Akar dan Diskriminan Persamaan Kuadrat $ax^2+bx+c=0$
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Definisi
- Metode Dasar untuk Menemukan Akar dari $ax^2 + bx + c = 0$
- Hubungan antara Diskriminan dan Keberadaan Akar Real
- Contoh Soal
Definisi
Definisi 1. Persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ disebut persamaan kuadrat, di mana $a, b, c$ adalah koefisien konstanta riil dengan $a \neq 0$, $x$ adalah variabel yang tidak diketahui.
Definisi 2. Suatu bilangan riil $\alpha$ disebut akar atau penyelesaian persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ jika memenuhi persamaan tersebut, yaitu $a(\alpha)^2 + b\alpha + c = 0.$
Definisi 3. Untuk persamaan kuadrat, nilai $∆ = b^2 − 4ac$ disebut diskriminan persamaan tersebut.
Metode Dasar untuk Menemukan Akar dari $ax^2 + bx + c = 0$
- Berdasarkan $ax^2+bc+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$, akar $\alpha$ dan $\beta$ dapat diberikan oleh $$\alpha =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\beta =\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$
- Dengan memfaktorkan $ax^2+bx+c$ menjadi bentuk $a(x−a^2)(x−a^2)$, akar-akarnya adalah $a^2$ dan $a^2$. Semua metode faktorisasi dapat digunakan di sini, termasuk rumus perkalian, teorema faktor, metode observasi, dll.
- Untuk persamaan kuadrat dengan nilai absolut, persamaan tersebut perlu dikonversi menjadi persamaan normal melalui substitusi atau dengan membagi rentang $x$ secara bertahap untuk menghilangkan tanda absolut.
Hubungan antara Diskriminan dan Keberadaan Akar Real
- Gunakan $∆$ untuk menentukan keberadaan akar riil tanpa menyelesaikan persamaan:
(i) $∆ > 0 ⇔$ persamaan tersebut memiliki dua akar riil yang berbeda.
(ii) $∆ = 0 ⇔$ persamaan tersebut memiliki dua akar riil yang sama.
(iii) $∆ < 0 ⇔$ persamaan tersebut tidak memiliki akar riil. - Penjelasan geometris dari hubungan tersebut adalah sebagai berikut: karena akar-akar real dari persamaan kuadrat adalah koordinat-$x$ dari titik-titik bayangan $\Gamma$ dari fungsi $y = ax^2 + bx + c$ (yang merupakan parabola) dengan sumbu-$x$,
(i) $∆ > 0 ⇔$ kurva $Γ$ memotong sumbu $x$ di dua titik berbeda.
(ii) $∆ = 0 ⇔$ kurva $Γ$ menyinggung sumbu-$x$ di satu titik.
(iii) $∆ < 0 ⇔$ kurva $Γ$ dan sumbu-$x$ tidak memiliki titik potong.
Contoh Soal
- Selesaikan persamaan $2006x^2 + 2007x + 1 = 0.$
Solusi: Misalkan $f(x) = 2006x^2 + 2007x + 1 = 0$. Berdasarkan pengamatan, $f(−1) = 2006 − 2007 + 1 = 0$, sehingga $f(x)$ memiliki faktor $(x + 1)$, dan mudah untuk menemukan faktor kedua (dengan pembagian sintetis), $$2006x^2 + 2007x + 1 = (x + 1)(2006x + 1),$$ jadi dua akar riilnya adalah $−1$ dan $−\frac{1}{2006}$. - Selesaikan persamaan dalam $x$:
(i) $(a^2 − 1)x + a(x^2 − 1) = a^2(x^2 − x + 1).$
(ii) $x^2 − 2(a^2 + b^2)x + (a^2 − b^2)^2 = 0.$
Solusi: Persamaan yang diberikan memiliki parameter, sehingga pembahasan tentang parameter diperlukan.
