ISIAN SINGKAT
- Diberikan suatu dadu tidak standar dengan bilangan pada sisi-sisinya 1, 2, 5, 8, 13, 21, dan 34. Dadu tersebut dilemparkan dua kali. Banyaknya kemungkinan jumlah bilangan yang muncul merupakan suatu bilangan pada sisi dadu tersebut adalah …
- Misalkan $u_1, u_2, u_3, …$ adalah barisan geometri yang memenuhi persamaan $$u_2+u_4+u_6+u_8=31 \text{ dan } u_1+\frac{u_2}{u_1}=149$$ Nilai $u_1+u_2+u_3+u_4+…=…$
- Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan titik $P$ dan $Q$ pada sisi $BC$, titik $R$ pada sisi $AQ$ sehingga $$|PB=|PQ|=|PR|\text{ dan }|QC|=|QR|.$$ Diketahui bahwa $ACPR$ merupakan segiempat talibusur. Jika $\angle APR=54^o$, maka $\angle ABC$ = …
Catatan: notasi $|XY|$ mengatakan panjang ruas garis $XY$. - Misalkan bilangan asli $a,b,c,d$ memenuhi persamaan $$2^a+2^b+2^c=4^d.$$ Jika $a+b+c+d\le 500$, maka nilai terbesar yang mungkin dari $d$ adalah …
- Misalkan $f$ suatu polinomial monik berderajat 5. Sehingga $$f(1)=4, f(2)=7, f(3)=12, f(4)=19\text{ dan } f(5)=28.$$ Nilai $f(6)=…$
Catatan: Polinomial $P(x)$ berderajat $n$ disebut polinomial monik jika koefisien dari $x^n$ adalah 1. - Banyaknya bilangan asli 8 digit yang hanya terdiri dari digit-digit 1 atau 2 serta tidak memuat 121 maupun 212 adalah …
Catatan:
– Contoh bilangan 5 digit yang memenuhi syarat tersebut adalah 12211 dan 22222.
– Contoh bilangan 5 digit yang tidak memenuhi syarat adalah 11211 dan 21222. - Diberikan segiempat konveks $ABCD$ dengan luas 288, $AC$ tegak lurus $BD$, dan $AB$ tidak sejajar $CD$. Misalkan $P$ suatu titik di dalam segiempat $ABCD$. Selanjutnya, misalkan $Q$ dan $R$ berturut-turut merupakan proyeksi titik $P$ pada sisi $AC$ dan $BD$. Jika $AQ|:|CQ|=5:3$ dan $|BR|:|DR|=7:2$, maka selisih luas segitiga $ABP$ dengan luas segitiga $CDP$ adalah …
Catatan: Segiempat konveks adalah segiempat yang memenuhi:
– Perpotongan kedua diagonalnya terletak didalam segiempat.
– Keempat sudut dalam dari segiempat tersebut kurang dari $180^o$. - Banyaknya bilangan asli $(a,b)$ dimana $1\le a,b\le 19^2$ sehingga $$a^4+b^3\text{ habis dibagi }19^2$$ adalah …
ESAI
- Tentukan banyaknya bilangan asli $n\ge 2$ sedemikian sehingga terdapat $n$ bilangan bulat berurutan yang jumlahnya 2025.
- Misalkan $S$ adalah himpunan semua tripel bilangan real positif $(a,b,c)$ yang memenuhi $a+b+c=ab+bc+ca$.
a) Buktikan bahwa ketaksamaan $$\min{a+b,b+c,c+a}>1$$ berlaku untuk setiap $(a,b,c)\in S$.
b) Apakah terdapat tripel $(a,b,c)\in S$ sehingga $$\min{a+b,b+c,c+a}<1+\frac{1}{20^25}$$
Catatan: Notasi $\min{x,y,z}$ menyatakan bilangan terkecil di antara $x,y,z$. - Pada segitiga $ABC$, misalkan $D$ titik tengah ruas garis $AB$ dan $E$ titik pada sisi $BC$. Misalkan garis yang melalui $E$ dan sejajar $AB$ memotong garis bagi $\angle ACB$ di titik $P$. Misalkan juga $I$ titik pusat lingkaran dalam segitiga $ABC$ dan $J$ titik pusat lingkaran singgung luar dari segitiga $ABC$ yang menyinggung sisi $CA$ (bukan perpanjangan sisi $CA$). Garis $DJ$ memotong sisi $CA$ di titik $F$.
(a) Buktikan bahwa garis $IF$ sejajar dengan $AB$.
(b) Buktikan bahwa garis $AP,BJ$, dan $EF$ berpotongan di satu titik. - Diberikan suatu segitiga pada bidang $xy$ dengan ketiga titik sudutnya bukan merupakan titik latis dan ketiga sisinya tidak melalui titik latis. Diketahui juga bahwa segitiga tersebut memuat paling sedikit 10 titik latis di bagian dalamnya. Buktikan bahwa terdapat 4 titik latis di bagian dalam segitiga tersebut yang terletak pada satu garis.
Catatan: Pada bidang $xy$, titik latis adalah titik berbentuk $(a,b)$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat.