Operasi Pada Bilangan Rasional

Pengantar Pemecahan Masalah

Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit

Kelas

Materi ini ditunjukan untuk siswa berbakat kelas 4, 5, 6, 7 dan 8

Presentasi

Unduh

Video Pengantar

fira

Video Lanjutan

Pre Test

Post Test

Referensi Tambahan

Unduh

Aturan Dasar Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian dan Pembagian

Hukum Komutatif:
$a + b = b + a \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } ab = ba$

Hukum Asosiatif:
$a + b + c = a + (b + c)\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (ab)c = a(bc)$

Hukum Distributif:
$ac + bc = (a + b)c = c(a + b)$

Aturan untuk Menghapus Tanda Kurung

Untuk setiap bilangan rasional $x, y,$

(i) $x + (y) = x + y, x + (−y) = x − y;$
(ii) $x − (y) = x − y, x − (−y) = x + y.$
(iii) $x × (−y) = −xy; (−x) × y = −xy; (−x) × (−y) = xy; (−1)n = −1$ untuk bilangan ganjil $n$, $(−1)n = 1$ untuk bilangan genap $n$.
(iv) Jika penyebut dari ekspresi berikut semuanya bukan nol, maka $$\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y};\text{ }\text{ }\frac{-x}{y}=-\frac{x}{y};\text{ }\text{ }\frac{-x}{-y}=\frac{x}{y}$$

Cara Cerdas untuk Menghitung

Buatlah penjumlahan teleskopik dengan menggunakan ekspresi berikut:
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},$$ $$\frac{1}{k(k+m)}=\frac{1}{m}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+m}\right),$$ $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right].$$
Dengan menggunakan rumus berikut:
$$(a\pm b)^2=a^2+2ab+b^2;$$ $$a^2-b^2=(a-b)(a+b);$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\text{ dll}.$$

