Pengantar Persamaan Fungsional
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Definisi
- Contoh Soal
Definisi
Definisi 1. Persamaan yang memuat satu atau lebih fungsi yang tidak diketahui disebut persamaan fungsional, jika operasi dalam persamaan tersebut hanya berupa operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi fungsi saja.
Fungsi apa pun yang menyebabkan persamaan menjadi identitas pada domain fungsi disebut solusi persamaan.
Proses untuk menemukan beberapa atau semua solusi disebut penyelesaian persamaan.
Meskipun Cauchy telah menyelidiki “Masalah Cauchy” yang terkenal sekitar 150 tahun yang lalu, hingga saat ini kita masih belum memiliki deskripsi yang jelas dan lengkap tentang teori dan metode ideal untuk persamaan fungsional. Soal-soal dan metode-metode baru terus bermunculan, seperti dalam kompetisi Olimpiade Matematika. Meskipun demikian, kami yakin bahwa metode dan alat yang tercantum berikut ini penting untuk menemukan fungsi yang tidak diketahui berdasarkan kondisi-kondisi yang diberikan dalam suatu soal.
- Metode Chaucy. Tentukan suatu fungsi langkah demi langkah: pada $\mathbb{N}$ terlebih dahulu, kemudian pada $\mathbb{Z}$, kemudian pada $\mathbb{Q}$, dan terakhir pada $\mathbb{R}$.
- Evaluasi Variabel. Ketika persamaan yang diberikan mengandung satu variabel $x$, dengan membiarkan $x$ memiliki nilai khusus tertentu, seperti $0, \pm 1$, dst., kita dapat menentukan nilai fungsi yang tidak diketahui pada titik $0, 1,$ dst., yang seringkali penting untuk menyederhanakan persamaan yang diberikan. Dalam kasus multivariat, mengevaluasi nilai beberapa variabel terkadang diperlukan untuk mengurangi jumlah variabel atau menyederhanakan struktur persamaan.
- Substitusi Variabel atau Fungsi. Ini adalah alat yang berguna untuk menyederhanakan struktur persamaan yang diberikan, tetapi penggunaannya sangat fleksibel.
- Penerapan sifat-sifat fungsi yang tidak diketahui. Menentukan fungsi yang tidak diketahui untuk menentukan suatu fungsi mungkin lebih mudah jika terdapat informasi tentang keterbatasan, simetri, kontinuitas, momotonicity, periodisitas, injektivitas, surjektivitas, dan bijektivitas.
- Metode Rekursif. Model rekursif merupakan metode yang berguna untuk menentukan suatu fungsi.
- Induksi Matematika. Dalam beberapa tahun terakhir, banyak permasalahan persamaan fungsional menunjukkan bahwa mereka dapat diselesaikan dengan menggunakan induksi matematika.
Contoh Soal
- Temukan fungsi monoton $f(x),$ $x\in\mathbb{R}$, yang memenuhi $$f(x+y)=f(x)+f(y).\text{ (yang dikenal sebagai persamaan Cauchy.)}$$
Solusi: Dengan menggunakan (30.1) berulang kali, maka mudah untuk membuktikan bahwa untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ dan nilai nyata $x_1,x_2,…,x_n$, $$f(x_1+x_2+…+x_n)=f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n).$$ Maka misalkan $x_1=x_2=…=x_n=x$ menghasilkan $$f(nx)=nf(x)\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\forall n\in\mathbb{N},\text{ }x\in\mathbb{R}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.2)$$ Menggunakan $\frac{x}{n}$ sebagai $x$ dalam (30.2) maka mengarah ke $$f\left(\frac{1}{n}x\right)=\frac{1}{n}f(x),$$ dan mengganti $mx$ ke dalamnya sebagai $x$ mengarah ke $$f\left(\frac{m}{n}x\right)=\frac{m}{n}f(x)\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\forall n,m\in \mathbb{N},\text{ }x\in\mathbb{R}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.3)$$ Substitusi $x=y=0$ ke dalam (30.1) memberikan $f(0)=2f(0)$, yaitu $f(0)=0$. Maka substitusi $y=-x$ ke dalam (30.1) menghasilkan $f(-x)=-f(x)$, oleh karena itu $$f\left(-\frac{m}{n}x\right)=-\frac{m}{n}f(x)\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\forall n,m\in\mathbb{N},\text{ }x\in\mathbb{R}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.4)$$ Kombinasi (30.3) dan (30.4), kita memperoleh $$f(rx)=rf(x)\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\forall r\in \mathbb{Q},\text{ }x\in\mathbb{R}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.5)$$ Dari (30.5), dengan misalkan $x=1$, kita memiliki $f(r)=Cr$, dimana $C=f(1).$
Sekarang untuk setiap bilangan irasional $\lambda$, terdapat bilangan rasional $r_1<r_2$ sehingga $r_1\lambda <r_2$. Jika $f(x)$ adalah fungsi tidak menurun, maka $f(r_1)\le f(\lambda)\le f(r_2),$ yaitu $$Cr_1\le f(\lambda)\le Cr_2.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.6)$$ Karena kita dapat mengambil urutan bilangan rasional yang meningkat, $\{r_1^n,n=1,2,…,\},$ dan urutan bilangan rasional yang meningkat $\{r_1^n,n=1,2,…\},$ sehingga $$\lim_{n\to +\infty }r_1^n=\lim_{n\to +\infty }r_2^n=\lambda,$$ kita memperoleh $$f(\lambda)=C(\lambda),\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\forall \lambda \in\mathbb{R}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.7)$$ Jika $f$ tidak menaik, pembahasannya serupa dan kita bisa mendapatkan hasil yang sama (30.7). Jelas bahwa $f(x)=Cx$ $(x\in\mathbb{R})$ memenuhi (1), oleh karena itu fungsinya diberikan oleh $$f(x)=Cx\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\forall x \in \mathbb{R}$$ adalah solusi monoton unik dari persamaan (30.1). Pembahasannya serupa ketika $f$ menurun.Catatan: Faktanya, jika fungsi $f(x)$ memenuhi (30.1) dan salah satu dari kondisi berikut:
(A) $f(x)$ dibatasi pada suatu interval $(a,b)$, tidak peduli seberapa kecil intervalnya;
(B) Terdapat suatu interval $[0,\in]$, dimana $\in >0$, sedemikian rupa sehingga $f(x)\ge 0$ pada interval $f(x)\le 0$ pada interval;
(C) $f(x)$ kontinu di suatu titik $x_0$,
maka itu pasti fungsi $f(x)=Cx$. - Fungsi bernilai riil $f$ memenuhi relasi $$f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15x\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.8)$$ untuk semua nilai riil $x$. Carilah $f(2011)$.
Solusi: Dengan menggantikan $x$ dengan $1-x$ dalam (30.8), maka diperoleh $$f(x^2-3x+2)+2f(x^2+x)=9x^2-3x-6.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.9)$$ Dengan mengeliminasi $f(x^2-3x+2)$ dari dua persamaan simultan (30.8) dan (30.9), kita memperoleh $$3f(x^2+x)=9x^2+9x-12=9(x^2+x)-12.$$ yaitu $f(x^2+x)=3(x^2+x)-4,x\in\mathbb{R}$. Karena persamaan $x^2+x=2011$ memiliki akar riil, jadi ada $x_0$ sehingga $x_0^2+x_0=2011$. Maka, $$f(2011)=f(x_0^2+x_0)=3(2011)-4=6029.$$ - Temukan semua fungsi $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ yang memenuhi
(i) $f(n)f(-n)=f(n^2);$
(ii) $f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn.$
Solusi: Misalkan $g(n)=f(n)-n^2,n=1,2,…$ Maka kondisi (ii) memberikan $$g(m+n)=f(m+n)-(m+n)^2=f(m)+f(n)+2mn-(m+n)^2$$ $$=(f(m)-m^2)+(f(n)-n^2)=g(m)+g(n).$$ Karena $g$ memenuhi persamaan Cauchy, maka $g(n)=cn,n\in \mathbb{Z}$, dimana $c$ konstan.
