Barisan Rekursif
- Definisi
- Contoh Soal
Definisi
Definisi 1. Suatu barisan $\{a_n,n\in\mathbb{N}\}$ dikatakan sebagai suatu barisan rekursif, jika dimulai dari suatu suku, setiap suku ditentukan oleh beberapa suku sebelumnya, yaitu dapat dinyatakan sebagai fungsi dari beberapa suku sebelumnya: $$a_{n+m}=f(a_n,a_{n+1}…,a_{n+m-1}),\text{ }\text{ }\text{ }\text{ untuk }n\ge n_0.$$ $f$ dikatakan sebagai rumus rekursif.
Deret rekursif sangat luas cakupannya, dan kajiannya memiliki makna teoretis dan terapan yang penting dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan aplikasi. Namun, dalam bab ini, kita hanya akan memperkenalkan beberapa jenis dasar deret rekursif dan rumus-rumus rekursif terkait.
Tipe I: $$a_{n+1}=pa_n+q,n\ge 1,(p\neq 0,1).$$ Misalkan $a=\frac{q}{1-p}$ menghasilkan $a_{n+1}-a=p(a_n-a)$, maka barisannya $\{b_n\}$, dimana $b_n=a_n-a$ untuk $n=1,2,…,$ adalah barisan geometri dengan suku awal $b_1=a_1-a$ dan rasio umum $p$. Dari $b_n=b_1p^{n-1}$ kita memiliki $$a_n=a+(a_1-a)p^{n-1}=a_1p^{n-1}+\frac{q}{1-p}(1-p^{n-1}),n=1,2,…\text{ }\text{ }\text{ }(18.1)$$ Tipe II: $$a_{n+1}=pa_n+q_n,n\ge 1,(p\neq 0).$$ Misalkan $b_n=\frac{a_n}{p_n}$ untuk $n=1,2,…$ menghasilkan $b_{n+1}=b_n+r_n$, dimana $r_n=\frac{q_n}{p^{n+1}}$, oleh karena itu $b_{n+1}=b_1+\sum_{k=1}^{n}r_k$ yang menghasilkan $$a_{n+1}=a_1\cdot p^n+p^{n+1}\sum_{k=1}^{n}r_k,\text{ }\text{ }n=1,2,…\text{ }\text{ }\text{ }(18.2)$$ Tipe III: $$a_{n+1}=p_na_n,n\ge 1,(p_n\neq 0).$$ Dengan menggunakan rumus rekursif berulang $n$ kali, kita memperoleh $$a_{n+1}=p_np_{n-1}\cdots p_1a_1,\text{ }\text{ }n=1,2,….\text{ }\text { }\text{ }(18.3)$$ Semua model yang dibahas di atas adalah model rekursif orde pertama. Di bawah ini, kami membahas model rekursif orde kedua.
Tipe IV: $$a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1},n\ge 2,(q\neq 0).$$ Kita tulis rumus rekursif yang diberikan ke dalam bentuk baru: $$a_{n+1}-\alpha a_n=\beta (a_n-\alpha a_{n-1}).$$ dan menentukan $\alpha$ dan $\beta$. (4) memberikan $a_{n+1}=(\alpha +\beta)a_n-\alpha \beta a_{n-1}$, maka $$\left\{ \begin{array}{cl}
\alpha+\beta &= p,\\
\alpha\beta &= -q.
\end{array} \right.$$ Maka, $\alpha,\beta$ keduanya adalah dua akar persamaan kuadrat $t^2-pt-q=0$, yang disebut Karakter Persamaan yang diberikan rumus rekursif.
