Untuk polinomial dengan koefisien integral multivariabel $f(x_1, . . . , x_n)$, masalah untuk menemukan solusi integer $(x_1, . . . , x_n)$ dari persamaan $$f(x_1, . . . , x_n)=0$$ disebut masalah Diophantine, dan persamaan $f(x_1, . . . , x_n) = 0$ disebut persamaan Diophantine.

          Seperti biasa, dalam persamaan Diophantine atau sistem persamaan Diophantine, jumlah variabel yang tidak diketahui lebih banyak daripada jumlah persamaan, sehingga solusinya mungkin tidak unik/terbatas, atau katakanlah, jumlah solusinya lebih dari satu seperti biasa. Oleh karena itu, berdasarkan ketidakpastian solusi, persamaan semacam ini juga disebut persamaan tak tentu di beberapa negara. Selain itu, masalah Diophantine juga disebut masalah untuk menemukan solusi bilangan bulat dari persamaan.

Dalam bab ini, pembahasan dibatasi pada persamaan linear dan sistem persamaan linear. Persamaan yang paling sederhana dan umum adalah $$ax + by = c, \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(23.1)$$ di mana $a, b, c$ adalah bilangan bulat konstan.

Teorema I. Persamaan $(23.1)$ tidak mempunyai solusi bilangan bulat jika FPB$(a , b) \nmid c$.
Bukti. Sebaliknya, jika $(x, y)$ merupakan solusi bilangan bulat dari $(23.1)$, maka ruas kiri habis dibagi oleh FPB$(a, b)$, sedangkan ruas kanan tidak, sehingga terjadi kontradiksi.
          Jika $(a , b) | c$, maka setelah dibagi dengan $(a , b)$, kedua sisi $(23.1)$ menjadi $$a’x+b’y=c’,\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(23.2)$$ di mana $a’,b’c’$ adalah bilangan bulat dan $(a’, b’) = 1$. Oleh karena itu, di bawah ini selalu diasumsikan bahwa Persamaan $(23.1)$ memenuhi syarat $(a , b) = 1$.

Teorema II. Ketika $(a, b) = 1$, persamaan $(23.1)$ selalu memiliki setidaknya satu solusi bilangan bulat.
Bukti: Pertimbangkan kasus $c = 1$ terlebih dahulu. Untuk persamaan $ax + by = 1, (a, b) = 1$ menunjukkan $a, b \neq 0$. Tanpa mengabaikan keumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa $b > 0$.
          Ketika setiap bilangan $b a, 2a, 3a, . . . , b · a$ dibagi dengan $b$, maka sisanya berbeda. Sebaliknya, jika $ia ≡ ja$ (mod $b$) untuk beberapa $1 ≤ i < j ≤ b$, maka $b | (j − i)a$, sehingga $b | (j − i)$. Namun, $1 ≤ j − i < b$, sebuah kontradiksi.
          Dengan demikian, pasti ada $x ∈ \{1, 2, . . . , b\}$ sehingga $xa ≡ 1$ (mod $b$), yaitu $xa − 1 =−yb$ untuk suatu bilangan bulat $y$. Jadi, $ax + by = 1$.
          Jika $c \neq 1$ dan $(x_0, y_0)$ merupakan solusi bilangan bulat untuk $ax+by = 1$, maka $(cx_0, cy_0)$ merupakan solusi bilangan bulat dari persamaan $(23.1)$. Kesimpulan Teorema II terbukti.

Teorema III. Jika $x_0, y_0$ adalah solusi bilangan bulat khusus dari Persamaan $(23.1)$, maka solusi umum dari $(23.1)$ diberikan oleh $$\left\{ \begin{array}{cl}
x &= x_0+bt \\
y &= y_0-at,
\end{array} \right. \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\forall t\in \mathbb{Z}.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(23.3)$$
Bukti: Misalkan $(x, y)$ adalah solusi apa pun dari persamaan $(23.1)$ yang berbeda dari solusi yang diberikan $(x_0, y_0)$. Maka $$\begin{array}{rcl}
ax+by & = c, \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(23.4)\\
ax_0+by_0& = c.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(23.5)
\end{array}$$ $(23.4) − (23.5)$ menghasilkan $a(x − x_0) = −b(y − y_0)$, jadi $\frac{x − x_0}{b}=\frac{y-y_0}{-a}$. Karena $b | a(x − x_0)$ dan $a | b(y − y_0)$ menyiratkan bahwa $b | (x − x_0)$ dan $a | (y − y_0)$, maka setiap sisi persamaan terakhir adalah bilangan bulat. Misalkan $t$, maka $$x − x_0 = bt \text{ }\text{ dan }\text{ } y − y_0 = −at,$$ jadi persamaan dalam $(23.3)$ terbukti.

          Untuk menyelesaikan persamaan Diophantine berdasarkan Teorema III, kita dapat menemukan solusi umum jika solusi khusus diberikan atau dapat ditemukan dengan mudah, kemudian menentukan rentang atau nilai $t$ sesuai dengan kondisi yang diberikan.
         Untuk menyelesaikan sistem persamaan Diophantine atau persamaan dengan lebih dari dua variabel, metode substitusi dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan.