Deret Aritmatika dan Deret Geometri
Pengantar Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit
- Definisi
- Contoh Soal
Definisi
Definisi 1. Suatu barisan $a_1, a_2, a_3,…$ dikatakan sebagai suatu Aritmatika Progression, yang disingkat A.P., jika barisan tersebut mempunyai beda persekutuan $d$ yang diberikan oleh $$d = a_2 – а_1 = а_з —a_2 = a_{n+1} -a_n, \text{ untuk }n = 1, 2, 3, ….$$
- Salah satu sifat terpenting dari sebuah A.P. adalah rumusnya untuk istilah umum $a_n$ yang diberikan oleh $$a_n = a_1 + (n – 1)d, \text{ }\text{ }\text{ } = 1, 2,3,….$$ Ini menyiratkan bahwa suatu A.P. sepenuhnya ditentukan oleh suku awalnya $a_1$ dan beda persekutuannya $d$.
- Misalkan $S_n$, menyatakan jumlah parsialnya, yaitu $S_n = a_1 + a_2 +…+a_n, n \in\mathbb{N}$. Maka $$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a_1-d}{2}n,n\in\mathbb{N}.$$ Perhatikan bahwa, jika $S_n = an^2 + bn, n ∈\mathbb{N}$, maka $\{a_n\}$ pastilah sebuah A.Р.
- Sifat yang sering digunakan untuk suatu A.P. adalah jika $a, b, c$ adalah tiga suku berurutan dalam suatu A.P., maka $$a+c= 2b.$$
Definisi 2. Suatu barisan $a_1, a_2, a_3,…$ dikatakan sebagai suatu Geometric Progression, yang disingkat dengan G.P., jika barisan tersebut mempunyai rasio persekutuan $r$ yang diberikan oleh $$r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_{n+1}}{a_n},\text{ untuk }n=1,2,3….$$
- Untuk suatu G.P. $\{a_n\}$, rumus untuk suku umumnya $a_n$ diberikan oleh $$a_n =a_1\cdot r^{n-1},\text{ } n= 1, 2, 3, …$$ Ini menyiratkan bahwa suatu G.P. sepenuhnya ditentukan oleh suku awalnya $a_1$ dan rasio persekutuannya $r$.
- Untuk G.P. $\{a_n\}$, jika $S_n = a_1 + a_2+…+ a_n, n ∈\mathbb{N}$ dengan $r ≠ 1$, maka $$S_n=a_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r}.$$ dan limit hingga $\underset{n\to \infty }{\lim}S_n=\frac{a_1}{1-r}$ ada (dilambangkan dengan $S_∞$) ketika $|r|< 1$.
- Sifat yang sering digunakan untuk sebuah G.P. adalah jika $a, b, c$ adalah tiga suku berurutan dalam sebuah G.P., maka $$ac=b^2.$$
Contoh Soal
- Misalkan $S_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama dari suatu A.P. $\{a_n\}$. Jika $S_{15} > 0$ dan $S_{16} < 0$, tentukan rasio maksimum di antara $\frac{S_1}{a_1},\frac{S_2}{a_2},…,\frac{S_{15}}{a_{15}}.$
Solusi: Misalkan $d$ adalah beda umum dari A.P. $\{a_n\}$. Maka $a_1=a_8- 7d, a_2 = a_8 – 6d,…, a_{15} = a_8 + 7d$. Maka $S_{15} = 15a_8 > 0$, yang menyiratkan bahwa $a_8 > 0$.
Karena $$a_1+a_{16} = a_2+a_{15} = …= a_8+a_9 = 2a_8+d ⇒ S_{16} = 8(a_8+a_9) ⇒ a_9 < 0,$$ maka $d = a_9 – a_8 < 0$ dan $a_1 > a_2 > … > a_8 > 0 > a_9 > a_{10} > .. > a_{15}$. Jadi, $$)<S_1<S_2<…<S_8\text{ dan }S_8>S_9>…>S_{15}>0,$$ menyiratkan bahwa $$\frac{S_1}{a_1}<\frac{S_2}{a_2}<…<\frac{S_8}{a_8}\text{ dan }0>\frac{S_9}{a_9},\frac{S_{10}}{a_{10}},…,\frac{S_{15}}{a_{15}}.$$ Maka, $\frac{S_8}{a_8}$ adalah rasio minimum. - Diketahui barisan $\{a_n\}$ memenuhi $a_1 = 0, a_{n+1} =
a_n +1+2\sqrt{1+ a_n}$ untuk $n = 1, 2,….$ Maka $a_{2009}$ adalah
(A) 4036080 (B) 4036078 (C) 4036082 (D) 4036099.Solusi: Kondisi yang diberikan memberikan $$a_{n+1}+1=a_n+1+2\sqrt{1+a_n}+1=(\sqrt{a_n+1}+1)^2.$$ Dengan induksi mudah untuk melihat bahwa $a_{n + 1} > 0$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$. Oleh karena itu $$\sqrt{a_{n+1}+1}=\sqrt{a_n+1}+1,\text{ }\text{ }\text{ }n\in\mathbb{N}.$$ Oleh karena itu, $\{\sqrt{a_n+1}\}$ merupakan A.P. dengan suku awal $1$ dan beda $1$, sehingga $\sqrt{a_n +1} = n$, yaitu, $a_n = n^2 – 1 = (n – 1)(n + 1), n ∈ \mathbb{N}$. Dengan demikian, $a_{2009} =2008 × 2010 = 4036080$, jawabannya adalah (A).