Tipe V: $$a_{n+1}=\frac{pa_n}{qa_n+r},n\ge 1,(a_1>0,pqr\neq 0).$$ Substitusi $b_n=\frac{1}{a_n}$ menghasilkan model $b{n+1}=\frac{r}{p}b_n+\frac{q}{p}.$
Tipe VI: $$a_{n+1}=\frac{pa_n+q}{ra_n+s},n\ge 1,(pqrs\neq 0)$$ Misalkan $\lambda$ menjadi akar persamaan $x=\frac{px+q}{rx+s}$ dan $b_n=a_n-\lambda$ untuk semua $n\in\mathbb{N}$, maka $b_{n+1}=\frac{(p-r\lambda)b_n}{rb_n+(r\lambda +s)}$
Selain tipe-tipe dasar di atas, terdapat barisan rekursif non-linier yang lebih rumit. Transformasi yang tepat merupakan alat yang berguna untuk mengubahnya menjadi masalah yang lebih sederhana, dan alat lain untuk menangani barisan, seperti induksi matematika, penjumlahan teleskopik, dll., sering digunakan.
Contoh Soal
- Diketahui suku awal $\{a_n\}$ adalah $a_1=4$, dan jumlah $n$ suku pertama adalah $S_n$ memenuhi $S_{n+1}-3S_n-2n-4=0$ untuk $n\in\mathbb{N}$.
(1) Tentukan ekspresi dari $a_n$ pada suku $n$.
(2) Misalkan $f_n(x)=a_n+2a_{n-1}x+…+na_1x^{n-1}$ dan $b_n=f_n(1)$. Tentukan ekspresi dari $b_n$ pada suku $n$, dan buktikan bahwa $\{b_n\}$ barisan monoton.
Solusi:
(1) Untuk $n\ge 2$, perbedaan pada $S_{n+1}=3S_n+2n+4$ dan $S_n=3S_{n-1}+2(n-1)+4$ memberikan $$a_{n+1}=3a_n+2\Rightarrow a_{n+1}+1=3(a_n+1),\text{ }\text{ }n\ge 2.$$ Karena $a_1+1=5$, barisan $\{a_n+1,n\ge 1\}$ adalah G.P. pada suku awal $5$ dan rasio umum $r=3$ maka $a_n=5\cdot 3^{n-1}-1,n\ge 1$.
(2) $$b_n=f_n(1)=\sum_{k=1}^{n}ka_k=\sum_{k=1}^{n}k(5\cdot 3^{n-k}-1)=5\sum_{k=1}^{n}k\cdot 3^{n-k},$$ $$-\frac{n(n+1)}{2}=5S-\frac{n(n+1)}{2},\text{ dimana }S=\sum_{k=1}^{n}k\cdot 3^{n-k}.$$ Maka $$3S=3^n+2\cdot 3^{n-1}+…+a_n\cdot 3\Rightarrow 2S=3^n+3^{n-1}+…+3-n$$ $$\Rightarrow S=\frac{3^{n+1}-3}{4}-\frac{n}{2}\Rightarrow b_n=\frac{5\cdot 3^{n+1}-15}{4}-\frac{n(n+6)}{2}.$$ Jadi $$b_{n+1}-b_n=\frac{5\cdot 3^{n+2}-15}{4}-\frac{(n+1)(n+7)}{2}-\frac{5\cdot 3^{n+1}-15}{4}+\frac{n(n+6)}{2}$$ $$=\frac{15\cdot 3^n}{2}-n-\frac{7}{2}>0,$$ yaitu, barisan $\{b_n,n\ge 1\}$ meningkat secara monoton. - Diketahui bahwa jumlah suku pertama $n$ pada $\{a_n\}$ adalah $S_n=-a_n-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+2,n\in \mathbb{N}$. Tentukan ekspresi dari $a_n$ pada suku $n$.
