- Diberikan tiga lingkaran dengan radius $r = 2$, yang saling bersinggungan. Total luas dari ketiga lingkaran tersebut berikut daerah yang dibatasinya sama dengan …
- 2013 lampu dikontrol oleh 2013 tombol saklar yang diberi nomor 1, 2, 3, … , 2013. Menekan tombol saklar satu kali akan merubah nyala lampu (hidup atau mati). Pada awalnya semua lampu dalam keadaan mati. Pada hari pertama, semua tombol saklar ditekan satu kali. Pada hari kedua, semua tombol saklar bernomor 2 atau kelipatan 2 ditekan sekali. Dengan melakukan hal yang sama pada hari ke-n, semua tombol saklar lampu bernomor n atau kelipatan n ditekan sekali. Demikian seterusnya. Berapa banyak lampu dalam kondisi hidup setelah operasi pada hari ke 2013 dilakukan ?
- Diberikan fungsi real $f$ dengan $f(x) = \frac{cx}{2x-3},x \neq \frac{3}{2}$ dan $f(f(x)) = x$ untuk semua $x \neq \frac{3}{2}$. Nilai $f(2013)$ adalah …
- Pasangan bilangan bulat positif $(x, y)$ yang memenuhi $$\frac{xy^{2}}{x+y}$$ bilangan prima adalah …
- Jika $|x| + x + y = 10$ dan $x + |y| − y = 12$, maka nilai dari $x + y$ adalah …
- Banyaknya bilangan bulat positif $n$ yang memenuhi $$n^{2} – 660$$ merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah …
- Ada berapa barisan sembilan suku $a_{1}, a_{2}, … , a_{9}$ yang masing-masing sukunya adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, atau 9, dan memuat tepat satu urutan $a_{i}, a_{j}$ dimana $a_{i}$ genap dan $a_{j}$ ganjil?
- Bilangan asli $n$ dikatakan “cantik” jika $n$ terdiri dari 3 digit berbeda atau lebih dan digit-digit penyusunnya tersebut membentuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Sebagai contoh 123 bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmetika. Banyak bilangan cantik adalah …
- Misalkan $M$ adalah titik tengah sisi $BC$ pada segitiga $\Delta ABC$ dan $\angle CAB = 45\circ, \angle ABC = 30\circ$, maka
$\tan \angle AMC$ adalah … - Diberikan bilangan prima $p > 2013$. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan-bilangan asli sehingga $a + b$ habis dibagi $p$ tetapi tidak habis dibagi $p^{2}$. Jika diketahui $a^{2013} + b^{2013}$ habis dibagi $p^{2}$ maka banyak bilangan asli $n \le 2013$ sehingga $a^{2013} + b^{2013}$ habis dibagi $p^{n}$ adalah …
- Ada enam anak TK masing-masing membawa suatu makanan. Mereka akan mengadakan kado silang, yaitu makanannya dikumpulkan dan kemudian dibagi lagi sehingga masing-masing anak menerima makanan yang bukan makanan yang dibawa semula. Banyaknya cara untuk melakukan hal tersebut adalah …
- Grafik parabola $y = x^{2}– a$ dan $x = y^{2} – b$ dengan $a > 0$ dan $b > 0$, berpotongan di empat titik $(x1, y1),(x2, y2), (x3, y3)$, dan $(x4, y4)$. Nilai $4(x1 + x2)(x1 + x3)(x1 + x4)$ adalah …
- Sebuah dadu dilempar 2 (dua) kali. Misalkan a dan b berturut-turut adalah angka yang muncul pada pelemparan pertama dan kedua. Besarnya peluang terdapat bilangan real $x, y$ dan $z$ yang memenuhi persamaan $$x+y+z=a$$ dan $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=b$$ sebesar …
- Misalkan $\Delta_{1}\Delta _{2}\Delta _{3}$ adalah barisan segitiga sama sisi dengan panjang sisi $\Delta_{1}$ adalah 1. Untuk $n\ge 1$, segitiga $\Delta_{n+1}$ didefinisikan dengan cara sebagai berikut: pertama didefinisikan $P_{n}$ sebagai persegi yang titik-titik sudutnya terletak pada sisi-sisi $\Delta_{n}$, selanjutnya didefinisikan $L_{n}$ sebagai lingkaran
terbesar di dalam $P_{n}$, kemudian didefinisikan $\Delta_{n+1}$, sebagai segitiga sama sisi yang titik-titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Panjang sisi dari $\Delta_{2013}$ adalah … - Suatu barisan $x_{1}, x_{2},…, x_{n},…$ didefinisikan dengan $x_{1}=2$ dan $x_{n+1}=\left( 1+\frac{1}{n} \right)\chi_{n}+\frac{2}{n}$ untuk setiap bilangan asli $n$. Nilai $x_{2013}$ adalah …
- Diberikan bujursangkar dengan panjang sisi sama dengan $2\sqrt{3}$. Didalam bujursangkar tersebut terdapat dua segitiga sama sisi dengan alas merupakan sisi-sisi bujursangkar yang berhadapan. Perpotongan kedua segitiga sama sisi membentuk rhombus. Luas rhombus sama dengan …
- Bilangan bulat positif $a$ dan $b$ yang memenuhi $FPB (a, b) = 1$ dan $$\frac{a}{b}+\frac{25b}{21a}$$ bilangan bulat ada sebanyak …
- Diberikan segitiga $ABC; AB = 20, AC = 21$ dan $BC = 29$. Titik $D$ dan $E$ terletak pada segmen $BC$, sehingga $BD = 8$ dan $EC = 9$. Besarnya $\angle DAE$ sama dengan …
- Suatu kompetisi diikuti oleh 20 peserta. Pada setiap ronde, dua peserta bertanding. Setiap peserta yang kalah dua kali dikeluarkan dari kompetisi, peserta yang terakhir berada di kompetisi adalah pemenangnya. Jika diketahui pemenang kompetisi tidak pernah kalah, banyaknya pertandingan yang dilangsungkan pada kompetisi tersebut adalah …
- Jumlah dari semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi $^{2}\log(x^{2}-4x-1)$ merupakan bilangan bulat adalah …
- Ada dua gelas, gelas A berisi 5 bola merah, dan gelas B berisi 4 bola merah dan satu bola putih. Satu gelas dipilih secara acak dan kemudian satu bola diambil secara acak dari gelas tersebut. Hal ini dilakukan berulang kali sampai salah satu gelas kosong. Tentukan probabilitas bahwa bola putih tidak terambil.
- Untuk sebarang bilangan real $x$, didefinisikan $⌊x⌋$ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. Tentukan banyak bilangan asli $n \le 1.000.000$ sehingga $$\sqrt{n}-\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor\lt \frac{1}{2013}$$
- Suatu bilangan asli $n$ dikatakan “valid” jika $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + … + m^{n}$ habis dibagi $1 + 2 + 3 +…+ m$ untuk setiap bilangan asli $m$.
a. Tunjukkan bahwa 2013 valid.b. Buktikan bahwa ada tak hingga banyak bilangan yang tidak valid.
- Buktikan bahwa untuk semua bilangan real positif $a, b, c$ dengan $a + b + c \le 6$ berlaku $$\frac{a+2}{a(a+4)}+\frac{b+2}{b(b+4)}+\frac{c+2}{c(c+4)}\ge 1$$
- Diberikan segitiga $ABC$ lancip. Garis tinggi terpanjang adalah dari titik sudut $A$ tegak lurus pada $BC$, dan panjangnya sama dengan panjang median (garis berat) dari titik sudut $B$.
Buktikan bahwa $\angle ABC \le 60\circ$.
Keranjang Belanja