Persamaan Pecahan

Pengantar Pemecahan Masalah

Pemecahan masalah atau problem solving adalah proses untuk menemukan solusi dari suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang sudah ada. Pemecahan masalah merupakan soft skill yang penting untuk menghadapi tantangan dalam kehidupan sehari – hari, terutama ketika harus menemukan solusi inovatif untuk masalah yang rumit

Kelas

Materi ini ditunjukan untuk siswa berbakat kelas 4, 5, 6, 7 dan 8

Presentasi

Unduh

Video Pengantar

fira

Video Lanjutan

Pre Test

Post Test

Referensi Tambahan

Unduh

Definisi

Suatu persamaan disebut persamaan pecahan jika mengandung ekspresi pecahan di mana variabel yang tidak diketahui muncul dalam penyebutnya.
Pendekatan dasar untuk menyelesaikan persamaan pecahan adalah dengan menghilangkan penyebut jika memungkinkan. Namun, dalam banyak kasus, hal ini tidak dapat dilakukan hanya dengan mengalikan persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya, karena akan menghasilkan persamaan dengan derajat yang tinggi. Oleh karena itu, teknik-teknik berikut seringkali diperlukan.

Gunakan teknik pecahan parsial.
Gunakan teknik penjumlahan teleskopik.
Gunakan substitusi variabel atau ekspresi.
Kadang-kadang, disarankan untuk memanipulasi ekspresi sebelum substitusi ditemukan dan diterapkan.