Solusi: Misalkan $n=1$ dalam persamaan yang diberikan menghasilkan $a_1=-a_1-1+2$, maka $a_1=\frac{1}{2}$. Ketika $n\ge 2$, $$S_n-S_{n-1}=-a_n-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+2+a_{n-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}-2$$ $$\Rightarrow a_n=-a_n+a_{n-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\Rightarrow a_n=\frac{1}{2}a_{n-1}+\frac{1}{2^n}.$$ Mengalikan kedua sisi persamaan terakhir dengan $2^n$ menghasilkan $$2^na_n=2^{n-1}a_{n-1}+1,\text{ }\text{ }\text{ }n\ge 2,$$ maka $\{2^na_n,n\ge 1\}$ adalah A.P. dengan suku awal dan perbedaan umum keduanya menjadi $1$, maka $$2^na_n=n\text{ atau }a_n=\frac{n}{2^n},\text{ }\text{ }\text{ }n\in\mathbb{N}.$$ - Misalkan $x_0,x_1,x_2,…$ adalah barisan bilangan sehingga $x_0=1000$, dan $$x_n=-\frac{1000}{n}(x_0+x_1+x_2+…+x_{n-1})$$ untuk semua $n\ge 1$. Tentukan nilai dari $$\frac{1}{2^2}x_0+\frac{1}{2}x_1+x_2+2x_3+2^2x_4+…+2^{997}x_{999}+2^{998}x_{1000}.$$
Solusi: Untuk $n\ge 1$, $$x_n=-\frac{x_0}{n}\left[-\frac{(n-1)}{x_0}x_{n-1}+x_{n-1}\right]=-\frac{x_0-(n-1)}{n}x_{n-1}.$$ Dengan menggunakan rumus reduksi berulang, kita memperoleh bahwa untuk $1\le n\le 1000$, $$x_n=\left(-\frac{x_0-(n-1)}{n}\right)x_{n-1}=\left(\frac{x_0-(n-1)}{n}\right)\left(\frac{x_0-(n-2)}{n-1}\right)x_{n-2}$$ $$=…=(-1)^n\frac{(x_0-(n-1))(x_0-(n-2))\cdots x_0}{n!}x_0=(-1)^n\binom{1000}{n}x_0.$$ Sekarang definisikan polinomial $f(x)$ untuk $x$ riil dengan $$f(x)=x_0+x_1x+x_2x^2+…+x_{1000}x^{1000}.$$ Maka $f(x)=(1-x)^{1000}x_0$, maka $$\frac{1}{2^2}x_0+\frac{1}{2}x_1+x_2+2x_3+2^2x_4+…+2^{997}x_{999}+2^{998}x_{1000}=\frac{1}{4}f(2)$$ $$=\frac{1}{4}x_0=250.$$ - Diketahui $p,q$ adalah bilangan riil dan persamaan $x^2-px+q=0$ memiliki dua akar $\alpha$ dan $\beta$, dan barisan $\{a_n\}$ memenuhi $a_1=pa_2=p^2-q$ dan $a_n=pa_{n-1}-qa_{n-2},n=3,4,…$
(1) Tentukan ekspresi $a_n$, dalam suku $\alpha,\beta$.
(2) Tentukan jumlah suku pertama $n$ dari $\{a_n\}$ ketika $p=1,q=\frac{1}{4}$.
Solusi:
(1) Dengan teorema Vieta, $\alpha+\beta=p,\alpha\cdot\beta=q.$
(i) Ketika $\alpha\neq\beta$, yaitu $p^2-4q>0$, maka $$a_n=A\alpha^n+B\beta^n\Rightarrow p=\alpha A+\beta B,p^2-q=\alpha^2A+\beta^2B.$$ Dengan menyelesaikan sistem, diperoleh bahwa $A=-\frac{\alpha}{\beta-\alpha},B=\frac{\beta}{\beta-\alpha}.$ Oleh karena itu $$a_n=\frac{1}{\beta-\alpha}(-\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}).$$
(ii) Ketika $\alpha=\beta$, yaitu $p^2=4q$, maka $$a_n=(A+Bn)\alpha^n\Rightarrow p=(A+B)\alpha, p^2-q=(A+2B)\alpha^2$$ $$\Rightarrow A=B=1\Rightarrow a_n =(1+n)\alpha^n, n\ge 1.$$
(2) Ketika $p=1,q=\frac{1}{4}$, maka $\alpha=\beta=\frac{1}{2},a_n=\frac{1+n}{2^n}$ untuk $n\ge 1$, oleh karena itu $$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1+}{2^k}=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n+1}{2^n}.$$ Maka $$\frac{1}{2}S_n=S_n-\frac{1}{2}S_n=1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^k}-\frac{n+1}{2^{n+1}}=1+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}},$$ maka $S_n=3-\frac{n+3}{2^n},n\ge 1$. - Pada barisan $\{a_n\},a_1=1,a_2=\frac{1}{4}$ dan $a_{n+1}=\frac{(n-1)a_n}{n-a_n}$ untuk $n=2,3,…$
(1) Tentukan ekspresi $a_n$ pada suku $n$.
