OSN SMA 2025 – JELAJAH NALAR

Untuk setiap bilangan bulat positif $n$ , definisikan $f(n)$ sebagai jumlah pasangan terurut bilangan bulat positif $(x, y)$ di mana $x,y \le n$ sedemikian sehingga FPB dari $x, y,$ dan $n$ sama dengan $$1$ . Buktikan bahwa untuk setiap bilangan komposit $n$ , $$f(n)\le n^2-n$$ dan tentukan semua bilangan bulat positif $n$ sedemikian sehingga kesamaan berlaku.
Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan pusat lingkaran luar $O$ . Misalkan $D$ dan $E$ adalah titik-titik pada lingkaran luar segitiga $ABC$ sedemikian sehingga $AD$ tegak lurus terhadap $BC$ dan $BE$ tegak lurus terhadap $CA$ . Segmen $CD$ memotong lingkaran dengan diameter $DO$ di $P$ , sedangkan segmen $CE$ memotong lingkaran dengan diameter $YA$ di $Q$ . Buktikan bahwa $OP=OQ$ .
Diberikan papan berukuran $2 × 25$ . Beberapa label ditempatkan pada beberapa kotak berukuran $1 × 1$ dipapan dengan kriteria berikut:
(a) Label yang digunakan adalah bilangan bulat positif berurutan mulai dari $$1$ .
(b) Setiap kotak mendapat label maksimal $$1$ dan setiap label digunakan tepat sekali.
(c) Kotak pada baris pertama dan kolom pertama diberi label $$1$ dan label terakhir diberikan kepada kotak pada kolom ke-25.
(d) Dua kotak dengan label berurutan berbagi satu sisi.
(e) Untuk setiap $2 × 2$ kotak, terdapat kotak tanpa label.
Buktikan bahwa jumlah kemungkinan pemberian label sedemikian sehingga label terakhir berada di baris pertama sama dengan jumlah kemungkinan pemberian label sedemikian sehingga label terakhir berada di baris kedua.
Misalkan $(a_n)_{n \ge 1}$ dan $(b_n)_{n\ge 1}$ adalah barisan bilangan real positif sedemikian sehingga $a_1, b_1<5$ dan untuk setiap bilangan bulat positif $n$ , $$a_{n+1}=\frac{b_n+\sqrt{a_nb_n}}{2}\text{ dan }b_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n(a_n+b_n)}{2}}.$$ Buktikan bahwa $$|a_{20}-b_{20}<\frac{1}{2025}.$$
Misalkan $A_1,A_2,\dots, A_n$ adalah himpunan bagian dari $X = \{1,2,\dots, 22\}$ , masing-masing dengan 15 elemen. Diketahui bahwa untuk setiap $B\subseteq X$ dengan $$10$ elemen, terdapat $i,j \in \{1,2,\dots, n\}$ sedemikian sehingga $B \subseteq A_i \cap A_j$ . Buktikan bahwa $n\ge 431$ .
Misalkan $\mathbb{R}^+$ adalah himpunan bilangan real positif. Tentukan semua fungsi $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ sedemikian sehingga $$f(x+y)=\text{max}(f(x),y)+\text{min}(f(y),x)$$ untuk semua $x,y \in \mathbb{R}^+$ .
Suatu bilangan bulat positif $n$ disebut $asri$ jika terdapat bilangan bulat positif $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $$n=ab+20a+25b.$$
(a) Buktikan bahwa terdapat bilangan bulat bukan $asri$ positif yang lebih besar dari $20^{25}$ .
(b) Buktikan bahwa terdapat bilangan bulat positif $$26$ berurutan $asri$ .
Misalkan $ABC$ adalah segitiga sedemikian sehingga $BC > CA$ dan $M$ adalah titik tengah dari $AB$ . Lingkaran dalam segitiga $ABC$ menyinggung $BC, CA$ , dan $AB$ di $D, E,$ dan $F$ berturut-turut. Misalkan $DARI$ dan $AB$ berpotongan di $G$ . Titik $O$ adalah pusat lingkaran luar segitiga $FCG$ dan $OA$ berpotongan dengan lingkaran luar segitiga $FOG$ di $H$ ( $H \neq O$ ) . Jika $\angle OCB = 90^\circ$ , buktikan bahwa $MH$ menyinggung lingkaran luar segitiga $FOG$ .