Bilangan Kuadrat Sempurna

Pengantar Pemecahan Masalah

Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit

Kelas

Materi ini ditunjukan untuk siswa berbakat kelas 4, 5, 6, 7 dan 8

Presentasi

Unduh

Video Pengantar

fira

Video Lanjutan

Pre Test

Post Test

Referensi Tambahan

Unduh

Definisi

Suatu bilangan bulat $n$ disebut bilangan kuadrat sempurna (atau singkatnya, kuadrat sempurna), jika terdapat bilangan bulat $m$ sehingga $n = m^2$.

Sifat Dasar Bilangan Kuadrat Sempurna

Digit satuan kuadrat sempurna hanya bisa berupa $0, 1, 4, 5, 6,$ dan $9$.
Cukup periksa properti untuk $0^2,1^2,2^2,…,9^2$.
Jika faktorisasi prima suatu bilangan asli $n$ adalah $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}$, maka $$n \text{ adalah kuadrat sempurna} ⇔\text{ setiap} \alpha_i \text{ genap} ⇔ \tau (n) \text{ ganjil,}$$ di mana $\tau (n)$ menyatakan jumlah pembagi positif dari $n$.
Untuk setiap bilangan kuadrat sempurna $n$, jumlah angka nol di ekornya (yaitu angka $0$ di ujung kanannya) harus genap, karena dalam faktorisasi prima $n$, jumlah faktor $2$ dan faktor $5$ keduanya genap.
$n^2\equiv 1$ atau $0$ modulo $2,3,4$.
Cukup dengan memeriksa bilangan bentuk $(2m)^2$ dan $(2m + 1)^2$ dengan mengambil modulo $2$ dan modulo $4$ secara berurutan; bilangan bentuk $(3m)^2$ dan $(3m ± 1)^2$ dengan mengambil modulo $3$.
$n^2\equiv 0$, $1$ atau $4$ (mod $8$).
Cukup dengan memeriksa kesimpulan untuk $(4m±1)^2,(4m)^2,(4m+ 2)^2$, di mana $m$ adalah bilangan bulat apa pun.
Bilangan kuadrat sempurna ganjil harus memiliki digit puluhan genap (jika satu digit kuadrat sempurna $1^2$ dan $3^2$ dianggap sebagai $01$ dan $09$ berturut-turut).
Alasannya mudah dipahami: Untuk $n > 3, n^2 = (10a + b)^2 = 100a^2 +20ab + b^2$. Bilangan $100a^2 + 20ab$ memiliki digit satuan $0$ dan digit puluhan genap. Jika $b$ adalah digit ganjil, maka digit puluhan yang dibawa dari $b^2$ harus genap, sehingga digit puluhan dari $n^2$ harus genap.
Jika angka puluhan dari $n^2$ ganjil, maka angka satuan dari $n^2$ pastilah $6$.
Lanjutkan analisis pada (4). Jika angka puluhan yang dibawa dari $b^2$ ganjil, maka $b = 4$ atau $6$ saja, sehingga $b^2 = 16$ atau $36$, yaitu angka satuan dari $n^2$ pastilah $6$.
Tidak ada bilangan kuadrat sempurna di antara dua bilangan kuadrat sempurna berurutan $k^2$ dan $(k + 1)^2$, di mana $k$ adalah bilangan bulat non-negatif apa pun. Jika tidak, terdapat bilangan bulat ketiga di antara dua bilangan bulat berurutan $k$ dan $k + 1$, namun hal ini mustahil.

Permasalahan dasar yang melibatkan bilangan kuadrat sempurna adalah (1) mengidentifikasi apakah suatu bilangan merupakan bilangan kuadrat sempurna; (2) menemukan bilangan kuadrat sempurna dalam beberapa kondisi pada bilangan kuadrat sempurna; (3) menentukan keberadaan solusi bilangan bulat dari persamaan dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kuadrat sempurna.

