$\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$
- Definisi
- Beberapa Sifat Dasar $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$
- Contoh Soal
Definisi
Definisi 1. Untuk setiap bilangan riil $x$, bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$, dilambangkan dengan $\left\lfloor x \right\rfloor$, disebut bagian bilangan bulat dari $x$. Ketika $x$ dianggap sebagai variabel riil, fungsi $f(x) = \left\lfloor x \right\rfloor, x ∈ \mathbb{R}$ disebut Fungsi Gaussian.
Definisi 2. Untuk setiap bilangan riil $x$, nilai $x−\left\lfloor x \right\rfloor$, dilambangkan dengan $\{x\}$, disebut bagian desimal dari $x$.
Beberapa Sifat Dasar $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$
- $0 ≤ \{x\} < 1$, dan $\{x\} = 0$ jika dan hanya jika $x$ adalah bilangan bulat.
- $x − 1 < \left\lfloor x \right\rfloor ≤ x < \left\lfloor x \right\rfloor + 1.$
- Untuk setiap $n ∈ \mathbb{Z}, \left\lfloor n+x \right\rfloor = n + \left\lfloor x \right\rfloor.$
- $\left\lfloor x \right\rfloor = \left\{ \begin{array}{cl}
-\left\lfloor x \right\rfloor-1 & \text{jika }x\text{ bukan bilangan bulat} \\
-\left\lfloor x \right\rfloor & \text{jika }x\text{ bilangan bulat.}
\end{array} \right.$ - $\left\lfloor x+y \right\rfloor\ge \left\lfloor x \right\rfloor+\left\lfloor y \right\rfloor$ untuk setiap $x, y ∈ \mathbb{R}$. Secara umum, untuk $x_1,…,x_n\in \mathbb{R}$, $$\left\lfloor x_1+x_2+…+x_n \right\rfloor\ge \left\lfloor x_1 \right\rfloor + \left\lfloor x_2 \right\rfloor+…+\left\lfloor x_n \right\rfloor.$$
- $\left\lfloor xy \right\rfloor\ge \left\lfloor x \right\rfloor\cdot \left\lfloor y \right\rfloor$, dimana $x,y\ge 0$. Secara umum, untuk $x_1,x_2,…,x_n\ge 0$, $$\left\lfloor x_1x_2\cdots x_n \right\rfloor\ge \left\lfloor x_1 \right\rfloor\cdot \left\lfloor x_2 \right\rfloor\cdots \left\lfloor x_n \right\rfloor$$
- $\left\lfloor \frac{x}{n} \right\rfloor=\left\lfloor \frac{\left\lfloor x \right\rfloor}{n} \right\rfloor$ untuk $n\in \mathbb{N}$, $x\in \mathbb{R}$.
Teorema I. (Identitas Hermite) Untuk setiap $x ∈ \mathbb{R}$ dan $n ∈ \mathbb{N}$, $$\left\lfloor x \right\rfloor+\left\lfloor x+\frac{1}{n} \right\rfloor+\left\lfloor x+\frac{2}{n} \right\rfloor+…+\left\lfloor x+\frac{n-1}{n} \right\rfloor=\left\lfloor nx \right\rfloor.$$
Bukti. Jelaskan fungsi bantu $$f(x)=\left\lfloor x \right\rfloor+\left\lfloor x+\frac{1}{n} \right\rfloor+\left\lfloor x+\frac{2}{n} \right\rfloor+…+\left\lfloor x+\frac{n-1}{n} \right\rfloor-\left\lfloor nx \right\rfloor.$$ Maka cukuplah untuk menunjukkan $f(x) = 0$ secara identik. Karena $$f\left( x+\frac{1}{n} \right)=\left\lfloor x+\frac{1}{n} \right\rfloor+\left\lfloor x+\frac{2}{n} \right\rfloor+…+\left\lfloor x+1\right\rfloor-\left\lfloor nx+1 \right\rfloor$$ $$=\left\lfloor x \right\rfloor+\left\lfloor x+\frac{1}{n} \right\rfloor+\left\lfloor x+\frac{2}{n} \right\rfloor+…+\left\lfloor x+\frac{n-1}{n}\right\rfloor-\left\lfloor nx \right\rfloor$$ $$=f(x).$$ Jadi $f(x)$ adalah fungsi periodik dengan periode $\frac{1}{n}$, sehingga cukup dengan menunjukkan $f(x) =0$ untuk $0 ≤ x <\frac{1}{n}$, dan ini jelas dari definisi $f$.
