Manipulasi Ekspresi Trigonometri

Pengantar Pemecahan Masalah

Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit

Kelas

Materi ini ditunjukan untuk siswa berbakat kelas 4, 5, 6, 7 dan 8

Presentasi

Unduh

Video Pengantar

fira

Video Lanjutan

Pre Test

Post Test

Referensi Tambahan

Unduh

Definisi

Rumus Trigonometri memiliki aplikasi yang luas dalam trigonometri dan geometri, khususnya rumus ini merupakan alat yang ampuh untuk menyelesaikan soal-soal kalkulasi geometri yang rumit. Dalam bab ini, kita tidak akan membahas soal-soal rumit ini, tetapi hanya berfokus pada aspek-aspek berikut.

Evaluasi dan penyederhanaan ekspresi trigonometri;
Evaluasi deret trigonometri;
Identitas trigonometri segitiga.

Contoh Soal

Evaluasi $\cos 10^o\cos 50^o\cos 70^o+\sin 10^o\sin 50^o\sin 70^o$.
Solusi: Tulis ulang yang diberikan $\cos 10^o\cos 50^o\cos 70^o+\sin 10^o\sin 50^o\sin 70^o$ ke $$\sin 20^o\sin 40^o\sin 80^o+\cos 20^o\cos 40^o\cos 80^o,$$ maka $$8\sin 20^o\sin 40^o\sin 80^o=4(\cos 20^o-\cos 60^o)\sin 80^o$$ $$=4\sin 80^o\cos 20^o-2\sin 80^o=2(\sin 100^o+\sin 60^o)-2\sin 80^o$$ $$=2\sin 60^o=\sqrt{3},$$
$$8\cos 20^o\cos 40^o\cos 80^o=\frac{1}{\sin 20^o}\cdot 8 \sin 20^o\cos 20^o\cos 40^o\cos 80^o$$ $$=\frac{1}{\sin 20^o}\cdot 4\sin 40^o\cos 40^o\cos 80^o=\frac{1}{\sin 20^o}\cdot 2\sin 80^o\cos 80^o$$ $$=\frac{1}{\sin 20^o}\cdot \sin 160^o=1,$$ oleh karena itu $\cos 10^o\cos 50^o\cos 70^o+\sin 10^o\sin 50^o\sin 70^o=\frac{\sqrt{3}+1}{8}$.
Evaluasi $\sin^8 75^o-\cos^8 75^o$.
Solusi: Menerapkan faktorisasi dari $a^8-b^8$ memberikan $$\sin^8 75^o-\cos^8 75^o=(\sin^4 75^o-\cos^4 75^o)(\sin^4 75^o+\cos^4 75^o)$$ $$=(\sin^2 75^o-\cos^2 75^o)(\sin^2 75^o+\cos^2 75^o)\cdot [(\sin^2 75^o+\cos^2 75^o)^2-2\sin^2 75^o\cdot \cos^2 75^o]$$ $$=-\cos 150^o\left(1-\frac{1}{2}\sin^2 250^o\right)$$ $$=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{7\sqrt{3}}{16}.$$
Diberikan $\frac{\sin (\alpha +\beta)}{\sin (\alpha -\beta)}=3$, tentukan nilai dari $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$.
Solusi: Persamaan yang diberikan menghasilkan $$\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =3(\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta),$$ yaitu $\sin \alpha \cos \beta=2\cos \alpha \sin \beta, ∴\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}=\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \sin \beta}=2.$$
Jika $\cot \alpha +\cot \beta+\cot \gamma =-\frac{4}{5},\tan \alpha +\tan \beta+\tan \gamma=\frac{17}{6}$ dan $\cot \alpha \cot \beta+\cot \beta \cot \gamma+\cot \gamma \cot \alpha =-\frac{17}{5}$, tentukan nilai dari $\tan(\alpha+\beta+\gamma).$
Solusi: Misalkan $x=\tan \alpha, y=\tan \beta$ dan $z=\tan \gamma$. Maka $$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=-\frac{4}{5},\text{ }\text{ }\text{ }(7.1)$$ $$x+y+z=\frac{17}{6},\text{ }\text{ }\text{ }(7.2)$$ $$\frac{x+y+z}{xyz}=-\frac{17}{5}.\text{ }\text{ }\text{ }(7.3)$$ $(7.2)\div(7.3)$ memberikan $xyz=-\frac{5}{6}$, maka $(7.1)$ menghasilkan $xy+yz+zx=\frac{2}{3}$. Maka $$\tan(\alpha +\beta+\gamma)=\frac{\tan(\alpha+\beta)}{1-\tan(\alpha +\beta)\tan \gamma}$$ $$=\frac{(\tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma)/(1-\tan \alpha \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \tan \beta-\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma)/(1-\tan \alpha \tan \beta)}$$ $$=\frac{x+y+x-xyz}{1-(xy+yz+zx)}=\frac{(17/6)+(5/6)}{1-(2/3)}=11.$$
Buktikan bahwa $$\sum_{k=1}^{n}\sin(\alpha+k\beta)=\frac{\sin \frac{n\beta}{2}\sin(\alpha+\frac{n+1}{2}\beta)}{\sin\frac{1}{2}\beta}$$
Solusi: Misalkan $S=\sin(\alpha +\beta)+\sin(\alpha +2\beta)+…+\sin(\alpha+n\beta)$. Maka $$S\cdot\sin \frac{\beta}{2}=\sum_{r=1}^{n}\sin\frac{\beta}{2}\sin(\alpha+r\beta)$$ $$=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{n}\left[ \cos\left( \alpha+(r-\frac{1}{2}) \beta\right)-\cos\left( \alpha+(r+\frac{1}{2})\beta \right) \right]$$ $$=\frac{1}{2}\left[ \cos\left( \alpha+\frac{1}{2} \beta\right) -\cos\left( \alpha+(n+\frac{1}{2}) \right)\right]\beta$$ $$=\sin\frac{n\beta}{2}\sin\left( \alpha+\frac{n+1}{2}\beta \right),\text{}∴S=\frac{\sin\frac{n\beta}{2}\sin\left( \alpha+\frac{n+1}{2} \beta\right)}{\sin\frac{1}{2}\beta}$$
