Nilai Ekstrem Fungsi dan Pertidaksamaan Rata-Rata

Pengantar Pemecahan Masalah

Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit

Kelas

Materi ini ditunjukan untuk siswa berbakat kelas 4, 5, 6, 7 dan 8

Presentasi

Unduh

Video Pengantar

fira

Video Lanjutan

Pre Test

Post Test

Referensi Tambahan

Unduh

Metedo-metode Menemukan Nilai Maksimum dan Minimum

Metode-metode berikut untuk menemukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dibahas dalam bab ini:

Nilai ekstrem suatu fungsi dapat ditentukan berdasarkan analisis kecenderungan perubahannya, karena jika nilai ekstrem $f(x)$ diambil pada suatu titik $x_0$, maka kecenderungan perubahan $f(x)$ harus diubah pada $x_0$. Untuk itu, penting untuk mempertimbangkan grafik fungsi, seperti dalam kasus $f(x)$ yang mengandung tanda nilai absolut.
Untuk fungsi kuadrat $y = ax^2+ bx + c$, metode melengkapi kuadrat sangat ampuh untuk mendapatkan nilai ekstremnya. Namun, ketika berurusan dengan fungsi kuadrat multivariabel atau masalah nilai ekstrem bersyarat, melengkapi kuadrat saja tidak cukup, perlu dilengkapi dengan beberapa teknik lain, seperti membatalkan variabel atau substitusi variabel, dll.
Untuk menentukan rentang satu variabel $x_1$ dalam fungsi kuadrat dua variabel $x_1, x_2$, sering kali berguna untuk menganggap $x_1$ sebagai konstanta pada saat itu dan menyelidiki persamaan kuadrat yang dihasilkan dari variabel lain $x_2$, maka ketidaknegatifan diskriminannya akan menghasilkan pertidaksamaan variabel $x_1$, yang darinya rentang $x_1$ diperoleh.
Alih-alih menggunakan diskriminan pada metode (III), kita bisa mendapatkan pertidaksamaan pada $x_1$ dengan menggunakan beberapa pertidaksamaan pada variabel lainnya juga. (lih. Contoh 5).
Pertidaksamaan Rata-rata (lih. Lampiran B) dapat digunakan untuk memperbesar atau memampatkan nilai suatu fungsi yang dipertimbangkan, sehingga diperoleh batas atas atau batas bawah konstan dari fungsi tersebut, kemudian pekerjaan yang tersisa adalah menunjukkan bahwa konstanta tersebut dapat dicapai oleh fungsi tersebut.
Dengan memperkenalkan transformasi trigonometri, banyak fungsi dapat dikonversi menjadi fungsi sederhana dari enam fungsi trigonometri dasar, sehingga teknik penanganan fungsi trigonometri dapat digunakan untuk mendapatkan nilai ekstremnya.