- $\{a_n\}$ terdiri dari bilangan positif, dan untuk setiap bilangan bulat positif $n$, $\frac{a_n+2}{2}=\sqrt{2S_n}$. Temukan rumus untuk suku umumnya $a_n$ dalam suku $n$.
Solusi: Untuk setiap $n\in\mathbb{N},\frac{a_n+2}{2}=\sqrt{2S_n}\Rightarrow a_n^2+4a_n+4=8S_n$, oleh karena itu $a_{n-1}^2+4a_{n-1}+4=8S_{n-1}$. Mengambil perbedaan dari dua persamaan sebelumnya menghasilkan $$a_n^2-a_{n-1}^2+4(a_n-a_{n-1})=8a_n,$$ $$(a_n-a_{n-1})(a_n+a_{n-1})=4(a_n+a_{n-1}),$$ $$∴a_n-a_{n-1}=4.$$ Jadi, $\{a_n\}$ adalah A.P. dengan beda umum $d = 4$. Karena $S_1 = a_1$, maka $$a_n^24a_n+4=8S_n\Rightarrow a_1^2-4a_1+4=0\Rightarrow (a_1-2)^2=0\Rightarrow a_1=2.$$ Maka, $a_n=2+4(n-1)$, yaitu $a_n=4n-2$ untuk $n=1,2,…$ - Jika A.P. tak hingga $\{a_n\}$ dari bilangan bulat positif bukan konstanta dan mengandung bilangan kubik sebagai sukunya, buktikan bahwa suku tersebut juga mengandung suku yang merupakan bilangan kubik tetapi bukan bilangan kuadrat sempurna.
Solusi: Misalkan $d$ adalah selisih umum $\{a_n\}$, maka $d$ adalah bilangan bulat positif. Tanpa mengabaikan keumuman, kita asumsikan bahwa $a_1 = a^3$. Untuk suatu bilangan asli $a$, maka semua bilangan berbentuk $(a + md)^3, m \in \mathbb{N}$ berada dalam A.P.. Misalkan $m = a^2d$. Suku $$(a+a^2d^2)^3=a^3+3a^4d^2+3a^5d^4+a^6d^6=a^3+(3a^4d+3^5a^5d^3+a^6d^5)d$$ adalah suku dalam A.P. Jika itu adalah bilangan kuadrat sempurna, maka itu pasti pangkat $6$ dari bilangan bulat positif. Namun $$(ad)^2<a+a^2d^2<(ad+1)^2$$ menyiratkan bahwa $a + a^2d^2$ bukan kuadrat sempurna. Oleh karena itu, $(a + a^2d^2)^3$ tidak mungkin pangkat $6$ dari bilangan bulat positif, sehingga bukan kuadrat sempurna. - Beda persekutuan $d$ dari suatu A.P. $\{a_n\}$ tidak sama dengan nol, rasio persekutuan $q$ dari suatu G.P. $\{b_n\}$ adalah bilangan rasional positif kurang dari $1$. Lebih lanjut, jika $a_1=d,b_1=d^2$, dan $\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}$ adalah bilangan bulat positif , tentukan $q$.