(i) Persamaan yang diberikan dapat ditulis dalam bentuk $$a(a − 1)x^2 − (2a^2 − 1)x + a(a + 1) = 0. (24.1)$$ Perhatikan bahwa persamaan tersebut bukan kuadrat jika $a = 0$ atau $1$. Jika $a = 0$, maka $x = 0$ merupakan solusi unik. Jika $a = 1$, maka $x = 2$ adalah solusi unik.
Jika $a(a − 1) \neq 0$, maka ruas kiri persamaan $(24.1)$ dapat difaktorkan sebagai $$[ax − (a + 1)][(a − 1)x − a] = 0,$$ yaitu dua akar realnya adalah $x_1=\frac{a+1}{a},x_2=\frac{a}{a-1}.$
(ii) Dengan melengkapi kuadrat, persamaan yang diberikan dapat ditulis dalam bentuk $[x −(a^2+b^2)]^2=4a^2b^2$, jadi $$x= a^2 + b^2 ± 2ab = (a ± b)^2.$$
Catatan: Contoh ini menunjukkan bahwa tidak selalu mudah menggunakan rumus akar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, khususnya jika persamaan tersebut mengandung parameter. - Diketahui persamaan $(x − 19)(x − 97) = p$ memiliki akar-akar real $r_1$ dan $r_2$. Tentukan akar real minimum dari persamaan $$(x − r_1)(x − r_2) = −p.$$
Solusi: Masalah ini dapat diselesaikan dengan memanipulasi sisi kiri persamaan. $$(x − 19)(x − 97) = p \text{ memiliki akar real } r_1 \text{ dan } r_2$$ $$⇔ (x − 19)(x − 97) − p = 0 \text{ memiliki akar real } r_1 \text{ dan }r_2$$ $$⇒ (x − 19)(x − 97) − p = (x − r_1)(x − r_2) \text{ untuk setiap } x$$ $$⇒ (x − r_1)(x − r_2) + p = (x − 19)(x − 97) \text{ untuk setiap } x$$ $$⇒ \text{ akar dari } (x − r_1)(x − r_2) + p = 0 \text{ adalah } 19 \text{ dan } 97$$ $$⇒ \text{ akar dari }(x − r_1)(x − r_2) = −p \text{ adalah }19 \text{ dan }97.$$
Jadi, akar minimum dari $(x − r_1)(x − r_2) = −p$ adalah $19$. - Misalkan $a$ adalah akar minimum dari persamaan $x^2−3|x|−2 = 0$, tentukan nilai $−\frac{1}{a}$.
Solusi 1: Jelas bahwa $0$ bukan akar. $(−a)^2−3|−a|−2 = a^2−3|a|−2 =0$ menyiratkan bahwa $−a$ juga merupakan akar, dan $a < −a$ menghasilkan $a < 0.$
Dengan demikian, cukup mencari akar positif maksimum, sehingga kita menyelesaikan persamaan $x^2 − 3x − 2 = 0$. Dengan rumus akar, diperoleh akar $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}> 0$.
Dengan demikian, $$a=-\frac{3+\sqrt{17}}{2},$$ maka $$-\frac{1}{a}=\frac{2}{3+\sqrt{17}}=\frac{2(\sqrt{17}-3)}{17-9}=\frac{\sqrt{17}-3}{4}.$$
Solusi 2: Misalkan $y = |x|$, maka persamaan yang diberikan menjadi $y^2 − 3y − 2 = 0$. Dengan menggunakan rumus akar, $$|x|=y_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\text{ (akar negatif tidak dapat diterima).}$$ Maka, $a=-\frac{3+\sqrt{17}}{2}$, dan sisanya sama dengan Solusi 1. - Selesaikan persamaan $|x^2 − 3x − 4| = |x − 2| − 1.$
Solusi: $x^2 − 3x − 4 = 0$ memiliki dua akar $x = −1$ dan $x = 4$, dan $x − 2 = 0$ menghasilkan $x = 2$. Jadi, sumbu bilangan harus dibagi menjadi empat bagian oleh titik-titik partisi $−1, 2,$ dan $4$.