Contoh Soal

$f(x)=|x|+2|x-1+|+|x-2|+|x-4|+|x-6|+2|x-10|$, dimana $x\in\mathbb{R}$. Tentukan nilai minimum dari $f$.
Solusi: Untuk setiap bilangan riil $a$ dan $b$ dengan $a<b$, fungsi $g(x)=|x-a|+|x-b|,-\infty <x<+\infty$, dapat ditulis ke dalam bentuk $$g(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
a+b-2x & \text{jika }x\le a, \\
b-a & \text{jika }a\le x\le b,\\
2x-(a+b) & \text{jika }b\le x.
\end{array} \right.$$ Jadi $g(x)$ menurun pada $(-\infty , a]$, konstanta $b – a$ pada $[a, b]$, dan meningkat pada
$[b, +\infty)$.
Dengan demikian, $g$ mencapai nilai minimumnya $b – a$ ketika $a ≤ x ≤ b$.
Karena $|x|+|x-10|, |x-1|+|x-10|, |x−1|+|x-6|$, dan $|x-2|+|x-4|$ mencapai nilai minimumnya masing-masing pada $[0, 10], [1, 10], [1, 6]$, dan $[2, 4]$, maka $f$ mencapai nilai minimumnya ketika $x ∈ [2, 4]$, dan dengan membiarkan $x = 2, f(2) =2+2+0+2+4+16 = 26$ adalah nilai minimum $f$.
Diketahui $|y|\le 1$ dan $2x+y=1$, tentukan nilai minimum $2x^2+16x+3y^2$.
Solusi: $|y|\le 1,2x+y=1\Leftrightarrow 2x=1-y,-1\le y\le 1\Rightarrow 0\le x\le 1$. Oleh karena itu $$2x^2+16x+3y^2=2x^2+16x+3(1-2x)^2=14x^2+4x+3$$ $$=\left(x+\frac{1}{7}\right)^2+\frac{19}{7}.$$ Jadi, nilai minimum dari ekspresi yang diberikan diambil ketika $x = 0$, yaitu $3$.
Misalkan $x, y$ adalah bilangan riil yang memenuhi $2x + y ≥ 1$. Tentukan nilai minimum fungsi dua variabel $u = x^2+ 4x + y^2 -2y.$
Solusi: Jika kuadrat lengkap untuk $x$ dan $y$ dikosongkan secara terpisah, maka syarat $2x+y\ge 1$ tidak dapat dipenuhi. Misalkan $z = 2x + y$, maka $z ≥ 1, y = z – 2x$ dan $$u=x^2+4x+(z-2x)^2-2(z-2x)=5x^2-4zx+8x+z^2-2z$$ $$=5\left(x^2-\frac{4}{5}(z-2)x+\frac{4}{25}(z-2)^2\right)+\left(z^2-2z-\frac{4}{5}(z-2)^2\right)^2$$ $$=5\left(x-\frac{2}{5}(z-2)\right)^2+\frac{z^2+6z-16}{5}\ge \frac{1+6-16}{5}=-\frac{9}{5}.$$ Persamaan berlaku ketika $z=1,x=\frac{2}{5}(z-2)=-\frac{2}{5}$. Maka, $u_{\min}=-\frac{9}{5}$.
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari $y=\frac{3x^2-2x+2}{x^2+2x+2}$.
Solusi: Anggap nilai $y$ berada dalam rentangnya, sehingga $y$ dianggap sebagai konstanta. Dengan memindahkan penyebut ke ruas kiri, persamaan dalam $x$ diperoleh. $$yx^2+2yx+2y=3x^2+2x+2\Leftrightarrow (y-3)x^2+2(y-1)x+(2y-2)=0.$$ Persamaan tersebut harus memiliki akar-akar riil, sehingga diskriminannya bersifat non-negatif, yaitu jika $y ≠3$, maka $$(y-1)^2-(y-3)(2y-2)\ge 0\Rightarrow y^2-6y+5\le 0$$ $$\Rightarrow (y-1)(y-5)\le 0\Rightarrow 1\le y\le 5.$$ Ketika $y=3$, maka $x=-1$. Maka, $y_{\min}=1$ dan $y_{\max}=5$.
Diketahui bilangan riil $a,b,c,d,e$ memenuhi $a+b+c+d+e=8$ dan $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16$. Tentukan nilai maksimum dari $e$.
