Beberapa Metode Faktorisasi
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Metode Dasar Faktorisasi
- Contoh Soal
Metode Dasar Faktorisasi
(I) Ekstrak faktor persekutuan dari suku-suku: seperti $$xm+ym+zm=m(x+y+z).$$
(II) Terapkan rumus perkalian: seperti yang disebutkan di Bab 5. Namun, berbeda dengan Bab 5, saat ini setiap rumus diterapkan untuk mengubah ekspresi dalam bentuk non-produk menjadi ekspresi baru dalam bentuk produk.
(III) Perkalian Silang: 
(IV) Dengan mengelompokkan, membagi, atau menyisipkan istilah untuk memperoleh faktor umum.
(V) Dengan mengganti subekspresi untuk menyederhanakan ekspresi yang diberikan.
(VI) Metode penentuan koefisien. Pertama, struktur produk diberikan, kemudian parameter yang tidak diketahui dalam produk ditentukan dengan membandingkan koefisien.
(VII) Faktorisasi polinomial simetris atau siklik.
Contoh Soal
- Faktorkan $(d^2-c^2+a^2-b^2)^2-4(bc-da)^2$.
Solusi: $$(d^2-c^2+a^2-b^2)^2-4(bc-da)^2=(d^2-c^2+a^2-b^2)^2-(2bc-2da)^2$$ $$=(d^2-c^2+a^2-b^2-2bc+2da)(d^2-c^2+a^2-b^2+2bc-2da)$$ $$=[(d+a)^2-(b+c)^2]\cdot [(d-a)^2-(b-c)^2]$$ $$=(d+a-b-c)(d+a+b+c)(d+b-a-c)(d+c-a-b).$$ - Faktorkan $64x^6-729y^12$.
Solusi: $$64x^6-729y^12=(2x)^6-(3y^2)^6=[(2x)^3-(3y^2)^3][(2x)^3+(3y^2)^3]$$ $$=(2x-3y^2)[(2x)^2+(2x)(3y^2)+(3y^2)^2]\cdot (2x+3y^2)[(2x)^2-(2x)(3y^2)+(3y^2)^2]$$ $$=(2x-3y^2)(2x+3y^2)(4x^2+6xy^2+9y^4)(4x^2-6xy^2+9y^4).$$ - Faktorkan masing-masing ekspresi berikut:
(i) $2x^2+x-6;$
(ii) $2x^2-10x+8.$
Solusi:
- Faktorkan $2a^3+6a^2+6a+18.$
Solusi: $$2a^3+6a^2+6a+18=2[(a^3+3a^2+3a+1)+8]=2[(a+1)^3+2^3]$$ $$=2(a+3)[(a+1)^2-2(a+1)+4]=2(a+3)(a^2+3)$$ - Faktorkan (i) $x^4+2x^3+7x^2+6x-7;$ (ii) $x^3+9x^2+23x+15$
Solusi: Misalkan $y=x^2+x$. Maka
(i) $x^4+2x^3+7x^2+6x-7=x^2(x^2+x)+x(x^2+x)+6(x^2+x)-7$
$=(x^2+x+6)(x^2+x)-7=y^2+6y-7=(y+7)(y-1)$
$=(x^2+x+7)(x^2+x-1)$
(ii) $x^3+9x^2+23x+15=x^2(x+1)+8x(x+1)+15(x+1)$
$=(x+1)(x^2+8x+15)=(x+1)(x+3)(x+5).$ - Faktorkan (i) $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-120;$ (ii) $x^5+x+1$.