Teorema II. (Teorema Legendre) Dalam faktorisasi prima dari hasil kali $n! =1 × 2 × 3 × · · · × n$, indeks faktor prima $p$ diberikan oleh $$\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor+\cdots.$$
Bukti. Pada $n!$, indeks faktor prima $p$ adalah jumlah indeks faktor prima $p$ pada bilangan $1, 2, . . . , n$. Karena pada $n$ bilangan $1$ sampai $n$ terdapat $\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor$ bilangan yang mengandung setidaknya satu faktor $p$, $\left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor$ bilangan yang mengandung setidaknya satu faktor $p^2, . . .$, maka jumlah di atas dapat menghitung jumlah total faktor $p$ pada $n!$, simpulannya terbukti.
Selain permasalahan tentang $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$ itu sendiri, konsep $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$ membentuk hubungan antara $x$ dan keduanya, sehingga permasalahan dasar yang melibatkan $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$ juga mengandung permasalahan dari $x$ mendapatkan $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$, atau sebaliknya, dari $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$ mendapatkan $x$, yaitu menyelesaikan persamaan dengan $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$ untuk $x$.
Jenis soal terkait lainnya adalah memberikan beberapa diskusi teoretis yang melibatkan $\left\lfloor x \right\rfloor$ dan $\{x\}$, sebagaimana ditunjukkan pada Teorema I dan Teorema II. Namun, di sini kita akan memberikan beberapa contoh yang hanya berkaitan dengan dua jenis soal pertama.
Contoh Soal
- Selesaikan persamaan $2\left\lfloor x \right\rfloor=x+2\{x\}$.
Solusi: Untuk mengurangi jumlah variabel, $x =\left\lfloor x \right\rfloor+\{x\}$ menghasilkan persamaan $$2\left\lfloor x \right\rfloor=\left\lfloor x \right\rfloor+\{3\},$$ $$∴\left\lfloor x \right\rfloor=3\{x\}<3.$$ Jika $\left\lfloor x \right\rfloor = 0, 1, 2$ berturut-turut, maka $\{x\} = 0,\frac{1}{3},\frac{2}{3}$ sehingga solusinya adalah $x =0,\frac{4}{3},\frac{8}{3}$. - Temukan semua solusi nyata untuk persamaan $4x^2 − 40\left\lfloor x \right\rfloor +51 = 0.$
Solusi: Untuk mengurangi jumlah variabel dalam persamaan yang diberikan, $x ≥ \left\lfloor x \right\rfloor$ memberikan pertidaksamaan dalam $x$: $$0 = 4x^2 − 40\left\lfloor x \right\rfloor + 51 ≥ 4x^2 − 40x + 51 = (2x − 3)(2x − 17),$$ maka $\frac{3}{2}\le x\le \frac{17}{2}$. Ini menyiratkan bahwa $\left\lfloor x \right\rfloor$ mungkin $1, 2, . . . , 8$.
Ketika $\left\lfloor x \right\rfloor=1$, persamaannya menjadi $4x^2+11=0$, tidak ada solusi nyata untuk $x$.
Ketika $\left\lfloor x \right\rfloor=2$, persamaannya menjadi $4x^2-29=0,x=\frac{\sqrt{29}}{2}$, yang memiliki bagian bilangan bulat $2$, maka itu adalah solusi.
Ketika $\left\lfloor x \right\rfloor=3$, persamaannya menjadi $4x^2-69=0,x=\frac{\sqrt{69}}{2}$ yang tidak memiliki bagian bilangan bulat $3$, kontradiksi, sehingga tidak ada solusi untuk $x$.
