Soal Nilai Ekstrem dalam Trigonometri

Pengantar Pemecahan Masalah

Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit

Kelas

Materi ini ditunjukan untuk siswa berbakat kelas 4, 5, 6, 7 dan 8

Presentasi

Unduh

Video Pengantar

fira

Video Lanjutan

Pre Test

Post Test

Referensi Tambahan

Unduh

Metode Dasar Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri dan Soal Nilai Ekstrem Trigonometri

Memanfaatkan keterbatasan dan interval monotonik dari enam fungsi trigonometri dasar.
Gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan atau mengubah pertidaksamaan atau fungsi trigonometri yang diberikan.
Untuk menemukan nilai ekstrem dari fungsi trigonometri tertentu, prinsip sifat ekstrem sering kali berguna.
Terapkan beberapa pertidaksamaan dasar yang melibatkan segitiga, seperti $$|a\cos x+b\sin x|\le \sqrt{a^2+b^2}.$$
Kadang-kadang, dengan menggunakan substitusi variabel atau ekspresi, pertidaksamaan trigonometri atau masalah nilai ekstrem trigonometri dapat diubah menjadi pertidaksamaan aljabar atau masalah nilai ekstrem aljabar.

Contoh Soal

Misalkan $a,b,c$ adalah bilangan positif, memenuhi $a+b+c=\frac{\pi}{2}$, buktikan bahwa $$\cos a + \cos b + \cos c > \sin a + \sin b + \sin c.$$ Solusi: $a+b<\frac{\pi}{2}\Rightarrow a<\frac{\pi}{2}-b\Rightarrow \cos a>\cos \left(\frac{\pi}{2}-b\right)=\sin b$ karena $\cos \theta$ menurun pada kuadran pertama.
Demikian pula, $\cos b > \sin c$ dan $\cos c > \sin a$. Menjumlahkan keduanya akan menghasilkan kesimpulan sekaligus.
Diberikan fungsi $f(x)=\frac{\sin(x+45^o)}{\sin(x+60^o)},x\in [0^o,90^o]$, temukan hasil kali nilai maksimum dan nilai minimum $f(x)$.
Solusi: Dengan subtitusi $z=x+45^o,x\in [0,90^o]$, $$f(x)=f(z-45^o)=g(z)=\frac{\sin z}{\sin (z+15^o)},z\in [45^o,135^o].$$ Untuk setiap $45^o \le z \le 135^o$ dan $0^o<\Delta Z\le 1^o$, $$g(z+\Delta z)-g(z)=\frac{\sin(z+\Delta z)}{\sin(z+\Delta z+15^o)}-\frac{\sin z}{\sin(z +15^o)}$$ $$=\frac{\sin(z+15^o)\sin (z+\Delta z)-\sin z\sin(z+\Delta z+15^o)}{\sin(z+\Delta z+15^o)\sin (z+15^o)}$$ Penyebut selalu positif. Untuk pembilang, $$\sin(z +15°) \sin(z + \Delta z) – \sin z \sin(z + \Delta z +15°)$$ $$= \sin(z + 15°)[\sin z \cos \Delta z + \cos z \sin \Delta z]- \sin z[\sin(z + 15°) \cos \Delta z + \cos(z + 15°) \sin \Delta z]$$ $$= \sin \Delta z[\sin(z + 15°) cos z – \sin z \cos(z + 15°)]$$ $$= \sin \Delta z \sin 1° > 0,$$ Oleh karena itu, $g$ meningkat secara ketat pada domainnya, dan begitu pula $f$. Jadi, $$\max\{f(x)\}=\frac{\sin 135^o}{\sin 150^o}=\sqrt{2},\text{ }\text{ }\text{ }\min\{f(x)\}=\frac{\sin 45^o}{\sin 60^o}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},$$ dan hasil kali nya adalah $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Temukan nilai maksimum dari fungsi tersebut $$y = \cos^3 x + \sin^2 x – \cos x,\text{ }\text{ }\text{ } x \in \mathbb{R}.$$
Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan kemudian menggunakan pertidaksamaan AM-GM, $$y = \sin^2 x – \cos x (1 – \cos^2 x) = \sin^2 x (1 – \cos x)$$ $$2\sin^2x\sin^2\frac{x}{2}=8\sin^4\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}$$ $$=4\sin^2\frac{x}{2}\cdot \sin^2 \frac{x}{2}\cdot 2\cos^2\frac{x}{2}$$ $$\le 4\left(\frac{\sin^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}}{3}\right)^3=\frac{32}{27}.$$ Kesetaraan berlaku jika dan hanya jika $\sin^2\frac{x}{2}=2\cos^2\frac{x}{2}$, yaitu $\tan \frac{x}{2}=\pm\sqrt{2}$. Maka $y_{\max}=\frac{32}{27}$.
