- Diberikan $n$ dan $r$ bilangan asli yang memenuhi $1 + 2 + ··· + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + ··· + (n + r)$. Buktikan bahwa $n$ bilangan komposit.
- Diberikan 200 kotak merah yang masing-masing berisi maksimal 19 bola dan minimal 1 bola dan 19 kotak biru yang masing-masing berisi maksimal 200 bola dan minimal 1 bola. Diketahui banyak bola pada kotak biru kurang dari banyak bola pada kotak merah. Buktikan ada sekelompok kotak merah yang jumlah bolanya sama dengan sekelompok kotak biru.
- Diberikan sebuah persegi panjang $ABCD$ dengan $AD > AB$. Titik $E$ pada $AD$ sehngga $BE$ tegak lurus $AC, BE$ memotong $AC$ di $M$. Lingkaran luar segitiga $BEA$ memotong $AC$ dan $BC$ berturut-turut di $N$ dan $F$. Lingkaran luar segitiga $DEN$ memotong $CD$ di $G$. Jika garis $FG$ memotong $AB$ di $P$, buktikan bahwa $PM = PN$.
- Katakan sebuah susunan kesatuan sebagai susunan kesatuan segitiga apabila dapat dibuat:
$$a + b = c$$
$$d + e + f = g + h$$
$$i + j + k + l = m + n + o$$
Dimana ruas kiri baris ke-$j$ terdiri dari $j + 1$ suku dan ruas kanan baris ke-$j$ terdiri dari $j$ suku. Diberikan bilangan dari 1,2,3,··· ,$N^2$ dengan sebarang satu bilangan yang paritas sama dengan $N$ dihapus. Buktikan bilangan yang tersisa dapat dibentuk suatu kesatuan segitiga. - Diberikan bilangan real $a$ dan $b$ sehingga ada tak terhingga banyak bilangan asli $m$ dan $n$ yang memenuhi $$\left\lfloor am+b \right\rfloor\le\left\lfloor a+bm \right\rfloor \text{ dan } \left\lfloor an+b \right\rfloor\ge\left\lfloor a+bn \right\rfloor$$
Buktikan bahwa $a=b$ - Diberikan lingkaran dengan pusat $O$. Titik $A$ didalam lingkaran namun tidak pada keliling lingkaran. Titik $B$ merupakan refleksi $A$ terhadap $O$. Sebarang titik $P$ terletak pada keliling lingkaran. Garis yang tegak lurus $AP$ dan melewati $P$ memotong lingkaran di $Q$. Buktikan $AP \text{×} BQ$ konstan selama $P$ bergerak di lingkaran.
- Tentukan semua solusi dari $x, y, m, n$ bilangan asli dan $p$ prima yang memenuhi $$x + y^2 = p^m$$ $$x^2 + y = p^n$$
- Diberikan $n>1$ dan $a_i$ bilangan bulat pada rentang [$-n,n$]. Apabila $a_1+a_2+…+a_{2n}=n+1$, buktikan ada sekolompok $a_i$, yang jumlahnya 0.
Keranjang Belanja