Ketika $\left\lfloor x \right\rfloor=4$, persamaannya menjadi $4x^2-109=0,x=\frac{\sqrt{109}}{2}>5$, suatu kontradiksi, maka tidak ada solusi.
Ketika $\left\lfloor x \right\rfloor=5$, persamaannya menjadi $4x^2-149=0,x\frac{\sqrt{149}}{2}>6$, maka tidak ada solusi.
Ketika $\left\lfloor x \right\rfloor=6$, persamaannya menjadi $4x^2-189=0,x=\frac{\sqrt{189}}{2}$, yang memiliki bagian bilangan bulat $6$, maka itu adalah solusi.
Ketika $\left\lfloor x \right\rfloor=7$, persamaannya menjadi $4x^2-229=0,x=\frac{\sqrt{229}}{2}$, yang memiliki bagian bilangan bulat $7$, maka itu adalah solusi.
Ketika $\left\lfloor x \right\rfloor=8$, persamaannya menjadi $4x^2-269=0,x=\frac{\sqrt{269}}{2}$, yang memiliki bagian bilangan bulat $8$, maka itu adalah solusi.
Jadi, solusinya adalah $\frac{\sqrt{29}}{2},\frac{\sqrt{189}}{2},\frac{\sqrt{229}}{2},\frac{\sqrt{269}}{2}$. - Temukan bilangan bulat positif maksimum $k$, sehingga $$\frac{1001\cdot 1002\cdots 1985\cdot 1986}{11^k}$$ adalah bilangan bulat.
Solusi: Misalkan $N=\frac{1001\cdot 1002\cdots 1985\cdot 1986}{11^k}$, maka $$N=\frac{1001!\cdot 1001\cdot 1002\cdots 1985\cdot 1986}{11^k(1000!)}=\frac{1986!}{11^k(1000!)}$$ Kekuatan tertinggi $11$ pada tahun $1986!$ adalah $$\left\lfloor \frac{1986}{11} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{1986}{11^2} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{1986}{11^3} \right\rfloor=180+16+1=197.$$ Pangkat tertinggi dari $11$ dalam $1000!$ adalah $$\left\lfloor \frac{1000}{11} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{1000}{11} \right\rfloor=90+8=98$$ jadi nilai maksimum $k$ diberikan oleh $$k = 197 − 98 = 99.$$ - Tentukan jumlah solusi nyata dari $$\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2x}{3} \right\rfloor=x.$$
Solusi: Persamaan yang diberikan menunjukkan bahwa setiap solusi $x$ harus berupa bilangan bulat. Misalkan $x = 6q + r$, dengan $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ dan $q$ adalah bilangan bulat. Maka persamaan yang diberikan menjadi $$q+\left\lfloor \frac{r}{2} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2r}{3} \right\rfloor=r.$$
(i) $r = 0$ menghasilkan $q = 0$, jadi $x = 0$ adalah solusi.
(ii) $r = 1$ menghasilkan $q = 1$, jadi $x = 7$ adalah solusi.
(iii) $r = 2$ menghasilkan $q = 0$, jadi $x = 2$ adalah solusi.
(iv) $r = 3$ menghasilkan $q = 0$, jadi $x = 3$ adalah solusi.
(v) $r = 4$ menghasilkan $q = 0$, jadi $x = 4$ adalah solusi.
(vi) $r = 5$ menghasilkan $q = 0$, jadi $x = 5$ adalah solusi.
Jadi, ada total $6$ solusi nyata. - Misalkan $x, y, z$ adalah tiga bilangan real positif sehingga $$\begin{array}{rcl}
x+\left\lfloor y \right\rfloor \left\{ z \right\} & = & 13.2 & \text{ }\text{ }\text{ }(22.1) \\
\left\lfloor x \right\rfloor\left\{ y \right\}+z & = & 14.3 & \text{ }\text{ }\text{ }(22.2) \\
\left\{ x \right\}+y+\left\lfloor z \right\rfloor & = & 15.1 &\text{ }\text{ }\text{ }(22.3)
\end{array}$$ di mana $\left\lfloor a \right\rfloor$ menunjukkan bilangan bulat terbesar $≤ a$ dan $\{b\}$ menunjukkan bagian pecahan dari $b$ (misalnya, $\left\lfloor 5.4 \right\rfloor = 5$, $\{4,3\} = 0,3$). Tentukan nilai $x$.
