Monomial dan Polinomial
- Definisi
- Operasi pada Polinomial
- Contoh Soal
Definisi
Monomial: Suatu hasil perkalian bilangan dan huruf disebut monomial. Khususnya, suatu bilangan atau huruf saja juga merupakan monomial, misalnya, $16, 32x$, dan $2ax^2y$, dst.
Koefisien: Pada setiap monomial, bagian yang terdiri dari angka-angka numerik dan huruf yang menunjukkan konstanta dikatakan sebagai koefisien monomial tersebut, seperti $32$ pada $32x, 2a$ pada $2ax^2y$, dst.
Derajat Monomial: Dalam monomial, jumlah semua indeks huruf yang menunjukkan variabel disebut derajat monomial. Misalnya, derajat dari $3abx^2$ adalah $2$, dan derajat $7a^4xy^2$ adalah $3$.
Polinomial: Jumlah beberapa monomial disebut polinomial, setiap monomialnya disebut suku, suku yang tidak mengandung huruf disebut suku konstan polinomial. Nilai maksimum derajat suku dalam polinomial disebut derajat polinomial, misalnya, derajatnya adalah $2$ untuk $3x^2 + 4x + 1$, dan $5$ untuk $2x^2y^3 + 2y$. Suatu polinomial disebut homogen ketika semua sukunya memiliki derajat yang sama, seperti $3x^2 + xy + 4y^2$.
Susunan Suku: Saat menyusun suku-suku dalam polinomial, suku-suku tersebut dapat disusun sedemikian rupa sehingga derajatnya berada dalam urutan menaik atau menurun, dan tanda sebelum suku harus tetap melekat ketika dipindahkan. Misalnya, polinomial $x^3y^3−1−2xy^2−x^3y$ harus disusun sebagai $x^3y^3−x^3y−2xy^2−1$ atau $−1 − 2xy^2 − x^3y + x^3y^3$.
Suku Serupa: Dua suku disebut suku serupa jika keduanya memiliki konstruksi yang sama kecuali koefisiennya, seperti pada $4ax^2y$ dan $5bx^2y$.
Menggabungkan Suku-suku Serupa: Saat melakukan penjumlahan atau pengurangan dua suku serupa, artinya melakukan operasi yang sesuai pada koefisiennya. Misalnya $4ax^2y + 5bx^2y = (4a + 5b)x^2y$ dan $4ax^2y − 5bx^2y = (4a − 5b)x^2y$.
Operasi pada Polinomial
Penjumlahan: Penjumlahan dua polinomial berarti:
(i) menjadikan semua suku dalam kedua polinomial tersebut sebagai suku hasil penjumlahan;
(ii) menggabungkan semua suku yang sejenis, jika ada;
(iii) menyusun semua suku yang digabungkan berdasarkan urutan derajat menaik atau menurun.
Pengurangan: Misalkan $P$ dan $Q$ adalah dua polinomial. Maka $P − Q$ berarti
(i) ubah tanda semua suku di $Q$ untuk mendapatkan $−Q$ pada awalnya;
(ii) ambil semua suku di kedua polinomial $P$ dan $−Q$ sebagai suku dari $P − Q$;
(iii) gabungkan semua suku yang sejenis jika ada;
(iv) susun semua suku yang digabungkan sesuai dengan aturan yang disebutkan di atas.