Contoh Soal

Selesaikan persamaan $\frac{x+7}{x+8}-\frac{x+8}{x+9}-\frac{x+5}{x+6}+\frac{x+6}{x+7}=0$.
Solusi: Persamaan yang diberikan dapat disederhanakan menjadi $$\left(1-\frac{1}{x+8}\right)-\left(1-\frac{1}{x+9}\right)-\left(1-\frac{1}{x+6}\right)+\left(1-\frac{1}{x+7}\right)=0,$$ $$\frac{1}{x+8}-\frac{1}{x+9}=\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7},$$ $$\frac{1}{x^2+17x+72}=\frac{1}{x^2+13x+42},$$ $$x^2+17x+72=x^2+13x+42,\text{ }\text{ } ∴x=-\frac{15}{2}.$$
Selesaikan persamaan berikut $$\frac{1}{x^2+2x}+\frac{1}{x^2+6x+8}+\frac{1}{x^2+10x+24}=\frac{1}{5}-\frac{1}{x^2+14x+48}.$$
Solusi: Dengan memindahkan suku tersebut ke ruas kiri, maka $-\frac{1}{x^2 + 14x + 48}$ menjadi $$\frac{1}{x^2+2x}+\frac{1}{x^2+6x+8}+\frac{1}{x^2+10x+24}+\frac{1}{x^2+14x+48}=\frac{1}{5},$$ $$\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+6)}+\frac{1}{(x+6)(x+8)}=\frac{1}{5},$$ $$\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}\right)+…+\left(\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+8}\right)\right]=\frac{1}{5},$$ $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+8}=\frac{2}{5},\text{ jadi }x^2+8x-20=0,$$ maka $(x-2)(x+10)=0$, yaitu $x_1=2$ dan $x_2=-10$.
Selesaikan persamaan $\frac{|x-3|-|x+1|}{2|x+1|}=1$.
Solusi: Membagi ruas kiri menjadi dua suku, maka $$\frac{|x-3|}{2|x+1|}-\frac{1}{2}=1,$$ $$\left|\frac{x-3}{x+1}\right|=3,$$ $$\frac{x-3}{x+1}=3\text{ atau }\frac{x-3}{x+1}=-3,$$ $$x-3=3x+3\Rightarrow x=-3\text{ dan }x-3=-3x-3\Rightarrow x=0.$$ Jadi, $x=-3$ atau $x=0$.
Substitusi variabel atau ekspresi memainkan peran penting dalam menyelesaikan persamaan pecahan, seperti yang ditunjukkan dalam contoh berikut.
Selesaikan persamaan $\frac{2x^2+1}{x+2}+\frac{2x+4}{2x^2+1}=3$.
Solusi: Misalkan $y=\frac{2x^2+1}{x+2}$, maka persamaannya menjadi $y+\frac{2}{y}=3$. $$y+\frac{2}{y}=3\Rightarrow y^2-3y+2=0\Rightarrow (y-2)(y-1)=0.$$ Ketika $y=1$, maka $2x^2-x-1=0$, jadi $x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$.
Ketika $y=2$, maka $2x^2-2x-3=0$, jadi $x_3=\frac{1}{2}(1-\sqrt{7}),x_4=\frac{1}{2}(1+\sqrt{7}).$
Misalkan dua akar persamaan $$\frac{1}{x^2-10x-29}+\frac{1}{x^2-10x-45}-\frac{2}{x^2-10x-69}=0$$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Tentukan nilai dari $\alpha + \beta$.
Solusi: Misalkan $y=x^2-10x-45$, persamaan yang diberika menjadi $$\frac{1}{y+16}+\frac{1}{y}=\frac{2}{y-24},$$ $$\frac{y+8}{y^2+16y}=\frac{1}{y-24},$$ $$y^2-16y-192=y^2+16y\Rightarrow y=-6,$$ $$x^2-10x-45=-6\Rightarrow x^2-10x-39=0.$$ Maka, dengan Teorema Vieta, $\alpha +\beta =10$.
Terkadang manipulasi pada persamaan yang diberikan diperlukan untuk menemukan substitusi yang diinginkan, seperti yang ditunjukkan dalam contoh berikut.
Selesaikan sistem untuk $(x,y)$: $$\frac{xy}{3x+2y}=\frac{1}{8},\text{ }\text{ }\text{ }\frac{xy}{2x+3y}=\frac{1}{7}.$$
Solusi: Dengan mengambil kebalikan pada dua sisi setiap persamaan, maka dapat disimpulkan bahwa $$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=8,$$ $$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=7.$$ Misalkan $u=\frac{1}{x},v=\frac{1}{y}$, jadi sisten untuk $(u,v)$ adalah $$2u+3v=8,$$ $$3u+2v=7.$$ Dengan menyelesaikannya, diperoleh $u = 1, v = 2$. Kemudian, kembali ke $(х, у)$, $$x=1\text{ dan }y=\frac{1}{2}.$$
Selesaikan persamaan $\frac{4x^2+x+4}{x^2+1}+\frac{x^2+1}{x^2+x+1}=\frac{31}{6}$.
Solusi: Tulis persamaan yang diberikan ke dalam bentuk $$4+\frac{x}{x^2+1}+1-\frac{x}{x^2+x+1}=5+\frac{1}{6},$$ maka $$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}=\frac{1}{6}.$$ Misalkan $w=x+\frac{1}{x}$, maka diperoleh $$\frac{1}{w}-\frac{1}{w+1}=\frac{1}{6},$$ $$w(w+1)=6\Rightarrow w^2+w-6=0,$$ $$∴(w-2)(w+3)=0, \text{ yaitu }w=2\text{ atau }w=-3.$$
(i) $w=2\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2$, maka $(x-1)^2=0$, jadi $x_1=x_2=1$.
(ii) $w=-3\Rightarrow x+\frac{1}{x}=-3$, maka $x^2+3x+1=0$, jadi $$x_3=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\text{ }\text{ }x_4=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}.$$
Selesaikan persamaan $\frac{x^2}{15}+\frac{48}{5x^2}=\frac{2x}{3}-\frac{8}{x}$.
Solusi: Ketika kedua sisi dikalikan dengan $15$, persamaan yang diberikan menjadi $$x^2+\left(\frac{12}{x}\right)^2=10\left(x-\frac{12}{x}\right).$$ Misalkan $y=x-\frac{12}{x}$, dengan melengkapi persegi tersebut maka dapat disimpulkan bahwa $$y^2-10y+24=0,$$ $$(y-4)(y-6)=0,\text{ }∴y=4\text{ atau }6.$$ Maka $y=4\Rightarrow x-\frac{12}{x}=4\Rightarrow (x-6)(x+2)=0,\text{ yaitu }x_1=6,x_2=-2.$$ $$y=6\Rightarrow -\frac{12}{x}=6\Rightarrow x^2-6x-12=0,\text{ yaitu }x_3=3-\sqrt{21},x_4=3+\sqrt{21}.$$
Selesaikan persamaan $2x^2-3x+\frac{2-3x}{x^2}=1$.
Solusi: Karena $x\neq 0$, persamaan yang diberikan setara dengan $$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)=1.$$ Misalkan $y=x+\frac{1}{x}$, maka $2y^2-3y-4=1$, yaitu $(2y-5)(y+1)=0$. Jadi, $y=\frac{5}{2}$ atau $-1$.
(i) $y=\frac{5}{2}\Rightarrow 2x+\frac{2}{x}=5\Rightarrow 2x^2-5x+2=0\Rightarrow (2x-1)(x-2)=0\Rightarrow x_1=\frac{1}{2},x_2=2.$
(ii) $y=-1\Rightarrow x+\frac{1}{x}=-1\Rightarrow x^2+x+1=0$, solusi tidak nyata.
Selesaikan persamaan $x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=3$.
Solusi: Dengan melengkapi persegi di sisi kiri, maka dapat disimpulkan bahwa $$\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}=3,$$ $$\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+2\frac{x^2}{x+1}-3=0.$$ Misalkan $y=\frac{x^2}{x+1}$, maka $y^2+2y-3=0\Rightarrow (y+3)(y-1)=0$, jadi $y=-3$ atau $1$.
(i) $y=-3\Rightarrow \frac{x^2}{x+1}=-3\Rightarrow x^2+3x+3=0$, tidak ada solusi nyata.
(ii) $y=1\Rightarrow \frac{x^2}{x+1}=1\Rightarrow x^2-x-1=0\Rightarrow x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Solusi dari setiap Permasalahan diberikan pada kelas online

“Develop a passion for learning. If you do, you will never cease to grow.”