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ dan bilangan riil $x$ dengan $2^kx\neq (m+\frac{1}{2})\pi$ untuk semua $k \in \mathbb{N}$ dan $m\in \mathbb{Z}$, $$\tan x+2\tan 2x+2^2\tan 2^2x+…+2^n\tan 2^nx=\cot x-2^{n+1}\cot 2^{n+1}x.$$
Solusi: Untuk setiap yang nyata $\alpha \neq (m+\frac{1}{2})\pi$, $$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}\Rightarrow \cot 2\alpha=\frac{1}{2}(\cot \alpha -\tan \alpha)$$ $$\Rightarrow \tan \alpha =\cot \alpha -2\cot 2\alpha \Rightarrow 2^k\tan 2^kx=2^k\cot 2^kx-2^{k+1}\cot 2^{k+1}x$$ untuk $k=0,1,2,..,n$. Maka, $$\tan x+2\tan 2x+2^2\tan 2^2x +…+2^n \tan 2^nx$$ $$=(\cot x-2\cot 2x)+(2\cot 2x -2^2\cot 2^2 x)+…+(2^n\cot 2^nx-2^{n+1}\cot 2^{n+1}x)$$ $$=\cot x-2^{n+1}\cot 2^{n+1}x.$$
Diketahui $\sec x+\tan x=\frac{22}{7},\csc x+\cot x=\frac{m}{n}$, dimana $(m,n)=1$. Tentukan $m+n$.
Solusi: $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{22}{7}\Rightarrow \frac{1+\sin x+\cos x}{1+\sin x-\cos x}=\frac{29}{15}$. $$∵\frac{1+\sin x+\cos x}{1+\sin x-\cos x}=\frac{2\cos^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\cot \frac{x}{2}\text{ dan }$$ $$\csc x+\cot x=\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2\cos^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\cot \frac{x}{2},$$ oleh karena itu $\frac{m}{n}=\frac{29}{15}$ dan $m+n=44$. Identitas dalam contoh berikut adalah identitas yang melibatkan tiga sudut dalam suatu segitiga, hasilnya dapat langsung diterapkan.
Diketahui $A,B,C$ adalah tiga sudut dalam dari $\Delta ABC$. Buktikan identitas berikut $$\text{(i) }\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2};$$ $$\text{(ii) }\cos A+\cos B+\cos C=1+4 \sin\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2};$$ $$\text{(iii) }\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C;$$ $$\text{(iv) }\tan \frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1;$$ $$\text{(v) }\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}=\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2};$$ $$\text{(vi) }\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$$
Solusi:
(i) $\sin A+\sin B+\sin C=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+\sin(A+B)$
$=\sin\frac{A+B}{2}\left[\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}\right]$
$=4\sin\frac{A+B}{2}\cos \frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}=4\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}.$
(ii) $\cos A+\cos B\cos C=2\cos \frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}-\cos(A+B)$
$=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}-(2\cos^2\frac{A+B}{2}-1)$
$=1+2\cos \frac{A+B}{2}\left[\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2}\right]$
$=1+4\sin\frac{C}{2}\sin\frac{b}{2}\sin\frac{A}{2}.$
(iii) $\tan A+\tan B+\tan C=\tan(A+B)(1-\tan A\tan B)+\tan C$
$=-\tan C(1-\tan A\tan B)+\tan C=\tan A\tan B\tan C.$
(iv) $\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}$
$=\tan\frac{A}{2}\left(\tan{B}{2}+\tan\frac{C}{2}\right)+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}$
$=\tan\frac{A}{2}\tan\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)\left(1-\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}\right)+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}$
$=\tan\frac{A}{2}\cot\frac{A}{2}\left(1-\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}\right)+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}=1.$
(v) Ketika kedua sisi dari (iv) dibagi dengan $\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}$, persamaan (v) diperoleh sekaligus.
(vi) Ketika kedua sisi dari (iii) dibagi dengan $\tan A\tan B\tan C$, maka (vi) diperoleh sekaligus.

Solusi dari setiap Permasalahan diberikan pada kelas online

“Your life does not get better by chance, it gets better by change.”