Pertidaksamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Pecahan
- Metode Dasar untuk Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
- Contoh Soal
Dalam bab ini dibahas pertidaksamaan kuadrat dan pertidaksamaan pecahan variabel tunggal.
Setiap pertidaksamaan kuadrat dapat disusun dalam salah satu bentuk berikut
(i) $f(x) > 0;$ (ii) $f(x) ≥ 0;$ (iii) $f(x) < 0;$ (iv) $f(x) ≤ 0,$
di mana $f(x) = ax^2 + bx + c$ dengan $a \neq 0$. Di bawah ini, untuk memudahkan pembahasan, kita asumsikan $a > 0$, yaitu kurva fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ merupakan parabola yang terbuka ke atas.
Metode Dasar untuk Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
(I) Ketika persamaan $f(x) = 0$ memiliki dua akar riil $x_1 ≤ x_2$, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (1) sampai (5) adalah $$\begin{array}{rcl}
\text{(i) } x < x_1 \text{ atau } x > x_2; & \text{(ii) }x ≤ x_1 \text{ atau } x ≥ x_2; \\
\text{(iii) }x_1 < x < x_2; & \text{(iv) }x_1\le x\le x_2;
\end{array}$$ Secara geometris, $_x1, x_2$ adalah koordinat-$x$ dari titik-titik perpotongan kurva $y = f(x)$ dengan sumbu-$x$, dan himpunan penyelesaiannya adalah rentang koordinat-$x$ dari titik-titik pada kurva dengan koordinat-$y$ positif (untuk (i)), atau dengan koordinat-$y$ non-negatif (untuk (ii)), dengan koordinat-$y$ negatif (untuk (iii)), atau dengan koordinat-$y$ non-positif (untuk (iv)).
(II) Ketika persamaan $f(x) = 0$ tidak memiliki solusi riil, maka $f(x) > 0$ untuk setiap $x$ riil, sehingga himpunan penyelesaian pertidaksamaan (i) dan (ii) keduanya merupakan seluruh sumbu riil dan tidak memiliki solusi untuk (iii) dan (iv).
Secara geometris, persamaan $f(x) = 0$ tidak memiliki solusi riil yang berarti seluruh kurva $y = f(x)$ berada di atas sumbu $x$, sehingga tidak berpotongan dengan sumbu $x$, sehingga setiap titik pada kurva memiliki koordinat $y$ positif.
(III) Untuk pertidaksamaan pecahan bentuk $$\text{(i) }g(x) > 0; \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (ii) }g(x) ≥ 0; \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (iii) }g(x) < 0; \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (iv) }g(x) ≤ 0,$$ dengan $g(x) = \frac{x − a}{x − c}$ dengan $a \neq c$, permasalahan akan menjadi seperti yang dibahas pada (I) ketika mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan $(x − c)^2$.
(IV) Jika terdapat lebih dari satu faktor linier pada penyebut atau pembilang dari ekspresi pecahan $g(x)$, maka tanda $g(x)$ perlu dibahas dengan mempartisi rentang $x$ ke dalam beberapa interval, di mana titik-titik partisi diberikan dengan membiarkan setiap faktor linier bernilai nol.
Perhatikan bahwa, jika faktor $(x − a)^{2n+1}$ dengan $n ≥ 1$ terdapat pada pembilang penyebut $g(x)$, faktor tersebut dapat digantikan oleh $(x − c)$ tanpa mengubah himpunan penyelesaian, dan jika $(x − a)^{2n}$ dengan $n ≥ 1$ terdapat pada pembilang $g(x)$, faktor tersebut dapat dihilangkan terlebih dahulu, lalu ditentukan apakah $a$ terdapat pada himpunan penyelesaian yang dihasilkan. Jika $(x − a)^{2n}$ terdapat pada penyebut $g(x)$, maka hilangkan faktor tersebut terlebih dahulu, dan hilangkan titik $a$ dari himpunan penyelesaian yang dihasilkan jika ada.
Dengan demikian, konstruksi $g(x)$ yang dipertimbangkan dapat disederhanakan.
(V) Dalam kompetisi olimpiade matematika, pertidaksamaan yang mengandung parameter sering muncul. Salah satu masalah yang umum adalah menentukan nilai atau rentang parameter berdasarkan informasi yang terkandung dalam pertidaksamaan yang diberikan dan kondisi lain yang diberikan.
Contoh Soal
- Selesaikan pertidaksamaan $(x − 2)^4(x − 5)^5(x + 3)3 < 0$.
Solusi: Karena $(x − 2)^4(x − 5)^5(x + 3)^3 < 0 ⇔ (x − 5)(x + 3) < 0$, maka himpunan penyelesaiannya adalah $$\{−3 < x < 5\} − \{2\}, \text{ atau setara dengan }, \{−2 < x < 2\} ∪ \{2 < x < 5\}.$$ - Selesaikan pertidaksamaan $y (x^2 − x − 1)2 ≥ (x^2 + x − 3)^2.$
Solusi: Dengan faktorisasi, pertidaksamaan yang diberikan dapat disederhanakan. $$(x^2 − x − 1)^2 ≥ (x^2 + x − 3)^2 ⇔ (x^2 − x − 1)^2 − (x^2 + x − 3)^2 ≥ 0$$ $$⇔ −(2x − 2)(2x^2 + 2) ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x^2 + 1) ≤ 0 ⇔ (x − 1) ≤ 0.$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{x ≤ 1\}$. - Selesaikan pertidaksamaan $\frac{x^2-x-2}{x^2-3x+1}\ge 0$.