Solusi: $(22.1) + (22.2) + (22.3)$ menghasilkan $2(x + y + z) = 42.6$, yaitu $$x + y + z = 21.3 \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(22.4)$$ $(22.4) − (22.1)$ memberikan $\{y\} + \left\lfloor z \right\rfloor = 8.1$, oleh karena itu $\left\lfloor z \right\rfloor = 8$ dan $\{y\} = 0.1$.
Maka $(22.2)$ memberikan $\left\lfloor x \right\rfloor + z = 14.2$, sehingga $\{z\} = 0.2$ dan $z = 8.2$ yang menghasilkan $\left\lfloor x \right\rfloor = 6$.
$(22.1)$ memberikan $x + \left\lfloor y \right\rfloor = 13$, sehingga $x$ adalah bilangan bulat, yaitu $x = \left\lfloor x \right\rfloor = 6$. - Misalkan $S=\left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor+\left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor+…+\left\lfloor \sqrt{1988} \right\rfloor$. Tentukan $\left\lfloor S \right\rfloor$.
Solusi: Untuk setiap bilangan bulat positif $k$ dan $x$, hubungan berikut ini ekuivalen $$\left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor=k\Leftrightarrow k^2\le x<(k+1)^2\Leftrightarrow x\in [k^2,k^2+2k],$$ Jadi, $2k + 1$ nilai $x$ memenuhi relasi tersebut. Karena $44^2 = 1936 < 1988 < 2025 =45^2$ dan $1988 − 1936 + 1 = 53$, $$S = 1(3) + 2(5) + 3(7) + · · · + 43(87) + 44(53)$$ $$= 2(1^2 + 2^2 + · · · + 43^2) + (1 + 2 + · · · + 43) + 44(53)$$ $$=\frac{43\cdot 44\cdot 87}{3}+\frac{43\cdot 44}{2}+2332=54868+946+2332=58146.$$ Maka $240^2=57600<241^2=58081<S<242^2=58564,\left\lfloor \sqrt{S} \right\rfloor=241$. - Evaluasi penjumlahan $S=\sum_{k=1}^{502}\left\lfloor \frac{305k}{503} \right\rfloor.$
Solusi: Jika masing-masing dari dua bilangan real positif $x, y$ bukan bilangan bulat tetapi $x+y$ adalah bilangan bulat, maka $\left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor = x + y − 1$ karena $\{x\} + \{y\} = 1$. Maka $\frac{305k}{503}+\frac{305(503-k)}{503}=305$ untuk $1\le k\le 502$, $$S=\left\lfloor \frac{305}{503} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{305\cdot 2}{503} \right\rfloor+…+\left\lfloor \frac{305\cdot 502}{503} \right\rfloor$$ $$=\left( \left\lfloor \frac{305\cdot 1}{503} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{305\cdot 502}{503} \right\rfloor \right)+…+\left( \left\lfloor \frac{305\cdot 251}{503} \right\lfloor \left\lfloor\frac{305\cdot 252}{503} \right\rfloor \right)$$ $$=304\cdot 251=76304$$ - Berapakah angka satuan dari $\left\lfloor \frac{10^{20000}}{10^{100}+3} \right\rfloor$?