Kondisi (i) sekarang menghasilkan $$n^4-c^2n^2=(n^2+cn)(n^2-cn)=(n^2+g(n))[(-n)^2+g(-n)]$$ $$=f(n)f(-n)=f(n^2)=n^4+g(n^2)=n^4+cn^2$$ $$\Rightarrow \text{ }\text{ }c(c+1)=0\Rightarrow c=0\text{ atau }-1.$$ Kembali ke $f$, kita memiliki $f(n)=n^2$ atau $f(n)=n^2-n$. Dengan memeriksa, keduanya memenuhi kondisi dalam pertanyaan. - Fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ memenuhi relasi $$f(x)f(y)=f(2xy+3)+3f(x+y)-3f(x)+6x,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }x,y\in\mathbb{R}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.10)$$ Temukan nilai $f(2009)$.
Solusi: Mempertimbangkan bahwa $x$ dan $y$ merupakan simetris di hampir semua suku pada (30.10), jika kita menukarkan $x$ dan $y$, maka diperoleh $$f(x)f(y)=f(2xy+3)+3f(x+y)-3f(y)+6y,\text{ }\text{ }\text{ }x,y\in\mathbb{R}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.11)$$ Membandingkan (30.10) dan (30.11) menghasilkan $-3f(x)+6x=-3f(y)+6y$ untuk semua $x,y\in\mathbb{R}$, maka $-3f(x)+6x=-3c$ untuk beberapa konstan $C$, yaitu $$f(x)=2x+C,$$ dimana $C\in\mathbb{Z}$. Untuk menentukan $C$, substitusi ekspresi nya untuk $f$ ke dalam (30.10), maka diperoleh $$(2x+C)(2y+C)=2(2xy+3)+C+3[2(x+y)+C]-3(2x+c)+6x$$ $$\Rightarrow C^2-C-6=6(x+y)-2C(x+y)$$ $$\Rightarrow (C-3)(C+2)=2(3-C)(x+y)$$ $$\Rightarrow (C-3)(C+2+2x+2y)=0\text{ untuk semua }x,y\in\mathbb{R}\Rightarrow C=3.$$ Jadi, $f(2009)=2\times 2009+3=4021$. - Temukan fungsi $f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$, sehingga $$f(x^2+f(y))=xf(x)+y\text{ untuk semua }x,y\in\mathbb{N}_0\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.12)$$
Solusi: Pada (30.12) misalkan $x=0$, maka $$f(f(y))=y,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\forall y\in\mathbb{N}_0.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.13)$$ Misalkan $x=1,y=0$ dan gunakan (30.13) dan (30.12), maka $$1+f(0)=f(f(1+f(0)))=f(f(1)+0)=1\Rightarrow f(0)=0.$$ Nyatakan $f(1)$ dengan $a$ dan misalkan $x=1,y=f(z)$ untuk $z\in\mathbb{N}_0$, maka $$f(1+z)=f(1+f(f(z)))=f(1)+f(z)=f(z)+a,\text{ }\text{ }z\in\mathbb{N}_0,$$ Dengan induksi pada $z$, kita memperoleh $$f(n)=an,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }n\in\mathbb{N}_0.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.14)$$ Substitusi (30.14) ke dalam (30.12) menghasilkan $a(x^2+ay)=ax^2+y$, maka $a^2y=y,y\in\mathbb{N}_0$. Oleh karena itu $a=\pm 1$. Maka $a\ge 0$, maka $a=1$. Jadi, $f(n)=n,n\in\mathbb{N}_0$. $f$ jelas memenuhi (30.12). - Temukan semua fungsi $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ yang memenuhi $$f(x)f(yf(x))=f(x+y)\text{ untuk semua }x,y>0.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.15)$$
Solusi: Jika $f(x_0)>1$ di beberapa titik $x_0>0$, misalkan $y_0=\frac{x_0}{f(x_0)-1}$, maka $y_0>0$ dan $$f(x_0+y_0)=f(x_0)f(y_0f(x_0))=f(x_0)f(x_0+y_0)\Rightarrow f(x_0)=1,$$ yang kontradiksi, maka $f(x)\le 1,x\in\mathbb{R}^+$ dan $f(x)\ge f(x+y)$ untuk $x,y>0$. Oleh karena itu $f$ adalah fungsi tidak menaik pada $\mathbb{R}^+$.