(2) Buktikan bahwa $\sum_{k=1}{n}a_k^2<\frac{7}{6}$ untuk $n\ge 1$.
Solusi: (1) Hubungan rekursif yang diberikan menghasilkan $$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{n-a_n}{(n-1)a_n}=\frac{n}{(n-1)a_n}-\frac{1}{n-1}.$$ Membagi kedua sisi dengan $n$ dan menyederhanakannya, maka $$\frac{1}{na_{n+1}}-\frac{1}{(n-1)a_n}=-\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right).$$ Maka $$\frac{1}{(n-1)a_n}-\frac{1}{a_2}=\sum_{k=2}^{n-1}\left[\frac{1}{ka_{k+1}}-\frac{1}{(k-1)a_k}\right]=-\sum_{k=2}^{n-1}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)$$ $$=-\left(1-\frac{1}{n-1}\right),\text{ untuk semua }n\ge 2,$$ oleh karena itu $$\frac{1}{(n-1)a_n}=3+\frac{1}{n-1}=\frac{3n-2}{n-1}\Rightarrow a_n=\frac{1}{3n-2},\text{ }n\ge 2.$$ Mempertimbangkan $a_1=1=\frac{1}{3-2}$, maka diperoleh $a_n=\frac{1}{3n-2}$ untuk $n\ge 1$.
(2) Untuk $k\ge 2,a_k^2=\frac{1}{(3k-2)^2}<\frac{1}{(3k-4)(3k-1)}$, oleh karena itu $n\ge 2$ $$\sum_{k=1}^{n}a_k^2\text{ }<\text{ }1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(3k-4)(3k-1)}=1+\frac{1}{3}\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{3k-4}-\frac{1}{3k-1}\right)$$ $$=1+\frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+…+\left(\frac{1}{3n-4}-\frac{1}{3n-1}\right)\right]$$ $$=1+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n-1}\right)<1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}.$$ Karena $a_1^2=1<\frac{7}{6}$, maka $\sum_{k=1}^{n}a_k^2<\frac{7}{6}$ untuk $n\ge 1$. - Pada barisan $\{b_n\},b_1=2,b_{n+1}=\frac{3b_n+4}{2b_n+3},n\in \mathbb{N}$, tentukan ekspresi dari $b_n$ pada suku $n$.
Solusi: Pertama-tama selesaikan persamaan $\lambda =\frac{3\lambda +4}{2\lambda +3}$. $$\lambda=\frac{3\lambda +4}{2\lambda +3}\Rightarrow 2\lambda^2+3\lambda=3\lambda +4\Rightarrow \lambda =\pm\sqrt{2}.$$ Maka $$\frac{b_{n+1}-\sqrt{2}}{b_{n+1}+\sqrt{2}}=\frac{3b_n+4-\sqrt{2}(2b_n+3)}{3b_n+4+\sqrt{2}(2b_n+3)}=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)^2}\cdot \frac{b_n-\sqrt{2}}{b_n+\sqrt{2}}.$$ Misalkan $$\frac{b_n-\sqrt{2}}{b_n+\sqrt{2}}=c_n,n\in\mathbb{N}, \text{ maka } c_{n+1}=(\sqrt{2}-1)^4c_n$ \text{ dan } $c_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)^2.$$ Karena $$c_n=(\sqrt{2}-1)^2(\sqrt{2}-1)^{4(n-1)}=(\sqrt{2}-1)^{4n-2}$$ Maka $$\frac{b_n-\sqrt{2}}{b_n+\sqrt{2}}=c_n\Rightarrow \frac{b_n}{\sqrt{2}}=\frac{1+c_n}{1-c_n}\Rightarrow b_n=\sqrt{2}\cdot \frac{1+(\sqrt{2}-1)^{4n-2}}{1-(\sqrt{2}-1)^{4n-2}}.$$ - Pada barisan $\{a_n\},a_0=x,a_1=y,a_{n+1}=\frac{a_na_{n-1}+1}{a_n+a_{n-1}}$.