(i) Jika $x ≤ −1$, persamaannya menjadi $x^2−3x−4 = 1−x$, sehingga $x^2−2x−5 =0$, akarnya adalah $x =1 −\sqrt{6}.$
(ii) Jika $−1 < x ≤ 2$, persamaan menjadi $−(x^2 − 3x − 4) = 1 − x$, jadi $x^2 − 4x + 5 = 0$, tidak ada solusi karena $∆ < 0$.
(iii) Jika $2 < x ≤ 4$, persamaannya menjadi $−(x^2 − 3x − 4) = x − 3$, sehingga $x^2 − 2x − 7 = 0, x = 1 + 2\sqrt{2}$.
(iv) Jika $4 < x$, persamaannya menjadi $x^2−3x−4 = x−3$, sehingga $x^2−4x−1 = 0,x = 2 + \sqrt{5}$.
Jadi, solusinya adalah $x_1 = 1 −\sqrt{6}, x_2 = 1 + 2\sqrt{2}, x_3 = 2 + \sqrt{5}.$ - Diketahui $a$ adalah akar persamaan $x^2 − x − 3 = 0$. Evaluasi $$\frac{a^3+1}{a^5-a^4-a^3+a^2}$$ Solusi: $a^2 − a − 3 = 0$ menghasilkan $a^2 − a = 3$. Di sisi lain, $$a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 − a + 1),$$ $$a^5 − a^4 − a^3 + a^2 = a^2(a^3 − a^2 − a + 1) = a^2[(a^2(a − 1) − (a − 1)]$$ $$= a^2(a − 1)(a^2 − 1) =a^2(a + 1)(a − 1)^2$$ $$= (a + 1)(a^2 − a)^2,$$ maka diperoleh $$\frac{a^3+1}{a^5-a^4-a^3+a^2}=\frac{a^2-a+1}{(a^2-a)^2}=\frac{4}{3^2}=\frac{4}{9}.$$ Untuk persamaan kuadrat dengan parameter, informasi tentang akar sebaliknya dapat menentukan rentang parameter, seperti yang ditunjukkan dalam contoh berikut.
- Diketahui persamaan $x^2 − (2a + b)x + (2a^2 + b^2 − b +\frac{1}{2}) = 0$ memiliki dua akar riil. Tentukan nilai $a$ dan $b$.
Solusi: $∆ ≥ 0$ menyiratkan bahwa $$(2a + b)^2 − 4(2a^2 + b^2 − b +\frac{1}{2}) ≥ 0,$$ $$4a^2 + 3b^2 − 4ab − 4b + 2 ≤ 0,$$ $$(2a − b)^2 + 2(b − 1)^2 ≤ 0, \text{ }∴ a = 2, b = 1.$$ - Diketahui persamaan $x^2 − ax + 3 − b = 0$ memiliki dua akar riil yang berbeda, $(6 − a)x + 6 − b = 0$ memiliki dua akar riil yang sama, dan $x^2 + (4 − a)x + 5 − b = 0$ tidak memiliki akar riil. Maka, rentang $a$ dan $b$ adalah
(A) $2 < a < 4, 2 < b < 5$, (B) $1 < a < 4, 2 < b < 5$,
(C) $2 < a < 4, 1 < b < 5$, (D) $1 < a < 4, 1 < b < 5$.