Solusi:
(i) $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-120$
$=[(a+1)(a+4)][(a+2)+(a+3)]-120$
$=(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)-120$
$=[(a^2+5a+5)-1][(a^2+5a+5)+1]-120$
$=(a^2+5a+5)^2-121=(a^2+5a+5)^2-11^2$
$=(a^2+5a-6)(a^2+5a+16)=(a-1)(a+6)(a^2+5a+16).$
(ii) $x^5+x+1=(x^5-x^2)+(x^2+x+1)$
$=x^2(x^3-1)+(x^2+x+1)$
$=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$
$=(x^2+x+1)[x^2(x-1)+1]=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1).$ - Faktorkan $(2y-3z)^3+(3z-4x)^3+(4x-2y)^3.$
Solusi: Misalkan $2y-3z=a,3z-4x=b,4x-2y=c$, maka $a+b+c=0$.
Karena $$(2y-3z)^3+(3z-4x)^3+(4x-2y)^3=a^3+b^3+c^3$$ $$=(a^3+b^3+c^3-3abc)+3abc$$ $$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)+3abc$$ $$=3abc=3(2y-3z)(3z-4x)(4x-2y).$$ - Faktorkan $(3a+3b-18ab)(3a+3b-2)+(1-9ab)^2$
Solusi: Ekspresi yang diberikan simetris di $3a$ dan $3b$, jadi kita menggunakan $u=3a+3b,v=(3a)(3b)$ untuk menyederhanakan ekspresi. Kemudian $$(3a+3b-18ab)(3a+3b-2)+(1-9ab)^2=(u-2v)(u-2)+(1-v)^2$$ $$=u^2-2uv-2u+4v+v^2-2v+1=(u^2-2uv+v^2)+2(v-u)+1$$ $$=(v-u)^2+2(v-u)+1=(v-u+1)^2$$ $$=(9ab-3a-3b+1)^2=[(3a-1)(3b-1)]^2=(3a-1)^2(3b-1)^2.$$ Catatan: Jangan berhenti di $(v-u+1)^2$ - Faktorkan $2x^2+7xy-4y^2-3x+6y-2$.
Solusi: Jika diketahui $2x^2+7xy-4y^2=(2x-y)(x+4y)$, maka $$2x^2+7xy-4y^2-3x+6y-2=(2x-y+a)(x+4y+b)$$ Dengan mengeluarkan hasil perkalian tersebut, diperoleh bahwa $$(2x-y+a)(x+4y+b)=2x^2+7xy-4y^2+(a+2b)x+(4a-b)y+ab$$ Dengan membandingkan koefisien, diperoleh sistem persamaan berikut $$a+2b=-3\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(6.1)$$ $$4a-b=6,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(6.2)$$ $$ab=-2.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(6.3)$$ Maka $2\times (6.2)+(6.1)$ menghasilkan $9a=9$, yaitu $a=1$. Dari $(6.2),b=6-4a=-2$. Karena $(a,b)=(1,-2)$ memenuhi $(6.3)$, dan ini adalah solusi unik, kami memperoleh $$2x^2+7xy-4y^2-3x+6y-2=(2x-y+1)(x+4y-2).$$ - Diketahui $x^5-5qx+4r$ memiliki faktor $(x-c)^2$ untuk suatu konstanta $c$. Buktikan bahwa $q^5=r^4$.
Solusi: Jika $c=0$, maka $x^2|x^5-5qx+4r\Rightarrow r=q=0$, Kesimpulannya adalah benar. Ketika $c\neq 0$, kondisinya berarti $$x^5-5qx+4r=(x^2-2cx+c^2)(x^3+ax^2+bx+d)$$ $$x^5+(a-2c)x^4+(c^2+b-2ac)x^3+(ac^2-2bc+d)x^2+(bc^2-2cd)x+c^2d..$$ Kemudian perbandingan koefisien menghasilkan persamaan berikut: $$a=2c,\text{ }b=2ac-c^2=3c^2,\text{ }d=2bc-ac^2=4c^3=\frac{4r}{c^2}\Rightarrow r=c^5.$$ Lebih jelas, $$5q=2cd-bc^2=8c^4-3c^4=5c^4\Rightarrow q=c^4$$ Jadi, $$q^5=c^{20}=r^4.$$
“The pessimist sees difficulty in every opportunity. The optimist sees opportunity in every difficulty. ”