(1) Tentukan $x,y$ sehingga ada bilangan bulat positif $n_0$ yang memenuhi kondisi $a_n$ adalah konstan untuk semua $n\ge n_0$.
(2) Tentukan ekspresi untuk $a_n$ pada suku $n$.
Solusi: Persamaan $$a_{n+1}-a_n=\frac{a_na_{n-1}+1}{a_n+a_{n-1}}-a_n=\frac{1-a_n^2}{a_n+a_{n-1}},n\in\mathbb{N}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text ={ }(18.1)$$ menyiratkan bahwa $a_{n+1}=a_n$ untuk beberapa $n$ jika dan hanya jika $a_n^2=1$ dan $a_n+a_{n-1}\neq 0$. Menerapkan itu ke $n=1$, maka $$|y|=1\text{ dan }x\neq -y.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.2)$$ Untuk $n>1$, $$a_n-1=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+1}{a_{n-1}+a_{n-2}}-1=\frac{(a_{n-1}-1)(a_{n-2}-1)}{a_{n-1}+a_{n-2}},\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.3)$$ $$a_n+1=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+1}{a_{n-1}+a_{n-2}}+1=\frac{(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)}{a_{n-1}+a_{n-1}}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.4)$$ Dengan mengalikan dua persamaan sebelumnya, kita memperoleh $$a_n^2-1=\frac{a_{n-1}^2-1}{a_{n-1}+a_{n-2}}\cdot \frac{a_{n-2}^2-1}{a_{n-1}+a_{n-2}}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.5)$$ Dengan berulang menggunakan (18.5), diperoleh (18.2) berlaku atau $$|x|=1\text{ dan }y\neq -x.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.6)$$ Sebaliknya, jika (18.2) atau (18.6) berlaku, maka $a_n=$ konstan untuk $n\ge 2$, dan konstan adalah $1$ atau $-1$.
(2) Kombinasi (18.3) dan (18.4) menghasilkan $$\frac{a_n-1}{a_n+1}=\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}+1}\cdot \frac{a_{n-2}-1}{a_{n-2}+1}\text{ untuk }n\ge 2.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.7)$$ Misalkan $b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1},n\in\mathbb{N}$, maka untuk $n\ge 2$ $$b_n=b_{n-1}b_{n-2}=b_{n-2}^2b_{n-3}=(b_{n-3})^3(b_{n-4})^2=…$$ $$=\left(\frac{y-1}{y+1}\right)^{F_{n-1}}\cdot \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{F_{n-2}},\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.8)$$ di sini $F_0=F_1=1$ dan $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ untuk $n\ge 2$. Faktanya, mudah untuk dapat $$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right].\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.9)$$ Dengan mendefinisikan $F_{-1}=0,F_0=1$, maka (18.8) berlaku untuk $n\ge 1$. Dari (18.8) $a_n$ dapat selesai dalam bentuk $$a_n=\frac{(x+1)^{F_{n-2}}(y+1)^{F_{n-1}}+(x-1)^{F_{n-2}}(y-1)^{F_{n-1}}}{(x+1)^{F_{n-2}}(y+1)^{F_{n-1}}-(x-1)^{F_{n-2}}(y-1)^{F_{n-1}}}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(18.10)$$
“If you don’t like something, change it. If you can’t change it, change your attitude.”