Contoh Soal

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat $k$, semua bilangan berbentuk $3k+2, 4k+2, 4k+3, 5k+2, 5k+3, 8n ± 2, 8n ± 3, 8n+7$ tidak dapat berupa bilangan kuadrat sempurna.
Solusi: $3k + 2 ≡ 2 (\text{mod } 3), 4k + 2 ≡ 2 (\text{mod } 4), 4k + 3 ≡ 3 (\text{mod } 4)$ menunjukkan bahwa keduanya bukanlah kuadrat sempurna.
$5k + 2$ memiliki digit satuan $2$ atau $7$ dan $5k + 3$ memiliki digit satuan $3$ atau $8$, sehingga keduanya juga tidak bisa menjadi bilangan kuadrat sempurna.
Semua bilangan $8n ± 2, 8n ± 3, 8n + 7$ tidak memiliki sisa $0, 1,$ atau $4$ modulo $8$, sehingga tidak dapat menjadi bilangan kuadrat sempurna.
Buktikan bahwa sembarang bilangan bulat positif $n ≥ 10$ tidak dapat menjadi bilangan kuadrat sempurna jika bilangan tersebut dibentuk oleh angka-angka yang sama.
Solusi: Jika digit yang digunakan ganjil, maka kesimpulannya dibuktikan dengan sifat (4).
Jika digit yang digunakan $2$ atau $8$, kesimpulannya diperoleh langsung dari sifat (1).
Jika digit yang digunakan adalah $6$, kesimpulannya diperoleh berdasarkan sifat (7).
Terakhir, jika digit yang digunakan adalah $4$, misalkan $n^2 = \underset{k}{\underbrace{44…44}}$ dengan $k ≥ 2$, maka $n = 2m$, yaitu $n^2 = 4m^2$, sehingga $m^2 = \underset{k}{\underbrace{11…11}}$, sebuah kontradiksi dari pembahasan di atas.
Dengan demikian, kesimpulannya terbukti untuk semua kasus yang mungkin.
Kuadrat suatu bilangan bulat disebut bilangan kuadrat sempurna. Jika $x$ adalah bilangan kuadrat sempurna, maka angka berikutnya adalah
(A) $x+1$, (B) $x^2+1$, (C) $x^2+2x+1$, (D) $x^2+x$, (E) $x+2\sqrt{x}+1$.
Solusi: Karena $x ≥ 0$, maka $x =(sqrt{x})^2$, dan kuadrat sempurna berikutnya adalah $(\sqrt{x} + 1)^2=x+2\sqrt{x}+1$, jawabannya adalah (E).
Buktikan bahwa jumlah $1$ dan hasil kali empat bilangan bulat berurutan apa pun haruslah kuadrat sempurna, tetapi jumlah lima bilangan kuadrat sempurna berurutan apa pun tidak bolehlah kuadrat sempurna.
Solusi: Misalkan $a, a + 1, a + 2, a + 3$ adalah empat bilangan bulat berurutan. Maka $$a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = [a(a + 3)][(a + 1)(a + 2)] + 1$$ $$= (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) + 1 = [(a^2 + 3a + 1) − 1][(a^2 + 3a + 1) − 1] + 1$$ $$= (a^2 + 3a + 1)^2,$$ jadi kesimpulan pertama terbukti.
Misalkan $(n − 2)^2,(n − 1)^2, n^2,(n + 1)^2,(n + 2)^2$ adalah lima bilangan kuadrat sempurna yang berurutan. Maka $$(n − 2)^2 + (n − 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2).$$ Jika $5(n^2 + 2)$ adalah kuadrat sempurna, maka $5 | (n^2 + 2),$ sehingga $n^2$ memiliki $3$ atau $7$ sebagai digit satuannya, tetapi hal ini mustahil. Dengan demikian, kesimpulan kedua juga terbukti.
Pada angka-angka berikut, angka yang tidak boleh berupa kuadrat sempurna adalah
(A) $3n^2-3n+3$, (B) $4n^2+4n+4$, (C) $5n^2-5n-5$, (D) $7n^2-7n+7$, (E) $11n^2+11n-11$.
Solusi: $3n^2 − 3n + 3 = 3(n^2 − n + 1)$ yang merupakan $3^2$ ketika $n = 2;$
$5n^2 − 5n − 5 = 5(n^2 − n − 1) = 5^2$ dimana $n = 3;$
$7n^2 − 7n + 7 = 7(n^2 − n + 1) = 7^2$ dimana $n = 3;$
$11n^2 + 11n − 11 = 11(n^2 + n − 1) = 11^2$ dimana $n = 3.$
Oleh karena itu (A), (C), (D) dan (E) semuanya bukan jawabannya. Di sisi lain, $$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 < 4n^2 + 4n + 4 < 4n^2 + 8n + 4 = (2n + 2)^2$$ menyiratkan bahwa $4n^2 + 4n + 4$ bukan kuadrat sempurna. Jadi, jawabannya adalah (B).
