Bentuk Kuadrat Majemuk Surd $\sqrt{a\pm \sqrt{b}}$
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Metode Dasar untuk Menyederhanakan Bentuk Surd Majemuk
- Contoh Soal
Metode Dasar untuk Menyederhanakan Bentuk Surd Majemuk
- Sederhanakan secara langsung menurut rumus aljabar: seperti $$\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|,\text{ }\sqrt{(a+b)^4}=(a+b)^2,\text{ }\sqrt[3]{(a+b)^3}=a+b,\text{ dst}.$$
- Gunakan teknik untuk melengkapi kuadrat untuk mengubah ekspresi di dalam tanda akar kuadrat terluar menjadi kuadrat, seperti penyederhanaan $\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
- Gunakan metode lain seperti metode penentuan koefisien, substitusi variabel, dll.
Contoh Soal
- Tentukan nilai dari $\sqrt{17+4\sqrt{13}}-\sqrt{17-4\sqrt{13}}$.
Solusi:
$\sqrt{17+4\sqrt{13}}-\sqrt{17-4\sqrt{13}}$
$=\sqrt{(\sqrt{13}+2)^2}-\sqrt{(\sqrt{13}-2)^2}=\sqrt{13}+2(\sqrt{13}-2)=4$. - Tentukan nilai dari $\sqrt{\frac{2}{5-2\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{2}{5+2\sqrt{6}}}$.
Solusi: Karena $5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2,5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2,$ $$\sqrt{\frac{2}{5-2\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{2}{5+2\sqrt{6}}}=\sqrt{\frac{2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}}-\sqrt{\frac{2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}$$ $$=(\sqrt{6}+2)-(\sqrt{6}-2)=4$$ - Sederhanakan $\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}-2\sqrt{3-\sqrt{5}}$.
Solusi: Karena $$\sqrt{4+\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{8+2\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}},$$ $$\sqrt{4-\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{8-2\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}},$$ $$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{6-2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}},$$ maka $$\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}-2\sqrt{3-\sqrt{5}}$$ $$=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})-2(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$$ - Sederhanakan $M=\sqrt{2+\sqrt{-2+2\sqrt{5}}}-\sqrt{2-\sqrt{-2+2\sqrt{5}}}$.
Solusi: Misalkan $a=\sqrt{2+\sqrt{-2+2\sqrt{5}}},b=\sqrt{2-\sqrt{-2+2\sqrt{5}}}$. Maka $a^2+b^2=4$ dan $$ab=\sqrt{4-(-2+2\sqrt{5})}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1.$$ Oleh karena itu $(a-b)^2=4-2(\sqrt{5}-1)=6-2\sqrt{5}=(\sqrt{5}-1)^2$, maka $$M=a-b=\sqrt{5}-1.$$ - Sederhanakan $\sqrt{9+2(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{7})}$.
Solusi: Mengingat bahwa $9+2(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{7})=11+2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{15}$, di mana koefisien suku-suku $\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}$ semuanya $2$, wajar jika kita menggunakan metode penentu koefisien, dengan asumsi bahwa $$\sqrt{9+2(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{7})}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}.$$ Mengambil kotak di kedua sisi menghasilkan $$11+2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{15}=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}.$$ Dengan membandingkan koefisien, diperoleh sistem persamaan berikut: $$a+b+c=11,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{(17.1)}$$ $$ab=3,\text{ }\text{ }\text{(17.2)}$$ $$ac=3,\text{ }\text{ }\text{(17.3)}$$ $$bc=15.\text{ }\text{ }\text{(17.4)}$$ $(17.2)\times (17.3)\times (17.4)$ menghasilkan $(abc)^2=15^2$, yaitu $abc=15$, maka $a=1$ dari $(17.4)$, $b=3$ dari $(17.3)$, dan $c=5$ dari $(17.1)$. Maka $$\sqrt{9+2(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{7})}=\sqrt{1}+\sqrt{3}+\sqrt{5}.$$ - Tentukan nilai dari $\frac{x^4-6x^3-2x^2+18x+23}{x^2-8x+15}$ ketika $x=\sqrt{19-8\sqrt{3}}$.