Solusi: Dari $a_1^2+a_2^2+a_3^2=d^2+4d^2+9d^2=14d^2,b_1+b_2+b_3=d^2+d^2q+d^2q^2,$ $$\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}=\frac{14}{1+q+q^2}\Rightarrow 1+q+q^2=\frac{14}{m}$$ untuk beberapa bilangan bulat positif $m$. Maka, $$q=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{14}{m}-1}=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{56-3m}{4m}}.$$ Sekarang $0<q<1\Rightarrow 5\le m \le 13$. Ingat juga bahwa, $\frac{56-3m}{4m}$ adalah kuadrat dari bilangan rasional, jadi $m=8$ dan $q=\frac{1}{2}$. - Misalkan $x_1, x_2, x_3$,… adalah bilangan real positif yang berbeda. Buktikan bahwa $\{x_n\}$ adalah G.P. jika dan hanya jika untuk semua bilangan bulat $n ≥ 2$ $$\frac{x_1}{x_2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x_n^2}{x_kx_{k+1}}=\frac{x_n^2-x_1^2}{x_2^2-x_1^2}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(*)$$
Solusi: Kebutuhan: Ketika $\{x_n\}$ adalah G.P., misalkan $x_k=ar^{k-1},k\in\mathbb{N}$, maka $$\frac{x_1}{x_2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x_n^2}{x_kx_{k+1}}=\frac{r^{2(n-1)}}{r}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{r^{2k-1}}=1+r^2+…+r^{2(n-2)}$$ $$=\frac{r^{2(n-1)}-1}{r^2-1}=\frac{x_n^2-x_1^2}{x_2^2-x_1^2}\Rightarrow (*)\text{ berlaku}.$$ Kecukupan: Ketika $(*)$ berlaku, kita membuktikan bahwa barisan berhingga $x_1, x_2,…,x_n$
memiliki rasio yang sama untuk setiap $n ≥ 2$ dengan induksi.
Untuk $n = 2$, kedua ruas $(*)$ sama dengan $1$. Ketika $n = 3$, $(*)$ memberikan $$\frac{x_1}{x_2}\left(\frac{x_3^2}{x_1x_2}+\frac{x_3^2}{x_2x_3}\right)=\frac{x_3^2-x_1^2}{x_2^2-x_1^2}\Rightarrow x_1x_3=x_2^2\Rightarrow \frac{x_3}{x_2}=\frac{x_2}{x_1},$$ maka $x_1,x_2,x_3$ adalah G.P.. Asumsikan bahwa $x_1,x_2,…,x_{n-1}\text{ }(n\ge 4)$ adalah G.P.. Tuliskan $x_k=ar^{k-1},k=1,2,…,n-1$ dan tulis $x_n=au_n$. Maka $(*)$ menghasilkan $$\frac{u_n^2}{r}\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{r^3}+…+\frac{1}{r^{2n-5}}+\frac{1}{r^{n-2}u_n}\right)=\frac{u_n^2-1}{r^2-1}.$$ Mengalikan kedua sisinya dengan $(r^2- 1)r^{2n-4}$ menghasilkan $$[u_n^2(1+r^2+r^4+…+r^{2n-6})+r^{n-3}u_n](r^2-1)=(u_n^2-1)r^{2n-4},$$ maka $u_n^2-(r^{n-1}-r^{n-3})u_n-r^{2n-4}=0\Rightarrow (u_n-r^{n-1})(u_n+r^{n-3})=0$. Karena $u_n>0$, kita harus $u_n=r^{n-1}$, yaitu $x_n=ar^{n-1}$. Jadi, $x_1,x_2,x_3,…,x_n$ adalah G.P.. Pembuktian induktif telah selesai. Dengan induksi,$x_1,x_2,…x_n,…$ adalah sebuah G.P. - Diketahui $a_1, a_2, a_3$ merupakan A.P. dalam urutan tersebut, $a_1 + a_2 +a_3= 15; b_1, b_2, b_3$ merupakan G.P. dalam urutan tersebut, dan $b_₁b_2b_3 = 27$. Jika $a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3$ merupakan bilangan bulat positif dan membentuk G.P. dalam urutan tersebut, tentukan nilai maksimum yang mungkin dari $a_3$.
Solusi: Misalkan $a_1=5-d,a_2=5,a_3=5+d,b_1=\frac{3}{q},b_2=3,b_3=3q,$ maka kondisi yang diberikan menunjukkan bahwa $5-d+\frac{3}{q}$ dan $5+d+3q$ semua nya bilangan bulat positif dan $$\left(5-d+\frac{3}{q}\right)(5+d+3q)=64.$$ Mudah untuk memeriksa bahwa untuk mendapatkan d positif maksimum, hanya ada empat kemungkinan untuk $\left(5-d+\frac{3}{q},5+d+3q\right)$ : (1, 64), (2, 32), (4, 16) dan (8, 8).