Diketahui bilangan lima digit $\overline{2x9y1}$ merupakan bilangan kuadrat sempurna. Temukan nilai $3x + 7y$.
Solusi: Kami menggunakan metode estimasi untuk menentukan $x$ dan $y$. Misalkan $A^2 = \overline{2x9y1}$. Karena $141^2 = 19881 < A^2$ dan $175^2 = 30625 > A^2$, maka $141^2 < A^2 < 175^2$. Digit satuan $A^2$ adalah $1$, yang berarti digit satuan $A$ hanya $1$ atau $9$. Oleh karena itu, cukup untuk memeriksa $151^2, 161^2, 171^2, 159^2, 169^2$ saja, sehingga kami menemukan bahwa $$161^2 = 25921$$ memenuhi semua persyaratan, dan angka-angka lainnya tidak dapat memenuhi semua persyaratan. Dengan demikian, $$x = 5, y = 2, s\text{ sehingga } 3x + 7y = 15 + 14 = 29.$$
Tentukan jumlah pasangan $(x, y)$ dari dua bilangan bulat positif sehingga $N = 23x + 92y$ merupakan bilangan kuadrat sempurna yang kurang dari atau sama dengan $2392$.
Solusi: $N = 23x + 92y = 23(x + 4y)$ dan $23$ adalah bilangan prima, menyiratkan bahwa $x + 4y = 23m^2$ untuk beberapa bilangan bulat positif $m$, jadi $$N = 23^2m^2 ≤ 2392 \Longrightarrow m^2 ≤\frac{2392}{23^2}=\frac{104}{23}<5$$ Maka $m^2=1$ atau $4$, yaitu $m=1$ atau $2$.
Jika $m^2 = 1$, maka $x + 4y = 23$ atau $x = 23 − 4y$. Karena $x, y$ adalah dua bilangan bulat positif, maka $y = 1, 2, 3, 4, 5$ dan $x = 19, 15, 11, 7, 3$.
Jika $m^2 = 4$, maka $x + 4y = 92$ atau $x = 92 − 4y$, maka $y$ dapat mengambil setiap nilai integer positif dari $1$ hingga $22$, dan $x$ kemudian dapat mengambil nilai integer positif yang sesuai yang diberikan oleh $x = 92 − 4y.$
Jadi, jumlah pasangan yang memenuhi syarat $(x, y)$ adalah $5 + 22$, yaitu $27$.
Buktikan bahwa $2006$ tidak dapat dinyatakan sebagai jumlah dari sepuluh bilangan kuadrat sempurna ganjil.
Solusi: Kita buktikan dengan kontradiksi. Misalkan 2006 dapat dinyatakan sebagai jumlah sepuluh bilangan kuadrat sempurna ganjil, yaitu: $$2006=x_1^2+x_2^2+…+x_{10}^2,$$ di mana $x_1, x_2, …, x_{10}$ semuanya bilangan ganjil. Ketika kedua ruas dikalikan modulo $8$, ruas kiri adalah $6$, tetapi ruas kanan adalah $2$, sebuah kontradiksi! Dengan demikian, asumsinya salah, dan kesimpulannya terbukti.
Temukan semua bilangan asli $n$ yang memenuhi syarat $n^2−19n+91$ adalah kuadrat sempurna.
Solusi: (i) Ketika $n>10$, maka $n-9>0$, jadi $$n^2 − 19n + 91 = n^2 − 20n + 100 + (n − 9) = (n − 10)^2 + (n − 9) > (n − 10)^2,$$ dan $$n^2 − 19n + 91 = n^2 − 18n + 81 + (10 − n) < (n − 9)^2,$$ jadi $(n − 10)^2 < n^2 − 19n + 91 < (n − 9)^2$, yang menyiratkan bahwa $n^2 − 19n + 91$ bukanlah kuadrat sempurna.
(ii) Ketika $n<9$, maka $$n^2 − 19n + 91 = (10 − n)^2 + (n − 9) < (10 − n)^2$$ dan $$n^2 − 19n + 91 = (9 − n)^2 + 10 − n > (9 − n)^2,$$ Jadi $(9−n)^2 < n^2 −19n+ 91 < (10−n)^2$, yaitu $n^2 − 19n+ 91$ tidak mungkin merupakan bilangan kuadrat sempurna.
(iii) Ketika $n=9$, maka $n^2-19n+91=(10-9)^2=1$; ketika $n=10$, maka $n^2-19n+91=(10-9)^2=1$.
Jadi, $n^2 − 19n + 91$ merupakan kuadrat sempurna jika dan hanya jika $n = 9$ atau $10$.

Solusi dari setiap Permasalahan diberikan pada kelas online

“Develop success from failures. Discouragement and failure are two of the surest stepping stones to success.”