Aturan untuk Menghapus atau Menambahkan Tanda Kurung:
Aturan untuk menghapus atau menambahkan tanda kurung adalah hukum distributif. Misalnya, untuk
menghapus tanda kurung pada ekspresi $−2x(x^3y −4x^2y^2 + 4)$, maka $$-2x(x^3y-4x^2y^2+4)=-2x^4y+8x^3y^2-8x,$$ dan menambahkan sepasang tanda kurung untuk memuat suku-suku dari ekspresi $−4x^5y^2 +6x^4y −8x^2y^2$ dan memilih faktor persekutuannya dengan koefisien negatif, maka $$-4x^5y^2+6x^4y-8x^2y^2=-2x^2y(2x^3y-3x^2+4y).$$
Perkalian:
(i) Untuk bilangan asli $m$ dan $n$, $$a^m \cdot a^n = a^{m+n};\text{ } (a^m)^n = a^{mn};\text{ } (ab)^n = a^nb^n;$$
(ii) Ketika dua monomial dikalikan, koefisien perkaliannya adalah perkalian koefisien-koefisien tersebut, huruf-hurufnya dikalikan sesuai dengan aturan pada (i);
(iii) Ketika dua polinomial dikalikan, dengan menggunakan hukum distributif, dapatkan jumlah perkalian monomial dan polinomial terlebih dahulu, lalu gunakan hukum distributif lagi, dapatkan jumlah perkalian dua monomial;
(iv) Tiga rumus dasar dalam perkalian:
(i) $(a − b)(a + b) = a^2 − b^2;$
(ii) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2;$
(iii) $(a − b)^2 = a^2 − 2ab +b^2.$
Contoh Soal
- Sederhanakan $3a+\{-4b-[4a-7b-(-4a-b)]+5a\}$
Solusi:
$3a+\{-4b-[4a-7b-(-4a-b)]+5a\}$
$=3a+\{-4b-[8a-6b]+5a\}=3a+\{-3a+2b\}=2b$
$3a+\{-4b-[4a-7b-(-4a-b)]+5a\}$
$=8a-4b-[4a-7b-(-4a-b)]=4a+3b+(-4a-b)=2b$
Catatan: Kita dapat menghilangkan tanda kurung dari lapisan terdalam ke lapisan terluar, atau
sebaliknya. - Sederhanakan ekspresinya $4\{(3x-2)-[3(3x-2)+3]\}-(4-6x)$.
Solusi: Dengan mengambil $3x − 2$ sebagai bilangan bulat sebagai satu bilangan y dalam proses
penyederhanaan pertama, kita memiliki $$4\{(3x-2)-[3(3x-2)+3]\}-(4-6x)=4\{y-[3y+3]\}+2y$$ $$4\{-2y-3\}+2y=-6y-12=-6(3x-2)-12=-18x$$ - Evaluasi $-9x^{n-2}-8x^{n-1}-(-9x^{n-2})-8(x^{n-2}-2x^{n-1})$, dimana $x=9,n=3.$
Solusi: $-9x^{n-2}-8x^{n-1}-(-9x^{n-2})-8(x^{n-2}-2x^{n-1})=8x^{n-1}-8x^{n-2}$. Dengan mensubtitusikan $x=9,n=3,$ maka diperoleh ekspresi $$8x^{n-1}-8x^{n-2}=8\times (81-9)=576.$$ - Diberikan $x^3+4x^2y+axy^2+3xy-bx^cy+7xy^2+dxy+y^2=x^3+y^2$ untuk setiap bilangan riil $x$ dan $y$, Tentukan nilai dari $a,b,c,d$.