Solusi: Pertama-tama kita buktikan pertidaksamaan berikut: Untuk sembarang bilangan real $a, b, c, d$ $$4(a^2 +b^2 + c^2 + d^2) ≥ (a + b + c + d)^2,$$ dan persamaan tersebut berlaku jika dan hanya jika $a = b = c = d.$ Faktanya, $$4(a^2 +b^2 + c^2 + d^2) -(a + b + c + d)^2$$ $$= 3(a^2 + b^2 +c^2 +d^2) -2(ab + ac + ad + bc + bd +cd)$$ $$= (a^2 – 2ab + b^2) + (a^2 – 2ac + c^2) + (a^2 – 2ad + d^2) + (b^2 – 2bc + c^2)+(b^2 -2bd + d^2) + (c^2 – 2cd + d^2)$$ $$= (a – b)^2 + (a – c)^2 + (a -d)^2 + (b-c)^2 + (b – d)^2 + (c-d)^2 ≥ 0.$$ Maka, $a + b + c + d = (8 – e)$ dan $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 16 – e^2$ memberikan pertidaksamaan di $e$ $$(8-e)^2\le 4(16-e^2),$$ $$5e^2-16e\le 0,$$ $$5e\left(e-\frac{16}{5}\right)\le 0,$$ $$∴0\le e\le \frac{16}{5}.$$ Itu mudah dilihat bahwa $e=\frac{16}{5}$ ketika $a=b=c=d=\frac{6}{5}$. Maka $e_{\max}=\frac{16}{5}$.
Diberikan $a>0$. Tentukan nilai minimum dari fungsi $f(x)=x^5+\frac{a}{x}(x>0)$.
Solusi: Dengan pertidaksamaan AM-GM, $$f(x)=x^5+\frac{a}{5x}+\frac{a}{5x}+\frac{a}{5x}+\frac{a}{5x}+\frac{a}{5x}\ge 6\sqrt[6]{x^5\cdot \left(\frac{a}{5x}\right)^5}=6\sqrt[6]{\left(\frac{a}{5}\right)^5},$$ persamaan tersebut berlaku jika dan hanya jika $x^5 =\frac{a}{5x}$ yaitu $x = \sqrt[6]{\frac{a}{5}}$. Jadi nilai minimum fungsi tersebut adalah $$f\left(\sqrt[6]{\frac{a}{5}}\right)=6\sqrt[6]{\left(\frac{a}{5}\right)^5}.$$
Tentukan nilai maksimum dari $$\frac{xyz}{(1+5x)(4x+3y)(5y+6z)(z+18)}$$ Karena $x, y,$ dan $z$ berkisar pada himpunan semua bilangan riil positif. Berikan justifikasi atas jawaban Anda.
Solusi: Misalkan $$I=\frac{xyz}{(1+5x)(4x+3y)(5y+6z)(z+18)}$$ maka $$I=\frac{xyz}{(1+5x)(4x+3y)(5y+6z)(z+18)}=\frac{1}{20(1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma)(1+\delta)},$$ dimana $$\alpha=5x,\text{ }\beta=\frac{3y}{4x},\text{ }\gamma=\frac{6z}{5y},\text{ }\delta=\frac{18}{z},$$ karena $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ semuanya positif dengan $\alpha\cdot \beta\cdot \gamma\cdot \delta=81=3^4$. Maka rata-rata
ketidaksetaraan memberikan $$(1+ \alpha)(1 + \beta)(1 + \gamma)(1+\delta)$$ $$=1+(\alpha+\beta+\gamma+\delta)+(\alpha \beta+\alpha \gamma+\alpha \delta+\beta \gamma+\beta \delta+\gamma \delta)+(\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta)+\alpha\beta\gamma\delta$$ $$\ge 1+4(\alpha \cdot\beta\cdot\gamma\cdot\delta)^{\frac{1}{4}}+6(\alpha \cdot\beta\cdot\gamma\cdot\delta)^{\frac{3}{6}}+4(\alpha \cdot\beta\cdot\gamma\cdot\delta)^{\frac{3}{4}}+\alpha \cdot\beta\cdot\gamma\cdot\delta$$ $$=256.$$ Jadi $I\le \frac{1}{5120}$. Karena $I=\frac{1}{5120}$ ketika $\alpha=\beta=\gamma=\delta=3$, yaitu ketika $x=\frac{3}{5},y=\frac{12}{5},z=6$, terbukti bahwa $I_{\max}=\frac{1}{5120}$.
Diketahui panjang ketiga sisi $\Delta ABC$ adalah $3, 4$, dan $5$. $P$ adalah variabel titik di bagian dalam $\Delta ABC$ (bukan pada batasnya). Tentukan nilai maksimum perkalian jarak dari $P$ ke ketiga sisi $AB, BC, CA$.
Solusi: Misalkan $a=BC=3,b=CA=4,c=AB=5$, maka $\Delta ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan $\angle C=90^o$. Gunakan $h_a,h_b, h_c$ untuk menyatakan jarak dari $P$ ke $ВС, СА, АB$ secara berurutan, maka $$ah_a+bh_b+ch_c=2[ABC]=12,$$ Oleh karena itu, berdasarkan ketidaksetaraan rata-rata, $$h_ah_bh_c=\frac{(ah_a)(bh_b)(ch_c)}{abc}\le \frac{1}{abc}\left(\frac{ah_a+bh_b+ch_c}{3}\right)^3$$ $$=\frac{4^ 3}{60}=\frac{16}{15}.$$ Persamaan ini berlaku ketika $ah_a = bh_b = ch_c = 4$, yaitu $[PAB] = [PBC] = [PCA]$, yang berarti $P$ adalah pusat gravitasi $\Delta АВС$.