Jika terdapat $x_1>0$ sehingga $f(x_1)=1$, maka $f(x)=1$ pada $(0,x_1]$. Misalkan $x=x_1,y=kx_1$, maka (30.15) menghasilkan $f((k+1)x_1)=f(kx_1)$. Jadi, $f(kx_1)=f(x_1)=1$ untuk $k=1,2,3,…$. Dengan monotonisitas $f$, kita memiliki $f(x)=1$ idemtik pada $\mathbb{R}^+$.
Ketika $f(x)<1$ pada $\mathbb{R}^+$, maka $f$ sangat menurun, dan $f$ injeksi. Misalkan $x=1$ dan gunakan $x+y-1$ untuk mengganti $y$, maka (30.15) menghasilkan $$f(1)f((x+y-1)f(1))=f(1+(x+y-1))=f(x+y)=f(x)f(yf(x)).$$ Misalkan $y=\frac{1}{f(x)}$, maka persamaan di atas menghasilkan $$f(1)f\left(\left(x+\frac{1}{f(x)}-1\right)f(1)\right)=f(x)f(1).$$ Karena $f$ adalah injeksi, $$\left(x+\frac{1}{f(x)}-1\right)f(1)=x\Rightarrow f(x)=\frac{1}{1+ax},$$ dimana $a=\frac{1-f(1)}{f(1)}$. Jadi, $f(x)=\frac{1}{1+ax},x>0$, dimana $a\ge 0$ adalah konstan. Dengan substitusi fungsi ini ke dalam (30.15), mudah untuk memeriksa bahwa ini memang solusi. - Misalkan $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ menjadi fungsi sehingga $f(1)=1$ dan $$f(n)=n-f(f(n-1)),\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }n\ge 2.$$ Buktikan bahwa $f(n+f(n))=n$ untuk setiap bilangan bulat positif $n\in\mathbb{N}$.
Solusi: Pertama kita buktikan dengan induksi $n$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ $$f(n)\le f(n+1)\le f(n)+1.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.16)$$ Ketika $n=1,f(2)=2-f(f(1))=2-1=1=f(1)$, maka (30.16) benar.
Ketika $n=2,f(3)=3-f(f(2))=3-1=2$, maka (30.16) benar.
Asumsikan bahwa (30.16) benar untuk semua $n\le k(k\ge 2)$. Maka untuk $n=k+1$, dari (30.16), $f(n)<n,n\in\mathbb{N}$. Karena $f(k)\le f(k+1)\le f(k)+1\le k$, oleh karena itu $f(k+1)=f(k)$ atau $f(k+1)=f(k)+1$. Dengan asumsi induksi, $$f(f(k))\le f(f(k+1))\Leftrightarrow k+1-f(k+1)\le k+2-f(k+2)\Leftrightarrow f(k+2)\le f(k+1)+1,$$ $$f(f(k+1))\le f(f(n)+1)\le f(f(n))+1$$ $$\Rightarrow k+2-f(k+2)\le k+1-f(k+1)+1\Rightarrow f(k+1)\le f(k+2).$$ maka (30.16) benar juga untuk $n=k+1$. Dengan induksi, (30.16) adalah benar untuk semua $n\in\mathbb{N}$.
Selanjutnya, kita buktikan dengan induksi pada $n$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ $$f(n+f(n))=n.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(30.17)$$ Untuk $n=1,f(1+f(1))=f(2)=1$, (30.17) terbukti.
Asumsikan bahwa (30.17) adalah benar untuk $n=k(k\ge 1)$, yaitu $f(k+f(k))=k$, maka $$f(f(k+f(k)))=f(k)\Rightarrow k+f(k)+1-f(k+f(k)+1)=f(k)$$ $$\Rightarrow f(k+1+f(k))=k+1.$$ Jika $f(k+1)=f(k)$, maka (30.16) berlaku untuk $n=k+1$. Jika $f(k+1)=f(k)+1$, maka $$f(k+1+f(k+1))=k+1+f(k+1)-f(f(k+f(k+1)))$$ $$=k+1+f(k+1)-f(f(k+f(k)+1))$$ $$=k+1+f(k+1)-f(k+1)=k+1.$$ Jadi, (30.17) adalah benar untuk $n=k+1$. Pembuktian induktif telah selesai.
“You don’t understand anything until you learn it more than one way.”