Contoh Soal

Evaluasi $(-5)^2\times\left(-\frac{1}{5} \right)^2-2^3\div\left(-\frac{1}{2} \right)^2-(-1)^{1999}.$
Solusi: $$(-5)^2\times\left(-\frac{1}{5} \right)^2-2^3\div\left(-\frac{1}{2} \right)^2-(-1)^{1999}$$ $$=5^2\times\left(-\frac{1}{125} \right)-8\div\frac{1}{4}-(-1)$$ $$-\frac{1}{5}-8\times4+1=-\frac{1}{5}-31=-31\frac{1}{5}.$$
Ada lima ekspresi operasional di bawah ini:
(i) $(2\times 3\times 5\times 7)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7} \right);$
(ii) $(-0.125)^7\cdot 8^8;$
(iii) $(-11)+(-33)-(-55)-(-66)-(-77)-(-88);$
(iv) $\left(-\frac{75}{13} \right)^2+\left(\frac{37}{13} \right)^2;$
(v) $\left[\left(-\frac{6}{7} \right)^7+\left(-\frac{4}{5} \right)\times\left(-\frac{4}{9} \right)\times \frac{16}{81} \right]\times \left(9\frac{246}{247}-0.666 \right).$
Maka ekspresi dengan nilai maksimal adalah
(A). (i), (B). (iii), (C). (iv), (D). (v).
Solusi:
(i) $(2\times 3\times 5\times 7)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7} \right)=105+70+42+30=247;$
(ii) $(-0.125)^7\cdot = -(0.125\times 8)^7\times 8 = -8;$
(iii) $(-11)+(-33)-(-55)-(-66)-(-77)-(-88)=-11-33+55+66+77+88=11\times 22=242;$
(iv) $\left(-\frac{75}{13} \right)^2+\left(\frac{37}{13} \right)^2<6^2+3^2=45;$
(v) $\left[\left(-\frac{6}{7} \right)^7+\left(-\frac{4}{5} \right)\times\left(-\frac{4}{9} \right)\times \frac{16}{81} \right]\times \left(9\frac{246}{247}-0.666 \right)< 1\times 10=10;$
Maka, jawabannya adalah (A).
$123456789\times 999999999=…$
Solusi:
$123456789\times 999999999=123456789\times (1000000000-1)=123456789000000000-123456789=12345678876543211.$
Nilai dari $\frac{13579}{(-13579)^2+(-13578)(13580)}$ adalah …
(A). $1$, (B). $13579$, (C). $-1$, (D). $-13578$.
Solusi: Dengan menggunakan $(a − b)(a + b) = a^2 −b^2$, kita memperoleh
$$\frac{13579}{(-13579)^2+(-13578)(13580)}$$
$$=\frac{13579}{(13579)^2-(13579^2-1)}=13579.$$
Jawabannya adalah (B).
$\frac{83^2+17^3}{83\times 66 +17^2}=…$
Solusi: Dengan menggunakan formula $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$
$$\frac{83^2+17^3}{83\times 66+17^2}=\frac{(83+17)(83^2-83\times 17+17^2)}{83\times 66+17^2}$$
$$=\frac{100\times (83\times 66 +17^2)}{83\times 66 + 17^2}=100.$$
Evaluasi $$\frac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)…(100\times 103+2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12+2)…(99\times 102 +2)}$$
Solusi: Dari $n(n+3)+2=n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$ untuk setiap bilangan bulat $n$, kita memiliki $$\frac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)…(100\times 103+2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12+2)…(99\times 102 +2)}$$ $$=\frac{(5\times 6)(7 \times 8)(9\times 10)…(101\times 102)}{(6\times 7)(8\times 9)(10\times 11)…(100\times 101)}$$ $$5\times 102=510.$$
$\frac{20092008^2}{20092007^2+20092009^2-2}=…$
Solusi:
$$\frac{20092008^2}{20092007^2+20092009^2-2}$$ $$\frac{20092008^2}{(20092007^2-1)+(20092009^2-1)}$$ $$\frac{20092008^2}{(20092006)(20092006+20092010)}=\frac{20092008^2}{2(20092008^2)}=\frac{1}{2}.$$
$3-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}=…$
Solusi: $$3-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}\right)$$ $$=3-\left(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+…+\frac{1}{7\times 8}\right)$$ $$=3-\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+…+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)\right]$$ $$=3-\left(1-\frac{1}{8}\right)=2\frac{1}{8}.$$
Evaluasi $\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}.$
Solusi: Karena $\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$ untuk setiap bilangan bulat positif $k$, maka $$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}$$ $$=\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\frac{1}{11\times 13}$$ $$=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+…+\left(\frac{1}{11}-{1}{13}\right)\right]$$ $$=\frac{1}{2}\times \left[1-\frac{1}{13}\right]=\frac{6}{13}.$$
Jika $ab<0$, maka hubungan dalam ukuran $(a-b)^2$ dan $(a+b)^2$ adalah …
(A). $(a-b)^2<(a+b)^2;$ (B). $(a-b)^2=(a+b)^2;$ (C). $(a-b)^2>(a+b)^2;$ (D). Tidak ditentukan.
Solusi: Dari $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2-4ab=(a+b)^2-4ab>(a+b)^2$, maka jawabannya adalah (C).
Jika $-1<a<0$, maka hubungan dalam ukuran $a^3,-a^3,a^4,-a^4,\frac{1}{a},-\frac{1}{a}$ adalah …
(A). $\frac{1}{a}<-a^4<a^3<-a^3<a^4<-\frac{1}{a};$
(B). $a<\frac{1}{a}<-a^4<a^4<-\frac{1}{a}<-a^3;$
(C). $\frac{1}{a}<a^3<-a^4<a^4<-a^3<-\frac{1}{a};$
(D). $\frac{1}{a}<a^3<a^4<-a^4<-a^3<-\frac{1}{a}.$
Solusi: Dari $-1<a<0$ kita memiliki $0<a^4<-a^3<1<-\frac{1}{a},$ maka $-a^4>a^3$ dan $-\frac{1}{a}>-a^3$ dan $a^4>-a^4$, jawabannya adalah (C).

Solusi dari setiap Permasalahan diberikan pada kelas online

“If I have seen further than others, it is by standing upon the shoulders of giants. ”