + b = 3;$
(ii) Ketika $3a − 2 = −1, 3b − 2 = −4$ maka $a$ tidak mempunyai solusi integer.
Jadi, $a+b=3$. - Jumlah solusi bilangan bulat positif $(x, y, z)$ untuk sistem persamaan simultan $$\left\{ \begin{array}{cl}
xy+yz & =63, \\
xz+yz & =23
\end{array} \right.$$ adalah
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.
Solusi: $23$ adalah bilangan prima, sehingga persamaan kedua memiliki ketidakpastian yang lebih rendah, kita menanganinya terlebih dahulu. $x + y ≥ 2$ dan $23$ adalah bilangan prima, sehingga $z = 1, x + y = 23$. Dengan mensubstitusikan $y = 23 − x$ ke dalam persamaan pertama, maka $$(23 − x)(x + 1) = 63,$$ $$x^2 − 22x + 40 = 0,$$ $$(x − 2)(x − 20) = 0,$$ Jadi $x_1 = 2, x_2 = 20$. Maka $y_1 = 21, y_2 = 3$. Jadi solusinya adalah $(2, 21, 1)$ dan $(20, 3, 1)$, jawabannya adalah (B).
“The beautiful thing about learning is that nobody can take it away from you.”
