- Diberikan segitiga lancip $ABC$ dan titik $D$ pada segmen $BC$. Lingkaran $c_1$ adalah lingkaran yang melalui $A, D$ dan memiliki titik pusat pada garis $AC$, sedangkan lingkaran $c_2$ adalah lingkaran yang melalui $A, D$ dan memiliki titik pusat pada garis $AB$. Misalkan $P \neq A$ adalah titik potong lingkaran $c_1$ dengan $AB$ dan $Q \neq A$ adalah titik potong lingkaran $c_2$ dengan $AC$. Buktikan bahwa $AD$ garis bagi $\angle PDQ$.
- Misalkan $P(x) = ax^2 + bx + c$ dengan $a, b, c$ real. Jika $$P(a) = bc, P(b) = ca, P(c) = ab$$ Buktikan bahwa $$(a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) = 0$$
- Tentukan semua fungsi $f : \mathbb{N\mapsto N}$ sehingga $n^2 + f(n)f(m)$ merupakan bilangan kelipatan $f(n) + m$ untuk setiap bilangan asli $n, m$.
- Diberikan papan catur berukuran $2n$ × $2n$ yang setiap petaknya diwarnai dengan salah satu dari $n$ warna. Buktikan bahwa terdapat dua petak yang terletak di dalam kolom yang sama atau baris yang sama, sehingga jika pewarnaan kedua petak tersebut ditukar, maka terdapat persegi panjang yang keempat petak pada semua sudutnya memiliki warna yang sama.
- Suatu himpunan $A$ memuat tepat $n$ bilangan bulat yang masing-masing lebih besar dari 1 dan setiap faktor primanya kurang dari 10. Tentukan $n$ terkecil sehingga $A$ pasti memuat dua anggota berbeda $a$ dan $b$ dengan $ab$ adalah kuadrat dari suatu bilangan bulat.
- Diberikan segiempat talibusur $ABCD$. Misalkan $X$ titik pada sisi $BC (X \neq C)$ sehingga garis $AX$ tegak lurus dengan garis bagi $\angle CBD$, dan $Y$ titik pada sisi $AD (Y \neq D)$ sehingga garis $BY$ tegak lurus dengan garis bagi $\angle CAD$. Buktikan bahwa $XY$ sejajar dengan $CD$.
- Tentukan semua polinom dengan koefisien bilangan real $P(x)$ yang memenuhi $$P(\left\lfloor x \right\rfloor)=\left\lfloor P(x) \right\rfloor$$ untuk setiap bilangan real $x$.
- Tentukan bilangan asli terkecil $n > 2$, atau buktikan bahwa tidak ada bilangan asli $n$ yang memenuhi sifat berikut: Terdapat bilangan asli $a_1, a_2, a_3 ,··· , a_n$ sehingga $$gcd(a_1, a_2, a_3,··· , a_n) =\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{1}{\text{gcd}(a_k,a_{k+1})}+\frac{1}{\text{gcd}(a_k,a_{k+2})}+…+\frac{1}{\text{gcd}(a_k,a_n)} \right)$$
Catatan: $\text{gcd}(a_1, a_2, a_3,··· , a_n)$ adalah faktor persekutuan terbesar dari $a_1, a_2, a_3,… , a_n$.
Keranjang Belanja