Temukan nilai maksimum dari fungsi tersebut $$y=\left[ \sin\left( \frac{\pi}{4} +x\right)-\sin\left( \frac{\pi}{4} -x\right) \right]\sin\left( \frac{\pi}{3} +x\right),$$ dan temukan himpunan nilai $x$ yang bersesuaian di mana $f$ bernilai maksimum.
Solusi: Sederhanakan fungsinya dan kemudian gunakan rumus $R$, $$y=\left[ \sin\left( \frac{\pi}{4} +x\right)-\sin\left( \frac{\pi}{4} -x\right) \right]\sin\left( \frac{\pi}{3} +x\right)$$ $$=\left[ \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x) \right]\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x \right)$$ $$=\sqrt{2}\sin x\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x \right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\sin x \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin^2 x$$ $$=\frac{\sqrt{6}}{4}\sin 2x+\frac{\sqrt{2}}{4}(1-\cos 2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x \right)+\frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left( 2x-\frac{\pi}{6} \right)+\frac{\sqrt{2}}{4}$$ oleh karena itu $y_{\max}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$, dan himpunan $x$ yang bersesuaian adalah $$\left\{x:x=k\pi+\frac{\pi}{3},k\in \mathbb{Z}\right\}.$$
Mengingat ketiga sisi $\Delta ABC$ memiliki panjang yang berbeda, garis bagi sudut $\angle A, \angle B,$ dan $\angle C$ berpotongan dengan garis bagi tegak lurus $BC, CA$, dan $AB$ masing-masing di $D, E$, dan $F$. Buktikan bahwa luas $\Delta ABC$ lebih kecil daripada luas $A\Delta DEF$.
Solusi: Dari asumsi tersebut, mudah untuk menunjukkan bahwa $A, B, C, D, E, F$ adalah konsiklik. Kita dapat mengasumsikan bahwa jari-jari keliling $ABC$ adalah $1$.
Karena $$[ABC] =\frac{abc}{4R} = 2 \sin A \sin B \sin C = (\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$$ dan $$[DEF]=\frac{1}{2}(\sin(A+B)+\sin(B+C)+\sin(C+A))=\frac{1}{2}(\sin A+\sin B+\sin C),$$ dari $$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$$ $$=\frac{1}{2}(\sin 2A + \sin 2B) +\frac{1}{2}(\sin 2B + \sin 2C) +\frac{1}{2}(sin 2C + sin 2A)$$ $$= \sin(A + B) \cos(A – B) + \sin(B +C) \cos(B – C) + \sin(C + A) \cos(C – А)$$ $$< \sin(A + B) + \sin(B + C) + \sin(C + A) = \sin A + \sin B + \sin C,$$ maka dapat disimpulkan bahwa $[ABC] < [DEF]$, sesuai dengan yang diinginkan.
Ketiga sisi $\Delta ABC$ memiliki panjang $a, b, c,$ dan garis bagi sudut yang bersesuaian memiliki panjang masing-masing $w_a, w_b, w_c$. Jika jari-jari lingkaran $\Delta ABC$ adalah $R$, buktikan bahwa $$\frac{a^2+b^2}{w_c}+\frac{b^2+c^2}{w_a}+\frac{c^2+a^2}{w_b}>4R.$$
Solusi: Dengan teorema Stewart, $$w_a=\sqrt{\frac{bc}{(b+c)^2}[(b+c)^2-a^2]}=\frac{bc}{b+c}\sqrt{2(1+\cos A)}=\frac{2bc}{b+c}\cos\frac{A}{2}$$ dan demikian pula, $$w_b=\frac{2ca}{c+a}\cos\frac{B}{2},text{ }\text{ }\text{ }w_c=\frac{2ab}{a+b}\cos\frac{C}{2}.$$ Oleh karena itu $$\frac{a^2+b^2}{w_c}+\frac{b^2+c^2}{w_a}+\frac{c^2+a^2}{w_b}>4R$$ $$\Leftrightarrow \frac{(b^2+c^2)(b+c)}{4Rbc\cos \frac{A}{2}}+\frac{(c^2+a^2)(c+a)}{4Rca\cos \frac{B}{2}}+\frac{(a^2+b^2)(a+b)}{4Rab\cos \frac{C}{2}}>2$$ $$\Leftrightarrow \frac{(b^2+c^2)(b+c)\sin \frac{A}{2}}{2abc}+\frac{(c^2+a^2)(c+a)\sin \frac{B}{2}}{2abc}+\frac{(a^2+b^2)(a+b)\sin \frac{C}{2}}{2abc}$$ $$>1.$$ Karena $b^2 + c^2 > 2bc$ dan $b + c > a$ dan pertidaksamaan serupa, maka cukuplah untuk menunjukkan bahwa $$\sin \frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}>1.$$ Karena $\frac{\pi-A}{2}+\frac{\pi-B}{2}+\frac{\pi-C}{2}=\pi$, oleh karena itu $$\cos\frac{\pi-A}{2}+\cos\frac{\pi-B}{2}+\cos\frac{\pi-C}{2}=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}>1,$$ maka, $$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\sin\frac{C}{2}=\cos \frac{\pi-A}{2}+\cos\frac{\pi-B}{2}+\cos\frac{\pi-C}{2}>1.$$