Dengan demikian, nilai maksimum $h_ah_bh_c$ adalah $\frac{16}{15}$.
Tentukan nilai maksimum dari $z=\frac{x+y-3}{x-y+1}$, dimana $x,y$ memenuhi $(x-3)^2+4(y-1)^2=4$.
Solusi: Misalkan $x=3+2\cos \theta$, $y=1+\sin \theta$, maka $$z=\frac{x+y-3}{x-y+1}=\frac{2\cos \theta+\sin \theta +1}{2\cos \theta -\sin \theta +3}.$$ Ketika $z$ telah mengambil nilai dalam rentangnya, pindahkan penyebut ke sisi kiri, lalu $$(2z -2) \cos \theta – (z + 1) \sin \theta + 3z -1 = 0.$$ Menggunakan $\cos \theta =\frac{1\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}},\sin \theta=\frac{2\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}$, maka $$(z+1)\tan^2\frac{\theta}{2}-2(z+1)\tan\frac{\theta}{2}+5z-3=0.$$ Ketika $z\neq -1$, maka diskriminan persamaan kuadrat dalam $\tan\frac{\theta}{2}$ adalah nonnegatif, jadi $$\frac{1}{4}\Delta =(z+1)^2-(z+1)(5z-3)\ge 0\Rightarrow z^2-1\le 0\Rightarrow -1<z\le 1.$$ Ketika $z=-1$ maka $x+y-3=-(x-y+1)$, jadi $x=1$ atau $\cos \theta =-1,y=1$.
Ketika $z=1$, maka $\tan \frac{\theta}{2}=1$, jadi $x=3,y=2$. Maka, $$z_{\max}=1,\text{ }\text{ }\text{ }z_{\min}=-1.$$
Jika $k,m,n$ adalah bilangan bulat positif dengan $\frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<1$. Tentukan nilai maksimum yang mungkin dari $\frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$.
Solusi: Misalkan $M(k,m,n)=\frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$. WLOG, kita dapat asumsikan $k\le m\le n$. Di bawah ini kami membahas tiga kasus: $k=2,k=3,k\ge 4$.
(i) Ketika $k=2$, karena $\frac{1}{2}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<1$, maka $m>2$.
Jika $m=3$, maka $\frac{1}{n}<\frac{1}{6}$ yaitu $n>6$. Dari $n=7$, kita peroleh $$\max\left\{M\right\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}=\frac{41}{42}.$$
Jika $m=4$, maka $\frac{1}{n}<\frac{1}{4}$ yaitu $n>4$. Dari $n=5$, kita peroleh $$\max\left\{M\right\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{19}{20}.$$
Jika $m>4$, dari $\frac{1}{2}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$ dan $5\le m\le n$, kita peroleh $$\max\left\{M\right\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{9}{10}.$$

(ii) Ketika $k=3$, kita mempertimbangkan kasus $m = 3$ dan $m > 3$.
Jika $m=3$, maka $\frac{1}{n}<\frac{1}{3}$ yaitu $n>3$. Dari $n=4$, kita peroleh $\max\{M\}=\frac{11}{12}$.
Jika $m>3$, dari $m=n=4$ kita memiliki $\max\{M\}=\frac{5}{6}$.

(iii) Ketika $k\ge 4$, dari $\frac{1}{k}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\le \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}<1$ kita peroleh $\max\{M\}=\frac{3}{4}$.
Jadi, $\max\{M\}=\frac{41}{42}$.

Solusi dari setiap Permasalahan diberikan pada kelas online

“The only real mistake is the one from which we learn nothing.”