OSN SMA 2024 – JELAJAH NALAR

Carilah semua pasangan bilangan real positif $a$, $b$ yang memenuhi sistem persamaan $$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6$$ $$\sqrt{a-5}+\sqrt{b-5}=4$$
Triplet bilangan bulat positif $(a,b,c)$ dengan $a<b<c$ disebut fatal jika terdapat tiga bilangan bulat tak nol $p,q,r$ yang memenuhi persamaan $$a^p.b^q.c^r=1$$
Sebagai contoh, $\{2,3,12\}$ adalah triplet fatal karena $2^2.3^1.(12)^{-1}=1$
Bilangan asli $N$ disebut fatal jika terdapat triplet fatal $(a,b,c)$ sehingga $N=a+b+c$
(a) Buktikan bahwa 16 tidak fatal.
(b) Buktikan bahwa semua bilangan bukan kelipatan 6 yang lebih besar dari 16 fatal.
Diberikan segitiga $ABC$ yang lingkaran luarnya berpusat di $O$ dan ketiga garis tingginya berpotongan di $H$. Garis $AH$ dan garis $BH$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ sekali lagi berturut-turut di titik $D$ dan $E$. Misalkan $A’$ dan $B’$ berturut- turut menyatakan titik pusat lingkaran luar segitiga $AHE$ dan lingkaran luar segitiga $BHD$. Jika $A’,B’,O$ dan $H$ tidak segaris, buktikan $OH$ melalui titik tengah ruas garis $A’B’$.
Kobar dan Borah bermain di papan tulis dengan aturan sebagai berikut: Diberikan dua buah bilangan asli berbeda di papan. Pada setiap langkah, dimulai dari Kobar, masing-masing pemain secara bergiliran mengubah bilangan di papan, dari $P$ dan $Q$, menjadi $2PQ$ dan $2Q-P$ atau dari $P$ dan $Q$ menjadi $5P-4Q$ dan $5Q-4P$. Permainan berakhir saat ada pemain yang memunculkan bilangan tak positif. Pemain tersebut dinyatakan kalah, dan lawannya dinyatakan menang.
Di awal permainan, bilangan yang tertulis di papan adalah 2024 dan $A$. Jika diketahui Kobar dapat melangsungkan langkah pertamanya, tentukan nilai $A$ terbesar yang mungkin sehingga Borah dapat memenangkan permainan ini.
Setiap bilangan bulat diwarnai dengan tepat satu dari warna berikut: merah, biru, atau oranye, dan ketiga warna tersebut digunakan dalam pewarnaan. Pewarnaan ini juga memenuhi sifat-sifat berikut:
1. Jumlah bilangan merah dan bilangan oranye menghasilkan bilangan berwarna biru,
2. Jumlah bilangan oranye dan biru menghasilkan bilangan berwarna oranye;
3. Jumlah bilangan biru dan bilangan merah menghasilkan bilangan berwarna merah.
(a) Buktikan bahwa $0$ dan $1$ pasti memiliki warna yang berbeda.
(b) Tentukan semua kemungkinan pewarnaan bilangan bulat yang juga memenuhi sifat-sifat yang disebutkan di atas.
Misalkan $A_1 A_2 \ldots A_n$ adalah poligon bersisi $n$ dengan $n \geq 3$ dan $\angle A_j \leq 180^{\circ}$ untuk setiap $j$ (dengan kata lain, poligon tersebut cembung atau memiliki sisi berbeda kurang dari $n$).
Untuk setiap $i \leq n$, misalkan $\alpha_i$ adalah nilai terkecil yang mungkin dari $\angle{A_i A_j A_{i+1}}$ di mana $j$ bukan $i$ maupun $i+1$. (Di sini, kita mendefinisikan $A_{n+1} = A_1$.) Buktikan bahwa
$$\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n \leq 180^{\circ}$$ dan tentukan semua kasus persamaan.
Misalkan $P(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ di mana $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ adalah bilangan riil untuk $n\geq 1$ (polinomial monik derajat ke-$n$ dengan koefisien riil). Jika pertidaksamaan
$$3(P(x)+P(y)) \geq P(x+y)$$ berlaku untuk semua bilangan riil $x,y$, tentukan nilai minimum yang mungkin dari $P(2024)$.
Misalkan $n \ge 2$ adalah bilangan bulat positif. Misalkan $a_1, a_2, \dots, a_n$ adalah bilangan bulat yang berbeda. Untuk $k = 1, 2, \dots, n$, misalkan $$s_k := \prod_{\substack{i \not= k, \\ 1 \le i \le n}} |a_k – a_i|,$$ yaitu $s_k$ adalah hasil kali semua suku dalam bentuk $|a_k – a_i|$, di mana $i \in \{ 1, 2, \dots, n \}$ dan $i \not= k$.
Temukan bilangan bulat positif terbesar $M$ sehingga $M$ membagi kelipatan persekutuan terkecil dari $s_1, s_2, \dots, s_n$ untuk setiap pilihan $a_1, a_2, \dots, a_n$.