Misalkan $A,B,C$ adalah tiga sudut dalam $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, yang memenuhi $$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\cos A\cos B\cos C,$$ tentukan nilai maksimum dari $\cos A\cos B\cos C$.
Solusi: Misalkan $x=\cos^2 A,y=\cos^2 B,z=\cos^2 C$, maka $x,y,z \in (0,1)$ memenuhi $$\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)}=2\sqrt{xyz}.$$ Dengan ketidaksamaan AM-GM, $$2\sqrt{xyz}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\sqrt{x(3-3x)}+\sqrt{y(3-3y)}+\sqrt{z(3-3z)}\right]$$ $$\le \frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{x+(3-3x)}{2}+\frac{y+(3-3y)}{2}+\frac{z+(3-3z)}{2}\right]$$ $$=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z)\le \frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{xyz}.$$ Misalkan $\sqrt[6]{xyz}=p$, maka $$2p^3\le \frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}p^2\Leftrightarrow 4p^3+2\sqrt{3}p^2-3\sqrt{3}\le 0$$ $$\Leftrightarrow (2p-\sqrt{3})(2p^2+2\sqrt{3}p+3)\le 0 \Leftrightarrow 2p-\sqrt{3}\le 0 \Leftrightarrow p\le \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Maka $\cos A\cos B\cos C=\sqrt{xyz}=p^3\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$, persamaan berlaku ketika $x=y=z=\frac{3}{4}$, maka $$\max\{\cos A\cos B\cos C\}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.$$
Pada $\Delta ABC$, $$(\sqrt{3}\sin B-\cos B)(\sqrt{3}\sin C-\cos C)=4\cos B\cos C$$ dan $AB+AC=4$. Tentukan range dari $BC$.
Solusi: Membagi kedua sisi persamaan yang diberikan dengan $\cos B\cos C$ memberikan $$(\sqrt{3}\tan B-1)(\sqrt{3}\tan C-1)=4,$$ $$3\tan B\tan C-\sqrt{3}\tan B-\sqrt{3}\tan C+1=4,$$ $$\sqrt{3}(\tan B+\tan C)=3(\tan B\tan C-1),$$ $$\tan (B+C)=-\sqrt{3}.$$ Karena $0<B+C<\pi$, maka $B+C=\frac{2\pi}{3},A=\frac{\pi}{3}$. $AB+BC=4$ memberikan $AB=4-AC$. Dengan aturan kosinus, $$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A$$ $$=(4-AC)^2+AC^2-(4-AC)\cdot AC$$ $$=3AC^2-12AC+16=3(AC-2)^2+4\ge 4.$$ Oleh karena itu $2\le BC<AB+BC=4$, range dari $BC$ adalah $[2,4)$.
Misalkan $y=\sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\sec x+\csc x$. Tentukan nilai minimum dari $|y|$.
Solusi: Misalkan $t=\sin x+\cos x$, dimana $|t|\le \sqrt{2},|t|\neq 1$, maka $\sin x \cos x =\frac{1}{2}(t^2-1)$ dan $$y=\sin x+\cos x+\frac{1}{\sin x\cos x}+\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}$$ $$=t+\frac{2}{t^2-1}+\frac{2t}{t^2-1}=t+\frac{2}{t-1}$$ $$=\left(t-1+\frac{2}{t-1}\right)+1.$$ Fungsi $f(u)=u+\frac{1}{u},u>0$ menurun pada $(0,1]$. Ketika $\sqrt{2}\ge t>1$ dan $u=\frac{t-1}{\sqrt{2}}$, maka $0<u<\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$ dan $$y=\sqrt{2}f(u)+1\ge \left(\sqrt{2}-1+\frac{2}{\sqrt{2}-1}\right)+1=3\sqrt{2}+2.$$ Ketika $-\sqrt{2}\le t<1$, maka $-y=1-t+\frac{2}{1-t}-1$ yang mengambil nilai minimum ketika $\frac{1-t}{\sqrt{2}}=1$ yaitu $t=1-\sqrt{2}$, dan nilai minimum nya adalah $2\sqrt{2}-1$.
Maka, $|y|_{\min}=2\sqrt{2}-1$.

Solusi dari setiap Permasalahan diberikan pada kelas online

“It’s fine to celebrate success but it is more important to heed the lessons of failure.”