Pemberitahuan
Hapus semua
OSN SMA
1
Postingan
1
Pengguna
0
Reactions
1
Views
Topik pemula 24/04/2025 4:54 am
- Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli $a$ dan $b$, bilangan
$$n = FPB(a,b) + KPK(a,b) − a − b$$ adalah bilangan bulat genap tak negatif. - Diberikan bilangan asli $n$ dan bilangan-bilangan real positif $a_{1},a_{2},...,a_{n}$.
Buktikan bahwa $$(1+a_{1})^{2}(1+a_{2})^{3}⋯(1+a_{n})^{n+1}\ge (n+1)^{n+1}a_{1}a_{2}a_{n}$$ dan tentukan kapan kesamaan berlaku. - Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $AB > AC$ dan memiliki titik pusat lingkaran luar $O$. Garis $BO$ dan $CO$ memotong garis bagi $\angle BAC$ berturut-turut di titik $P$ dan $Q$. Selanjutnya, garis $BQ$ dan $CP$ berpotongan di titik $R$. Buktikan bahwa garis $AR$ tegak lurus terhadap garis $BC$.
- Diberikan 2012 titik berbeda $A_{1},A_{2},...,A_{2012}$ di bidang Cartesius. Untuk sebarang permutasi $B_{1},B_{2},...,B_{2012}$ dari $A_{1},A_{2},...,A_{2012}$, didefinisikan bayangan dari titik $P$ terhadap permutasi tersebut sebagai berikut.
Titik $P$ dirotasikan $180∘$ dengan pusat $B_{1}$ menghasilkan titik $P_{1}$,
titik $P_{1}$ dirotasikan $180∘$ dengan pusat $B_{2}$ menghasilkan titik $P_{2}, ⋯,$
titik $P_{2011}$ dirotasikan $180∘$ dengan pusat $B_{2012}$ menghasilkan titik $P_{2012}$.
Selanjutnya, titik $P_{2012}$ dikatakan sebagai bayangan dari titik $P$ terhadap permutasi
$B_{1},B_{2},...,B_{2012}$. Misalkan $N$ adalah banyak bayangan titik $P$ yang berbeda terhadap semua permutasi dari $A_{1},A_{2},...,A_{2012}$. Tentukanlah nilai terbesar yang mungkin bagi $N$. - Diberikan bilangan asli $m$ dan $n$. Misalkan $P$ dan $Q$ adalah dua kumpulan $m×n$ bilangan 0 dan 1 yang disusun dalam $m$ baris dan $n$ kolom. Contoh salah satu kumpulan itu untuk $m = 3$ dan $n = 4$ adalah
$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
Misalkan kedua kumpulan tersebut memenuhi empat sifat berikut.
(i) Pada setiap baris di $P$, bilangan dari kiri ke kanan tidak pernah naik (boleh sama atau turun),
(ii) Pada setiap kolom di $Q$, bilangan dari atas ke bawah tidak pernah naik (boleh sama atau turun),
(iii) Jumlah bilangan pada sebarang baris di $P$ sama dengan jumlah bilangan pada baris yang sama di $Q$, dan
(iv) Jumlah bilangan pada sebarang kolom di $P$ sama dengan jumlah bilangan pada kolom yang sama di $Q$.
Tunjukkanlah bahwa bilangan pada baris ke-$i$ kolom ke-$j$ di $P$ sama dengan bilangan pada baris ke-$i$ kolom ke-$j$ di $Q$ untuk setiap $i = 1,2,...,m$ dan $j = 1,2,...,n$. - Misalkan $R^{+}$ menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Tunjukkan bahwa tidak ada fungsi $f : R^{+}\longrightarrow R^{+}$ yang memenuhi
$$f (x + y) = f(x) + f(y) + \frac{1}{2012}$$ untuk setiap bilangan real positif $x$ dan $y$. - Misalkan $n$ bilangan asli. Buktikan bahwa persamaan $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{n}$$ memiliki solusi pasangan bilangan asli $(x, y)$ jika dan hanya jika $n$ habis dibagi oleh suatu
bilangan kuadrat yang lebih besar daripada 1. - Diberikan sebarang segitiga $ABC$ dan garis bagi $\angle BAC$ memotong sisi $BC$ dan lingkaran luar segitiga $ABC$ berturut-turut di $D$ dan $E$. Misalkan $M$ dan $N$ berturut-turut titik
tengah $BD$ dan $CE$. Lingkaran luar segitiga $ABD$ memotong $AN$ di titik $Q$. Lingkaran yang melalui $A$ dan menyinggung $BC$ di $D$ memotong garis $AM$ dan sisi $AC$ berturut-turut di titik $P$ dan $R$. Tunjukkan bahwa empat titik $B,P,Q,R$ terletak pada satu garis.
