ISIAN SINGKAT.
- Suatu dadu dengan mata dadu $1, 2, 3, 4, 5, 6$ dilempar sebanyak $11$ kali. Banyaknya cara sehingga angka $1$ muncul sebanyak $6$ kali, tetapi angka $1$ tidak pernah muncul secara berurutan adalah $\dots$
- Diketahui bilangan asli $a, b$ memenuhi $17a + 14b = 489$. Nilai terkecil yang mungkin dari $a + b$ adalah $\dots$
- Misalkan persamaan kuadrat $x^2 + 4x + 1$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$, serta persamaan kuadrat $x^2 + 12x + 1$ memilki akar-akar $r$ dan $s$. Nilai dari $(p – r)(q – r)(p – s)(q – s)$ adalah $\dots$
- Diberikan lingkaran $\Gamma_1$ dengan pusat $A$ dan lingkaran $\Gamma_2$ berpusat di $B$. Diketahui bahwa semua titik pada lingkaran $\Gamma_2$ terletak didalam atau pada lingkaran $\Gamma_1$. Misalkan $C$ suatu titik yang terletak didalam atau pada lingkaran $\Gamma_2$. Jika panjang jari-jari lingkaran $\Gamma_1$ adalah $16$, luas maksimum yang mungkin dari segitiga $ABC$ adalah $\dots$
- Banyaknya pasangan terurut bilangan asli $(a, b)$ sehingga $a$ membagi $b^2$, $b$ membagi $a^2$, dan $ab = 10^{10}$ adalah $\dots$
- Misalkan $a, b$ bilangan real positif. Jika nilai maksimum dari $(a + 7b)(9 – a^2 – b^2)$ adalah $M$, maka nilai dari $M^2 = \dots$
- Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle BAC = 60^\circ$. Titik $D, E, F$ berturut-turut terletak pada sisi $AB, BC$, dan $AC$ sehingga $BD = 100\sqrt{3}$, $FC = 50\sqrt{3}$, dan $BE = 2EC$.
Misalkan $G$ titik pada $DF$ sehingga $DG = 2GF$. Panjang ruas garis $EG = \dots$ - Banyaknya permutasi $a_1, a_2, \dots, a_8$ dari $1, 2, \dots, 8$ sehingga $$a_i < a_{i+2} \text{ untuk setiap } i \in \{1, 2, \dots, 6\} \text{ dan}$$ $$a_i < a_{i+3} \text{ untuk setiap } i \in \{1, 2, \dots, 5\}$$ adalah $\dots$
URAIAN
- Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip. Titik $D$ terletak pada garis $BC$ sehingga $AD$ tegak lurus $BC$. Misalkan titik $P$ dan $Q$ berturut-turut merupakan hasil refleksi titik $D$ terhadap garis $AB$ dan garis $AC$. Garis $AP$ dan garis $AQ$ memotong lingkaran luar $ABC$ berturut-turut di titik $R$ dan $S$ dengan $R \neq A$ dan $S \neq A$.
Tunjukkan bahwa $AR = AS$. - Misalkan pasangan bilangan real $(x, y)$ memenuhi sistem persamaan $$\sqrt{6x}\left(1 + \frac{1}{6x – y}\right) = 2$$ $$\sqrt{2y}\left(1 – \frac{1}{6x – y}\right) = 6$$ Tentukan nilai minimum yang mungkin dari $\frac{y}{x}$.
- Misalkan $A_1, A_2, \dots, A_{10}$ merupakan himpunan-himpunan bagian dari suatu himpunan $X$. Diketahui bahwa $$A_i \cup A_j \cup A_k = X \text{ untuk semua } 1 \leqslant i < j < k \leqslant 10,$$ dan $$A_i \cup A_j \neq X \text{ untuk semua } 1 \leqslant i < j \leqslant 10.$$ Buktikan bahwa himpunan $X$ memuat sedikitnya $45$ anggota.
- Misalkan $a$ dan $b$ adalah dua bilangan asli berbeda. Buktikan bahwa $$\prod_{i=0}^{2026} \text{fpb}(a + i, b + i)$$ membagi $2026! \times (a – b)$.
Catatan: Untuk setiap bilangan asli $n$, $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$, dan untuk setiap barisan bilangan $U_0, U_1, U_2, \dots, U_n$, $$\prod_{i=0}^{n} U_i = U_0 \times U_1 \times U_2 \times \dots \times U_n.$$