Solusi: $4x^2y$ dan $-bx^cy$ haruslah suku-suku yang sama dan jumlahnya adalah $0$, jadi $$b=4,c=2$$ $axy^2+7xy^2=0$ dan $2xy+dxy=0$ untuk setiap $x$ dan $y$ menghasilkan $a+7=0$ dan $3+d=0$, maka $$a=-7,d=-3.$$ Jadi, $a=-7,b=4,c=2,d=-3$. - Diketahui $m,x,y$ memenuhi (i) $\frac{2}{3}(x-5)^2+5m^2=0$; (ii) $-2a^2b^{y+1}$ dan $3a^2b^3$ merupakan suku-suku sejenis, tentukan nilai persamaan berikut. $$\frac{3}{8}x^2y+5m^2-\left\{-\frac{7}{16}x^2y+\left[-\frac{1}{4}xy^2-\frac{3}{16}x^2y-3.475xy^2\right]-6.275xy^2\right\}.$$
Solusi: Kondisi (i) menyiratkan $(x-5)^2=0,5m^2$, jadi $x=5,m=0.$ Kondisi (ii) menyiratkan $y+1=3$, yaitu $y=2$. Oleh karena itu, $$\frac{3}{8}x^2y+5m^2-\left\{-\frac{7}{16}x^2y+\left[-\frac{1}{4}xy^2-\frac{3}{16}x^2y-3.475xy^2\right]-6.275xy^2\right\}$$ $$=\frac{3}{8}x^2y-\left\{-\frac{7}{16}x^2y-\frac{1}{4}xy^2-\frac{3}{16}x^2y-3.475xy^2-6.275xy^2\right\}$$ $$=\frac{3}{8}x^2y+\frac{7}{16}x^2y+\frac{1}{4}xy^2+\frac{3}{16}x^2y+3.475xy^2+6.275xy^2$$ $$\left(\frac{3}{8}+\frac{7}{16}+\frac{3}{16}\right)x^2y+\left(\frac{1}{4}+3\frac{19}{40}+6\frac{11}{40}\right)xy^2$$ $$x^2y+10xy^2=(5^2)(2)+10(5)(2^2)=250$$ - Diketahui $P(x)=nx^{n+4}+3x^{4-n}-2x^3+4x-5,Q(x)=3x^{n+4}-x^4+x^3+2nx^2+x-2$ keduanya polinomial. Tentukan apakah ada bilangan bulat $n$ sehingga selisih $P − Q$ merupakan polinomial berderajat $5$ dan enam suku.
Solusi: $P(x)-Q(x)=(n-3)x^{n+4}+3x^{4-n}+x^4-3x^3-2nx^2+3x-3.$ Ketika $n+4=5$, maka $n=1$, sehingga $3x^{4-n}-3x^3=0$, selisihnya hanya memiliki 5 suku.
Ketika $4-n=5$, maka $n=-1$, sehingga $P(x)-Q(x)=3x^5+x^4-7x^3+2x^2+3x-3$ yang memenuhi persyaratan. Jadi, $n=-1$. - Perluas $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.
Solusi: $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=[(x-1)(x-4)]\cdot [(x-2)(x-3)]$
$=(x^2-4x-x+4)(x^2-3x-2x+6)$
$=[(x^2-5x+5)-1][(x^2-5x+5)+1]$
$(x^2-5x+5)^2-1=x^4+25x^2+25-10x^3+10x^2-50x-1$
$x^4-10x^3+35x^2-50x+24.$ - Perluas $(5xy-3x^2+\frac{1}{2}y^2)(5xy+3x^2-\frac{1}{2}y^2)$
Solusi: Dengan mempertimbangkan rumus $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, kita peroleh $$(5xy-3x^2+\frac{1}{2}y^2)(5xy+3x^2-\frac{1}{2}y^2)$$ $$\left[5xy-\left(3x^2-\frac{1}{2}y^2\right)\right]\cdot \left[5xy+\left(3x^2-\frac{1}{2}y^2\right)\right]$$ $$=(5xy)^2-\left(3x^2-\frac{1}{2}y^2\right)^2=25x^2y^2-\left[(3x^2)^2-2(3x^2)(\frac{1}{2}y^2)+(\frac{1}{2}y^2)^2\right]$$ $$25x^2y^2-\left[9x^4-3x^2y^2+\frac{1}{4}y^4\right]=-9x^4+28x^2y^2-\frac{1}{4}y^2.$$ - Diketahui $x^2-x-1=0$, sederhankan $\frac{x^3+x+1}{x^5}$ ke bentuk polinomial.
Solusi: $x^2-x-1=0$ menghasilkan $x+1=x^2$, maka $$\frac{x^3+x+1}{x^5}=\frac{x^3+x^2}{x^5}=\frac{x+1}{x^3}=\frac{1}{x}=\frac{x^2-x}{x}=x-1.$$
“The essence of mathematics is not to make simple things complicated, but to make complicated things simple. ”