Solusi: Ketimpangan ini setara dengan sistem $$x^2 − x − 2 ≥ 0, x^2 − 3x + 1 > 0 \text{ atau } x^2 − x − 2 ≤ 0, x^2 − 3x + 1 < 0.$$ $$x^2 − x − 2 ≥ 0, x^2 − 3x + 1 > 0$$ $$⇔ (x − 2)(x + 1) ≥ 0,\left(x −\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)>0$$ $$⇔ \{\{x ≤ −1\} ∪ \{x ≥ 2\}\} ∩\left\{\{x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}\}∪ \{x >\frac{3+\sqrt{5}}{2}\}\right\}$$ $$⇔ \{x ≤ −1\} ∪ \left\{x >\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right\}.$$ $$x^2 − x − 2 ≤ 0, x^2 − 3x + 1 < 0$$ $$⇔ (x − 2)(x + 1) ≤ 0,\left(x −\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)<0$$ $$⇔ \{\{−1 ≤ x ≤ 2\}\} ∩\left\{\{\frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{5}}{2}\}\right\}$$ $$⇔\{\frac{3-\sqrt{5}}{2}< x\le 2\}.$$ Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah $$\{x ≤ −1\} ∪\left\{\frac{3-\sqrt{5}}{2}< x \le 2\right\}∪ \left\{x >\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right\}.$$ - Selesaikan pertidaksamaan $\frac{x-2}{x+3}>-1$.
Solusi: $\frac{x-2}{x+3}>-1⇔\frac{2x+1}{x+3}>0⇔(2x+1)(x+3)>0$, jadi himpunan penyelesaiannya adalah $$\{x < −3\} ∪ \left\{x > −\frac{1}{2}\right\}.$$ - Selesaikan pertidaksamaan $\frac{(x+1)(x-2)}{(x-4)}>0$, dimana $x\neq 4$.
Solusi: Daftar tabel berikut
Oleh karena itu himpunan penyelesaiannya adalah $S = (−1, 2) ∪ (4, +∞)$. - Temukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\frac{x+1}{x-1}>\frac{6}{x}$. ($x \neq 1$ dan
$x \neq 0$.)
Solusi: Ubah $\frac{x+1}{x-1}>\frac{6}{x}$ ke dalam bentuk $\frac{x+1}{x-1}-\frac{6}{x}>0$, maka $$\frac{x+1}{x-1}-\frac{6}{x}>0⇔\frac{x(x+1)-6(x-1)}{x(x-1)}>0⇔\frac{x^2-5x+6}{x(x-1)}>0,$$ $$⇔\frac{(x-2)(x-3)}{x(x-1)}>0.$$ Berdasarkan tabel berikut ini
himpunan penyelesaiannya adalah $$(−∞, 0) ∪ (1, 2) ∪ (3, +∞).$$ - Selesaikan pertidaksamaan kuadrat $ax^2 − (a + 1)x + 1 < 0$, di mana $a$ adalah parameter.
Solusi: Karena $a \neq 0, ax^2 − (a + 1)x + 1 < 0 ⇔ a(x −\frac{1}{2})(x-1)<0$.
(i) Jika $a > 1$, himpunan penyelesaiannya adalah $\frac{1}{a}< x < 1$.
(ii) Jika $a = 1$, tidak ada solusi.
(iii) Jika $0 < a < 1$, himpunan penyelesaiannya adalah $1 < x<\frac{1}{a}$.
(iv) Jika $a < 0$, maka pertidaksamaannya menjadi $(x −\frac{1}{a})(x − 1) > 0$, maka himpunan penyelesaiannya adalah $$\{x<\frac{1}{a}\}∪ \{x > 1\}.$$ - Mengingat bahwa pertidaksamaan $kx^2 −kx−1 < 0$ berlaku untuk setiap bilangan real $x$, maka
(A) $−4 < k ≤ 0,$ (B) $−4 ≤ k ≤ 0,$ (C) $−4 < k < 0,$ (D) $−4 ≤ k < 0.$
Solusi: Jelaslah bahwa pertidaksamaan tersebut berlaku ketika $k = 0$.
Ketika $k < 0$, kurva $y = kx^2−kx^2$ terbuka ke bawah, dan berada di bawah sumbu $x$, sehingga persamaan $kx^2 −kx^2 = 0$ tidak memiliki akar riil, yaitu diskriminannya negatif. $$∆ = k^2 + 4k < 0 ⇔ k > −4.$$ Jadi, $−4 < k ≤ 0$, jawabannya adalah (A). - Diketahui himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $ax^2+bx+c > 0$ adalah $1 < x < 2$. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $cx^2 + bx + a < 0$.
Solusi: Pertidaksamaan pertama memiliki himpunan penyelesaian $1 < x < 2$ yang berarti bahwa $a < 0$, dan $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}<0⇔ (x − 1)(x − 2) < 0 ⇔ x^2 − 3x + 2 < 0.$$ Oleh karena itu $\frac{b}{a} = −3, \frac{c}{a} = 2$ atau $b = −3a, c = 2a$ dan $a < 0.$ Maka pertidaksamaan kedua menjadi $$a(2x^2 − 3x + 1) < 0, \text{ yaitu }2x^2 − 3x + 1 > 0.$$ Dengan demikian, $(2x − 1)(x − 1) > 0$, dan himpunan penyelesaiannya adalah $\{x <\frac{1}{2}\}∪ \{x > 1\}.$$
“The only person who is educated is the one who has learned how to learn and change.”