Solusi: Asumsi yang dimaksud menyiratkan bahwa diskriminannya adalah $$∆_1 = a^2 − 4(3 − b) > 0,$$ $$∆_2 = (6 − a)^2 − 4(6 − b) = 0,$$ $$∆_3 = (4 − a)^2 − 4(5 − b) < 0,$$ masing-masing, yaitu, $$\begin{array}{rcl}
a^2 + 4b − 12 > 0, & (24.2)\\
a^2 − 12a + 12 + 4b = 0, & (24.3)\\
a^2 − 8a − 4 + 4b < 0. & (24.4)
\end{array}$$ $(24.3)$ menghasilkan $$\begin{array}{rcl}
a^2 + 4b = 12a − 12.& (24.5)
\end{array}$$ Substitusikan $(24.5)$ ke $(24.2)$ menghasilkan $12a − 12 − 12 > 0,$ yaitu $a > 2$. Substitusikan $(24.5)$ ke $(24.4)$, maka $12a − 12 − 8a − 4 < 0$, yaitu $a < 4$. Dengan demikian, $$\begin{array}{rcl}
2 < a < 4. & (24.6)
\end{array}$$ $(24.3)$ menghasilkan $4b = 24 − (6 − a)^2$. Dengan menerapkan $(24.6)$, maka $$24 − (6 − 2)^2 < 4b < 24 − (6 − 4)^2,$$ jadi $8 < 4b < 20$, yaitu $2 < b < 5$. Jadi, jawabannya adalah (A).
Persamaan kuadrat dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah geometri, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. - $a, b, c$ adalah konstanta positif sehingga persamaaan $$c^2x^2 + (a^2 − b^2 − c^2)x + b^2 = 0$$ tidak memiliki akar real. Buktikan bahwa tiga ruas garis dengan panjang $a, b$, dan $c$ dapat membentuk segitiga.
Solusi: Persamaan yang diberikan tidak memiliki akar nyata yang menyiratkan bahwa $$(a^2 − b^2 − c^2)^2 − 4b^2c^2 < 0,$$ $$(a^2 − b^2 − c^2 − 2bc)(a^2 − b^2 − c^2 + 2bc) < 0,$$ $$∴ [(a^2 − (b + c)^2][a^2 − (b − c)^2] < 0.$$ Karena $a^2 − (b + c)^2 < a2 − (b − c)^2$, maka $a^2 − (b + c)^2 < 0, a2 > (b − c)^2$. Jadi $$a < b + c, a > b − c, a > c − b,$$ yaitu $a < b + c, b < a + c, c < a + b.$ Kesimpulannya terbukti.
Dalam soal tentang persamaan kuadrat, hubungan antara akar dua persamaan kuadrat sering dibahas, seperti ditunjukkan dalam contoh berikut. - Mengingat persamaan di $x$ $$\begin{array}{rcl}
mx^2 − 2(m + 2)x + m + 5 = 0 & (24.7)
\end{array}$$ tidak memiliki akar nyata, bagaimana dengan akar nyata persamaan $$\begin{array}{rcl}
(m − 6)x^2 − 2(m + 2)x + m + 5 = 0? & (24.8)
\end{array}$$
Solusi: Persamaan $(24.7)$ tidak mempunyai akar real yang berarti $m\neq 0$ dan diskriminannya negatif, jadi $$[−2(m + 2)]^2 − 4m(m + 5) = −4m + 16 < 0, \text{ yaitu } m > 4.$$ Untuk persamaan $(24.8)$,
(i) Ketika $m = 6, (24.8)$ menjadi $−16x + 6 = 0$, penyelesaiannya adalah $x =\frac{3}{8}$.
(ii) Jika $m\neq 6$, maka $(24.8)$ adalah persamaan kuadrat, dan diskriminannya diberikan oleh $$4(m + 2)^2 − 4(m − 6)(m + 5) = 4(10m + 4) > 0 (∵ m > 4),$$ jadi $(24.8)$ memiliki dua akar riil yang berbeda untuk kasus ini.
Dengan demikian, persamaan $(24.8)$ memiliki satu akar $x =\frac{3}{8}$ ketika $m = 6$, atau dua akar real yang berbeda ketika $m\neq 6$.
“When you reach the end of your rope, tie a knot in it and hang on.”