(i) Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang sesuai dengan (1, 64), maka dapat disimpulkan bahwa $$3q+\frac{3}{q}=55\Rightarrow q_{1,2}=\frac{55\pm 7\sqrt{61}}{6},d_{1,2}=4+\frac{3}{q_{1,2}},$$ $$\Rightarrow d_{\max}=4+\frac{3\cdot 6}{55-7\sqrt{61}}=4+\frac{55+7\sqrt{61}}{2}.$$ (ii) Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang sesuai dengan (2, 32), maka dapat disimpulkan bahwa $$q+\frac{1}{q}=8\Rightarrow q_{1,2} =\frac{8\pm \sqrt{60}}{2}=4\pm \sqrt{15},d_{1,2}=3+\frac{3}{q_{1,2}},$$ $$\Rightarrow d_{\max}=3+\frac{3}{4-\sqrt{15}}=15+3\sqrt{15}.$$ (iii) Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang sesuai dengan (4, 16), maka dapat disimpulkan bahwa $$3q+\frac{3}{4}=10\Rightarrow q=3\text{ atau }\frac{1}{3},d_{1,2}=1+\frac{3}{q_{1,2}}=2\text{ atau }10\Rightarrow d_{\max}=10.$$ (iv) Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang sesuai dengan (8, 8), maka dapat disimpulkan bahwa $$q+\frac{1}{q}=2\Rightarrow q=1,d=0.$$ Singkatnya, $d_{\max}=4+\frac{55+7\sqrt{61}}{2}$, oleh karena itu, nilai maksimum yang mungkin dari $a_3$ adalah $9+\frac{55+7\sqrt{6}}{2}.$ - $\{a_n,n=1,2,3,…\}$ adalah deret bilangan riil. Kita susun suku-suku tersebut dalam bentuk berikut $$\begin{array}{rcl}
a_1 & & \\
a_2 & a_3 & \\
a_4 & a_5 & a_6 \\
a_7 & a_8 & a_9 & a_{10}\\
…
\end{array}$$ Misalkan $\{b_n\}$ menyatakan barisan yang dibentuk oleh $a_1,a_2,a_4,a_7,…$, dimana $b_1=a_1=1$. Asumsikan jumlah parsialnya $S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k$ memenuhi $\frac{2b_n}{b_nS_n-S_n^2}=1$ untuk $n\ge 2$.
(i) Buktikan bahwa barisan $\{1/S_n\}$ merupakan suatu A.P., dan temukan rumus untuk $b_n$ dalam suku $n$.
(ii) Jika pada tabel di atas, mulai dari baris ketiga, setiap baris (dari kiri ke kanan) merupakan G.P., dan rasio persekutuannya semuanya sama dengan tiga bilangan positif yang sama, tentukan jumlah semua bilangan pada baris ke-$k$ jika $a_{81}=-\frac{4}{91}$.
Solusi:
(i) Untuk $n\ge 2,\text{ }\frac{2b_n}{b_nS_n-S_n^2}=1\Rightarrow \frac{2(S_n-S_{n-1})}{(S_n-S_{n-1})S_n-S_n^2}=1$
$\Rightarrow \frac{2(S_n-S_{n-1})}{-S_{n-1}S_n}=1\Rightarrow \frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}$.
Karena $S_1=b_1=a_1=1$, jadi $\{1/S_n\}$ adalah suatu barisan aritmatika dengan suku awal $1$ dan rasio persekutuan $\frac{1}{2}$. Maka, $$\frac{1}{S_n}=1+\frac{1}{2}(n-1)=\frac{1}{2}(n+1)\text{ atau }S_n=\frac{2}{n+1}\text{ untuk }n=1,2,…,\text{ maka}$$ $$b_n=S_n-S_{n-1}=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}=-\frac{2}{n(n+1)}\text{ untuk }n\ge 2.$$ Singkatnya, $b_n=1$ untuk $n=1$ dan $b_n=-\frac{2}{n(n+1)}$ untuk $n\ge 2$.
(ii) Misalkan, mulai dari baris ketiga tabel, setiap baris memiliki rasio umum $q > 0$. Pada $12$ baris pertama tabel, terdapat total $1 + 2 + … + 12 = 78$ suku $\{a_n\}$, sehingga $a_{81}$ berada pada baris ke-$13$ dan kolom ketiga, sehingga $$a_{81}=b_{13}q^2=-\frac{4}{91}\Rightarrow q^2=\frac{4}{91}\cdot \frac{13\cdot 14}{2}=4\Rightarrow q=2.$$ Dengan demikian, jumlah semua angka pada baris ke-$k$ diberikan oleh $$\frac{b_k(1-q^k)}{1-q}=-\frac{2}{k(k+1)}\cdot \frac{1-2^k}{1-2}=\frac{2(1-2^k)}{k(k+1)}, \text{ untuk }k\ge 3.$$
“Don’t be afraid to give up the good to go for the great.”
