OSP SMA 2014 – JELAJAH NALAR

Jika $y = f(x)$ adalah fungsi yang memenuhi persamaan $$\frac{x}{|x|}+\frac{|y|}{y}= 2y$$ maka daerah hasil dari fungsi tersebut adalah ….
Jika $n \ge 1$ adalah bilangan asli, maka kelipatan persekutuan terkecil dari $3^n– 3$ dan $9^n + 9$ adalah ….
Diberikan persegi ABCD, titik P di dalam persegi sehingga AP = 3, BP = 7 dan DP = 5. Luas persegi ABCD adalah ….
Bilangan segitiga ke-$n$ adalah jumlah dari $n$ bilangan asli pertama. Didefinisikan $T_n$ adalah jumlah $n$ bilangan segitiga pertama. Jika $T_n + \text{x}T_{n−1} + \text{y}T_{n−2} = n$ dimana $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat, maka $x– y$ = ….
Lingkaran $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di titik A dan mempunyai garis singgung sekutu g yang menyinggung $L_1$ dan $L_2$ berturut-turut di B dan C. Jika BD merupakan diameter lingkaran $L_1$ dengan panjang 2, dan BC = 3, luas segitiga BDC adalah ….
Untuk sebarang bilangan real $x$, didefinisikan $⌊x⌋$ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. Jumlah 2014 digit terakhir dari $\left\lfloor \frac{60^{2014}}{7} \right\rfloor$ adalah ….
Untuk persiapan OSP, seorang guru mengadakan pembinaan kepada para siswa selama satu minggu. Setiap hari, pada minggu pembinaan tersebut, setiap siswa mengirimkan 5 email kepada siswa lain atau guru. Pada acara penutupan, setengah dari siswa mendapat 6 email sepertiga siswa mendapat 4 email dan sisanya masing-masing satu email. Sang guru mendapat 2014 email. Jika guru tersebut diperbolehkan mengambil cuti pada pekan pembinaan, maka banyaknya cuti yang digunakan adalah …. hari.
(Catatan: Saat guru mengambil cuti, siswa tetap belajar dikelas secara mandiri dan hanya mengirim email kepada sesama siswa)
Jumlah dari semua bilangan bulat $x$ sehingga $^{2}\log(x^2 − 4x − 1)$ merupakan bilangan bulat adalah ….
Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ berada dalam interval [0, 1], maka nilai maksimum dari $$\frac{(2a − b)(a − b)}{a(a − b + c)}$$ adalah ….
Semua $n \le 1000$ sedemikian sehingga bilangan $$9 + 99 + 999 + ⋯ +\underset{n \text{ angka}}{\underbrace{99…9}}$$ Pada digit-digitnya terdapat tepat $n$ buah angka 1 adalah ….
Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi satu satuan. Misalkan lingkaran L dengan AD sebagai diameter, dan pilih titik E pada sisi AB sehingga garis CE menjadi garis singgung pada L. Luas segitiga BCE adalah …
Suatu sekolah mempunyai empat kelompok belajar kelas 11. Masing-masing kelompok belajar mengirimkan dua siswa untuk suatu pertemuan. Mereka akan duduk melingkar dengan tidak ada dua siswa dari satu kelompok belajar yang duduk berdekatan. Banyaknya cara adalah ….
(Dua cara mereka duduk melingkar dianggap sama jika salah satu cara dapat diperoleh dari cara yang lain dengan suatu rotasi).
Dono memiliki enam kartu. Setiap kartunya ditulis satu bilangan bulat positif. Untuk setiap putaran, Dono mengambil 3 kartu secara acak dan menjumlahkan ketiga bilangan yang ada pada kartu-kartu tersebut. Setelah melakukan 20 kemungkinan dalam memilih 3 dari 6 kartu, Dono mendapatkan angka 16 sebanyak 10 kali dan angka 18 sebanyak 10 kali. Bilangan terkecil yang terdapat pada kartu adalah ….
Untuk bilangan real $t$ dan bilangan real positif $a$ dan $b$ berlaku $$2a^2– 3abt + b^2 = 2a^2 + abt – b^2 = 0$$. Nilai $t$ adalah ….
Misalkan S(n) menyatakan hasil penjumlahan digit-digit dari $n$. Sebagai contoh $$S(567) = 5 + 6 + 7 = 18.$$ Banyaknya bilangan asli n yang kurang dari 1000, sehingga $\frac{S(n)}{S(n + 1)}$ merupakan bilangan bulat adalah ….
Diberikan segitiga ABC, dengan sisi-sisi: $AB = c, BC = a, CA = b =\frac{1}{2}(a + c)$. Ukuran terbesar dari $angle ABC$ adalah ….
Di dalam segitiga ABC, digambar titik X, Y, Z dengan aturan $$\angle XBC = \angle ZBA =\frac{\angle ABC}{3},$$ $$\angle XCB = \angle YCA =\frac{\angle BCA}{3},$$ $$\angle ZAB = \angle YAC =\frac{\angle BAC}{3}.$$ Besar sudut $\angle XYZ$ adalah ….
Misalkan $0 < \alpha,\beta,\gamma<\frac{\Pi}{2}$ dan $\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{4}$. Banyaknya tripel bilangan bulat positif (a, b, c) sehingga tan $\alpha = \frac{1}{a}$, tan $\beta =\frac{1}{b}$, dan tan $\gamma =\frac{1}{c}$ adalah ….
Semua tripel bilangan ganjil berurutan (a, b, c) dengan a < b < c sedemikian sehingga $a^2 + b^2 + c^2$ merupakan bilangan dengan 4 digit (angka) yang semua digitnya sama adalah ….
Diketahui suatu pertikel pada koordinat Cartesius, semula terletak pada titik asal (0,0). Partikel tersebut bergerak, setiap langkah adalah satu unit searah sumbu X positif, searah sumbu X negatif, searah sumbu Y positif atau seaarah sumbu Y negatif. Banyaknya cara partikel tersebut bergerak agar setelah bergerak 9 langkah partikel tersebut sampai pada titik (2, 3) adalah ….