Solusi: Misalkan $n=10^{100}$. Maka $$\frac{10^{20000}}{10^{100}+3}=\frac{n^{200}}{n+3}=\frac{(n^2)^{100}-(3^2)^{100}}{n+3}+\frac{9^{100}}{n+3}$$ $$=\frac{(n^2-3^2)M}{n+3}+\frac{9^{100}}{n+3}=(n-3)M+\frac{9^{100}}{n+3}.$$ Karena $9^{100}<n$, kita punya $$\left\lfloor \frac{n^{200}}{n+3} \right\rfloor=(n-3)M=\frac{n^{200}-9^{100}}{n+3}=\frac{10^{20000}-81^{50}}{10^{100}+3}.$$ Karena angka satuan dari $10^{20000} − 81^{50}$ adalah $9$ dan angka satuan dari $10^{100} + 3$ adalah $3$, angka satuan hasil bagi haruslah $3$. - Diberikan beberapa bilangan bulat positif kurang dari $1951$, di mana setiap dua bilangan memiliki kelipatan persekutuan terkecil (KPK) yang lebih besar dari $1951$. Buktikan bahwa jumlah kebalikan bilangan-bilangan ini kurang dari $2$.
Solusi: Misalkan bilangan bulat positif yang diberikan adalah $a_1, a_2, . . . , a_n$. Karena dua bilangan di antaranya memiliki KPK lebih besar dari $1951$, maka setiap bilangan $1, 2, 3, . . . , 1951$ tidak dapat dibagi oleh dua bilangan dari $a_1, a_2, . . . , a_n$.
Oleh karena itu jumlah $M$ bilangan dalam himpunan $\{1, 2, . . . , 1951\}$ yang habis dibagi satu dari $a − 1, a_2, . . . , a_n$ diberikan oleh $$M=\left\lfloor \frac{1951}{a_1} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{1951}{a_2} \right\rfloor+…+\left\lfloor \frac{1951}{a_n} \right\rfloor,$$ maka $M\le 1951$.Di sisi lain, pertidaksamaan $\left\lfloor \frac{1951}{a_i} \right\rfloor >\frac{1951}{a_i}-1$ untuk $i = 1, 2, . . . , n$ berlaku, jadi $$\left( \frac{1951}{a_1}-1 \right)+\left( \frac{1951}{a_2}-1 \right)+…+\left( \frac{1951}{a_1}-1 \right)<1951,$$ $$\frac{1951}{a_1}+\frac{1951}{a_2}+…+\frac{1951}{a_n}<1951+n<2\cdot 1951,$$ $$∴\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}<2.$$
- Diketahui bilangan riil $a > 1$, bilangan asli $n ≥ 2$, dan persamaan $\left\lfloor ax \right\rfloor = x$ memiliki tepat $n$ solusi riil yang berbeda. Tentukan range dari $a$.
Solusi: Dari asumsi setiap solusi $x$ harus berupa bilangan bulat dan $x ≥ 0$. Karena $$ax = \left\lfloor a \right\rfloor x + \{a\}x,$$ jadi persamaan yang diberikan menjadi $$x = \left\lfloor ax \right\rfloor = \left\lfloor a \right\rfloor x + \left\lfloor \{a\}x \right\rfloor.\text{ }\text{ }\text{ }(22.5)$$ Karena $\left\lfloor a \right\rfloor ≥ 1, (22.5)$ berlaku jika dan hanya jika $$\left\lfloor a \right\rfloor=1\text{ }\text{ dan }\text{ }\{a\}x<1.\text{ }\text{ }\text{ }(22.6)$$ Karena $x = 0$ pastilah sebuah solusi, maka persamaan $\left\lfloor ax \right\rfloor = x$ memiliki tepat $n − 1$ solusi positif. Karena $\{a\}x < 1$ menyiratkan $\{a\}x’ < 1$ jika $0 < x’ < x$, maka solusi bilangan bulat positif dari $\{a\}x < 1$ pastilah $x = 1, 2, . . . , n − 1$, sehingga $\{a\} < 1/(n − 1)$. Di sisi lain, karena setiap bilangan bulat $≥ n$ bukan merupakan solusi dari $(22.5)$, maka $\{a\} ≥ 1/n$,. Dengan demikian, $1/n ≤ \{a\} < 1/(n − 1)$. Karena $\left\lfloor a \right\rfloor = 1$, maka $$1+\frac{1}{n}\le a<1+\frac{1}{n-1}.$$
“Learn as if you will live forever, live like you will die tomorrow.”