Solusi: $x=\sqrt{19-8\sqrt{3}}=\sqrt{(4-\sqrt{3})^2}=4-\sqrt{3}$ menghasilkan $4-x=\sqrt{3}$. Dengan mengambil kuadrat, maka dapat disimpulkan bahwa $$x^2-8x+13=0$$ Oleh karena itu, dengan pembagian panjang, $$x^4-6x^3-2x^2+18x+23=(x^2-8x+13)(x^2+2x+1)+10=10,$$ sehingga nilai dari ekspresi yang diberikan adalah $10/2 = 5$. - Diketahui bagian bilangan bulat dan bagian pecahan dari $\sqrt{37 − 20\sqrt{3}}$ berturut-turut adalah $x$ dan $y$. Tentukan nilai $x+y+\frac{4}{y}$.
Solusi: $\sqrt{37-20\sqrt{3}}=5-2\sqrt{3}=1+2(2-\sqrt{3})$ menyiratkan bahwa $$x=1,\text{ }\text{ }y=2(2-\sqrt{3}),$$ maka $$x+y+\frac{4}{y}=5-2\sqrt{3}+\frac{2}{(2-\sqrt{3})}=5-2\sqrt{3}+2(2+\sqrt{3})=9.$$ - Diketahui $y$ adalah bilangan bulat terdekat dari $\sqrt{\frac{2}{\sqrt[3]{3}-1}+\sqrt[3]{3}}$, tentukan nilai $\sqrt{9+4\sqrt{y}}$.
Solusi: Karena $2=(\sqrt[3]{3})^3-1=(\sqrt[3]{3}-1)(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)$, $$\sqrt{\frac{2}{\sqrt[3]{3}-1}+\sqrt[3]{3}}=\sqrt{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1+\sqrt[3]{3}}=\sqrt{(\sqrt[3]{3}+1)^2}=\sqrt[2]{3}+1$$ Sudah jelas $2<\sqrt[3]{3}+1<3$. Lebih jauh, $(1.5)^3>3\Longrightarrow 2.5-(\sqrt[3]{3}+1)=1.5-\sqrt[3]{3}>\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3}=0$, jadi $2<\sqrt[3]{3}+1<2.5$, karena $y=2$. Maka $$\sqrt{9+4\sqrt{y}}=\sqrt{9+4\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{8}+1)^2}=2\sqrt{2}+1.$$ - Sederhanakan $\sqrt[3]{a+\frac{a+8}{3}\sqrt{\frac{a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+8}{3}\sqrt{\frac{a-1}{3}}}$.
Solusi: Misalkan $x=\sqrt{\frac{a-1}{3}}$, maka $a=3x^2+1$ dan $\frac{a+8}{3}=x^2+3$, sehingga pernyataan yang diberikan dapat dinyatakan dalam bentuk $x$: $$\sqrt[3]{a+\frac{a+8}{3}\sqrt{\frac{a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+8}{3}\sqrt{\frac{a-1}{3}}}$$ $$=\sqrt[3]{3x^2+1+(x^2+3)x}+\sqrt[3]{3x^2+1-(x^2+3)x}$$ $$=\sqrt[3]{x^3+3x^2+3x+1}+\sqrt[3]{1-3x+3x^2-x^3}=\sqrt[3]{(x+1)^3}+\sqrt[3]{(1-x)^3}$$ $$=(x+1)+(1-x)=2.$$ - Tentukan nilai dari $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}$.
Solusi: Misalkan $x=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}},y=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}.$
Maka $x$ memenuhi persamaan $$x^2=2x$$ dan solusinya adalah $x = 2$ (karena $x > 0$). Demikian pula, $y$ memenuhi persamaan $$y^2=2+y$$ Maka $(y-2)(y+1)=0$ dan $y>0$ menghasilkan solusi $y=2$. Maka $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}=x-y=0$$
“People often say that motivation doesn’t last. Well, neither does bathing – that’s why we recommend it daily.”
